1. 在数轴上有A,B两点,点B表示的数为b.对点A给出如下定义:当$b≥0$时,将点A向右移动2个单位长度,得到点P;当$b＜0$时,将点A向左移动$|b|$个单位长度,得到点P.称点P为点A关于点B的“联动点”.如图,点A表示的数为-1.
(1)在图中画出当$b=4$时,点A关于点B的“联动点”P.
(2)点A从数轴上表示-1的位置出发,以每秒1个单位长度的速度向右运动,点B从数轴上表示7的位置同时出发,以相同的速度向左运动,两个点运动的时间为$t$秒.
①点B表示的数为(用含$t$的式子表示).
②是否存在$t$,使得此时点A关于点B的“联动点”P恰好与原点重合?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.

1. (1)当b=4时,b≥0,将点A向右移动2个单位长度,此时点P表示的数为-1+2=1,作图如下：
(2)①7-t 解析:点B表示的数为7-t.
②不存在.理由如下:运动的时间为t秒时,点A表示的数为-1+t,点B表示的数为7-t.
分两种情况:当0＜t≤7时,7-t≥0,此时点A关于点B的“联动点”P表示的数为-1+t+2=t+1,由于t＞0,故t+1＞0,不可能与原点重合;
当t＞7时,7-t＜0,此时点A关于点B的“联动点”P表示的数为-1+t-|7-t|=-1+t-(t-7)=-1+t-t+7=6,也不能与原点重合.
综上,不存在这样的t,使得点A关于点B的“联动点”P恰好与原点重合.

【分析】
首先明确“联动点”的定义：根据点B表示的数b的正负，分两种规则得到点P。(1)已知b=4≥0，按规则将A向右移2个单位即可得到P的位置；(2)①动点表示方法：向左运动用初始数减去运动距离，据此写出t秒后点B的数；②先写出t秒后点A的数，再分点B表示的数≥0和＜0两种情况，分别计算联动点P表示的数，判断是否能等于0，即可得出结论。
【解析】
(1) 当b=4时，满足b≥0，根据定义将表示数-1的点A向右移动2个单位长度，点P表示的数为$-1+2=1$，在数轴上1的位置标注P即可，作图如下：
(2) ①点B初始表示的数为7，向左以每秒1个单位长度运动t秒，运动距离为t个单位，因此点B表示的数为$7-t$。
②不存在这样的t，理由如下：
运动t秒后，点A向右运动了t个单位，因此点A表示的数为$-1+t$，点B表示的数为$7-t$，分两种情况讨论：
情况1：当$7-t≥0$，即$0＜t≤7$时，根据联动点定义，点P是点A向右移动2个单位得到的，因此点P表示的数为$(-1+t)+2 = t+1$。因为$t＞0$，所以$t+1＞0$，不可能等于0，即不可能与原点重合。
情况2：当$7-t＜0$，即$t＞7$时，根据联动点定义，点P是点A向左移动$|7-t|$个单位得到的，此时$|7-t|=t-7$，因此点P表示的数为$(-1+t)-(t-7) = -1+t-t+7 = 6$，$6≠0$，也不能与原点重合。
综上，不存在t使得联动点P与原点重合。
【答案】
(1)
(2) ①$\boxed{7-t}$
②不存在，理由见解析。
【知识点】
数轴动点问题，新定义运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴动点和新定义规则，核心考察对新定义的理解能力以及分类讨论的数学思想，解题时需先准确把握联动点的变换规则，再根据点B表示数的正负分类计算，注意不要遗漏分类边界。
【难度系数】
0.6

2. (2026·抚顺期末)定义:如图①,点C在线段AB上,若$AC=5BC$或$BC=5AC$,则称点C是线段AB的“五美分点”.
【理解定义】
(1)若线段$AB=6$,点C是线段AB的“五美分点”,求线段AC的长度;
【定义应用】
(2)如图②,点D在射线OM上,$OD=12$,若点E,F均为线段OD的“五美分点”,且$OE＜OF$,点G为线段DE的中点,求线段FG的长度;
【定义拓展】
(3)如图③,点D在射线OM上,$OD=12$.点P从点O出发,以每秒5个单位长度的速度沿射线OM向右运动,同时点Q从点D出发,以每秒2个单位长度的速度也沿射线OM向右运动,运动时间为t秒,点P追上点Q时,两点同时停止运动,请问当P,D,Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美分点”时,t的值是多少?

解:(1)设用x张做侧面,y张做底面正好配套,
根据题意,得$\begin{cases} x + y = 42 \\ 2× 2x = 3y \end{cases}$,
解得$\begin{cases} x=18 \\ y=24 \end{cases}$。
答:用18张做侧面,24张做底面正好配套。
(2)设用m张做侧面,则用$(20 - m)$张做底面,
根据题意,得$2× 2m ≤ 3(20 - m)$,
解得$m=\frac{60}{7}$,
当$m=8$时,可做侧面$2× 8=16$(个),
底面$3×(20-8)=36$(个),
∴此时可制作16个长方体纸盒;
当$m=9$时,可做侧面$2× 9=18$(个),
底面$3×(20-9)=33$(个),
∴此时可制作16个长方体纸盒。
综上,用20张白卡纸最多能制作16个长方体纸盒。

【分析】
(1) 先明确“五美分点”的两种数量关系，结合线段和AC+BC=AB，将AB=6代入计算即可，注意分情况讨论不要漏解。
(2) 先根据“五美分点”的定义得到OE、OF的可能长度，结合OE＜OF确定二者的具体值，再利用线段中点的定义求出DG的长度，最后通过线段的差计算FG即可。
(3) 先求出点P追上点Q的时间，确定t的取值范围，再分两类讨论：①点D在线段PQ上，D为PQ的“五美分点”；②点P在线段DQ上，P为DQ的“五美分点”，每类情况再分两种倍数关系列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 由题意可知点C在线段AB上，所以AC+BC=AB，
因为点C是线段AB的“五美分点”，所以AC=5BC或BC=5AC，即$BC=\frac{1}{5}AC$或$BC=5AC$，
所以$AC=\frac{5}{6}AB$或$AC=\frac{1}{6}AB$，
又因为AB=6，所以$AC=\frac{5}{6}×6=5$或$AC=\frac{1}{6}×6=1$。
(2) 因为点E,F均为线段OD的“五美分点”，由(1)得$OE=\frac{1}{6}OD$或$OE=\frac{5}{6}OD$，$OF=\frac{1}{6}OD$或$OF=\frac{5}{6}OD$。
因为OE＜OF，所以$OE=\frac{1}{6}OD$，$OF=\frac{5}{6}OD$。
因为OD=12，所以$OE=\frac{1}{6}×12=2$，$OF=\frac{5}{6}×12=10$，
所以DE=OD-OE=12-2=10，DF=OD-OF=12-10=2。
因为G为线段DE的中点，所以$DG=\frac{1}{2}DE=5$，
所以FG=DG-DF=5-2=3。
(3) 由题意得OP=5t，OQ=12+2t，
当点P追上点Q时，OP=OQ，所以5t=12+2t，解得t=4，即0≤t＜4，分两种情况讨论：
①当点D在线段PQ上时，

因为OD=12，所以PD=OD-OP=12-5t，PQ=OQ-OP=12+2t-5t=12-3t。
因为点D是线段PQ的“五美分点”，所以$PD=\frac{1}{6}PQ$或$PD=\frac{5}{6}PQ$，
所以$12-5t=\frac{1}{6}(12-3t)$或$12-5t=\frac{5}{6}(12-3t)$，
解得$t=\frac{20}{9}$或$t=\frac{4}{5}$，均符合题意；
②当点P在线段DQ上时，

因为OD=12，所以PD=OP-OD=5t-12，DQ=OQ-OD=12+2t-12=2t。
因为点P是线段DQ的“五美分点”，所以$DP=\frac{1}{6}DQ$或$DP=\frac{5}{6}DQ$，
所以$5t-12=\frac{1}{6}×2t$或$5t-12=\frac{5}{6}×2t$，
解得$t=\frac{18}{7}$或$t=\frac{18}{5}$，均符合题意。
【答案】
(1) AC的长度为1或5；
(2) FG的长度为3；
(3) t的值为$\frac{4}{5}$、$\frac{20}{9}$、$\frac{18}{7}$或$\frac{18}{5}$。
【知识点】
线段和差计算；线段中点性质；新定义动点问题
【点评】
本题以新定义“五美分点”为载体，考查线段的相关计算，解题过程中需要多次用到分类讨论思想，避免漏解，动点类问题需要先确定运动的时间范围，再结合线段的数量关系列方程求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4