3.【概念学习】
点C在线段AB上，若$\frac{AC}{AB}=a$，则称a是点C在线段AB上的“分点值”，记作$(A→B)_C = a$。例如，如图①，若$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$，则点C在线段AB上的“分点值”是$\frac{1}{3}$，记作$(A→B)_C=\frac{1}{3}$；若$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{5}$，则$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，故点D在线段AB上的“分点值”是$\frac{3}{5}$，记作$(A→B)_D=\frac{3}{5}$。

【理解与应用】
(1)已知点C在线段AB上.若$AB=9,AC=4.5$，则$(A→B)_C=$；若$BC=6,(A→B)_C=\frac{2}{3}$，则$AB=$.
(2)如图②，线段$AB=24$，P是线段AB上一点，C，D两点分别从点P，B出发以1个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度同时向点A运动，运动的时间为$t$ s，当其中一点到达点A时，两点都停止运动.
①若点D在PB上运动时，总有$PD=2AC$，求出$(A→B)_P$的值；
②若$(A→B)_P=\frac{1}{4}$，则当$t$为何值时，$(A→P)_C+(P→B)_D=\frac{7}{6}$；
③若$t=7$时，$CD=1$，则$(A→B)_P=$.

3. (1)$\frac{1}{2}$ 18 解析:若AB=9,AC=4.5,则$(A→B)_C=\frac{AC}{AB}=\frac{4.5}{9}=\frac{1}{2}$;若BC=6,$(A→B)_C=\frac{2}{3}$,则$(A→B)_C=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$.因为BC=6,AC+BC=AB,所以AB-AC=6.因为2AB=3AC,所以AB=18.
(2)①PC = t, BD = 2t. 因为 PD = 2AC, 所以 AC+PC+PD+BD=AC+t+2AC+2t=24,所以AC=8-t,所以$(A→B)_P=\frac{AP}{AB}=\frac{AC+PC}{24}=\frac{8-t+t}{24}=\frac{1}{3}$.
②因为$(A→B)_P=\frac{AP}{AB}=\frac{1}{4}$,$AB=24$,所以AP=6,则PB=AB-AP=24-6=18,所以AC=6-t,PD=PB-BD=18-2t.因为$(A→P)_C+(P→B)_D=\frac{AC}{AP}+\frac{PD}{PB}=\frac{7}{6}$,所以$\frac{AC}{AP}+\frac{PD}{PB}=\frac{6-t}{6}+\frac{18-2t}{18}=\frac{7}{6}$,故t=3.
③$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$ 解析:因为t=7,所以PC=7,BD=14.分两种情况:
当点C在点D的左侧时.因为CD=1,所以PD=6,所以BP=BD-PD=8.可知AP=AB-BP=16,则$(A→B)_P=\frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}$;
当点C在点D的右侧时.AD=AB-BD=24-14=10,AP=AD+DC+PC=10+1+7=18,则$(A→B)_P=\frac{AP}{AB}=\frac{3}{4}$.
综上所述,$(A→B)_P=\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$.

【分析】
本题是线段相关的新定义题型，解题核心是先准确理解“分点值”的含义：$(A→B)_C$代表点C到点A的线段长度与线段AB总长度的比值，即$\frac{AC}{AB}$。解题思路如下：
1. 第(1)问直接套用分点值定义计算即可，已知分点值求线段总长时，结合“AC+BC=AB”的线段和差关系列方程求解；
2. 第(2)问为动点问题，先根据运动速度和时间，用含t的代数式表示出两点运动的路程，再结合题目给出的等量关系，将对应线段用含t的式子表示后代入分点值公式计算；遇到点的位置不明确时（如第③小问），要分类讨论所有可能的位置情况，避免漏解。
【解析】
(1) 根据分点值定义：$(A→B)_C=\frac{AC}{AB}$。
当$AB=9,AC=4.5$时，代入得$(A→B)_C=\frac{4.5}{9}=\frac{1}{2}$；
当$(A→B)_C=\frac{2}{3}$时，$\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，即$AC=\frac{2}{3}AB$，又因为$AC+BC=AB$，$BC=6$，因此$\frac{2}{3}AB+6=AB$，解得$AB=18$。
(2) 由题意得：点C运动路程$PC=t$，点D运动路程$BD=2t$。
① 已知$PD=2AC$，且$AC+PC+PD+BD=AB=24$，代入得$AC+t+2AC+2t=24$，整理得$AC=8-t$。
因此$AP=AC+PC=(8-t)+t=8$，则$(A→B)_P=\frac{AP}{AB}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
② 已知$(A→B)_P=\frac{1}{4}$，$AB=24$，则$AP=\frac{1}{4}×24=6$，$PB=24-6=18$。
此时$AC=AP-PC=6-t$，$PD=PB-BD=18-2t$，代入$(A→P)_C+(P→B)_D=\frac{7}{6}$得：
$\frac{6-t}{6}+\frac{18-2t}{18}=\frac{7}{6}$，化简得$3(6-t)+18-2t=21$，解得$t=3$。
③ 当$t=7$时，$PC=7$，$BD=14$，分两种情况讨论：
情况1：点C在点D左侧，此时$CD=1$，则$BP=BD-(PC-CD)=14-(7-1)=8$，$AP=24-8=16$，因此$(A→B)_P=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$；
情况2：点C在点D右侧，此时$CD=1$，则$AD=AB-BD=24-14=10$，$AP=AD+CD+PC=10+1+7=18$，因此$(A→B)_P=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$。
综上，$(A→B)_P$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；$18$
(2) ① $\frac{1}{3}$；② $t=3$；③ $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义理解，线段和差计算，动点问题
【点评】
本题结合新定义考查线段的计算能力，需要先吃透新定义的规则，动点问题要学会将运动路程转化为线段长度，遇到多解情况要主动分类讨论，能有效锻炼数形结合、分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6

4. 在数轴上,把原点记作点 O,表示数1的点记作点 A.对于数轴上任意一点 P(不与点 O,点 A 重合),将线段 PO 与线段 PA 的长度之比定义为点 P 的特征值,记作 $\hat{P}$,即 $\hat{P}=\frac{PO}{PA}$,例如:当点 P 是线段 OA 的中点时,因为 PO = PA,所以 $\hat{P}=1$.
(1)如图,点 $P_1,P_2,P_3$ 为数轴上三个点,点 $P_1$ 表示的数是 $-\frac{1}{4}$,点 $P_2$ 与 $P_1$ 关于原点对称(即 $P_1O=P_2O$).
①$\hat{P}_2=$ ;
②比较 $\hat{P}_1,\hat{P}_2,\hat{P}_3$ 的大小(用“＜”连接).
(2)数轴上的点 M 满足 $OM=\frac{1}{4}OA$,求点 M 表示的数.
(3)数轴上的点 P 表示有理数 p,已知 $\hat{P}＜50$ 且 $\hat{P}$ 为整数,则所有满足条件的 p 的倒数之和为 .

$\begin{cases} x+y=85 \\ 48x=20y \end{cases}$

首先根据车间总工人数量为85名，加工大齿轮的工人数为x，加工小齿轮的工人数为y，可得第一个方程：$x + y = 85$；再根据2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，每天加工大齿轮总数为$16x$，小齿轮总数为$10y$，配套关系满足大齿轮总数的3倍等于小齿轮总数的2倍，可得第二个方程：$3×16x=2×10y$，联立两个方程即得所求方程组。