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1 [2025贵州铜仁期中]已知一元二次方程$x^2 -6x +c=0$有一个根为2，则另一根是（
A.2
B.3
C.4
D.1
C
）A.2
B.3
C.4
D.1
答案
1.C 【解析】设方程的另一根为a，则a+2=6，解得a=4. 故选C.
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一根，有两种常用解题思路：一是先把已知根代入原方程求出常数c，再解方程得到另一根，计算量稍大；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解，对于$x^2+bx+c=0$形式的方程，两根之和为$-b$，本题中方程一次项系数为$-6$，因此两根之和为6，用两根之和减去已知根就能直接得到另一根，该方法更简便。
【解析】
设方程的另一根为$a$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，可得：
$a+2=-\frac{-6}{1}=6$
解得$a=6-2=4$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根求另一根，有两种常用解题思路：一是先把已知根代入原方程求出常数c，再解方程得到另一根，计算量稍大；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解，对于$x^2+bx+c=0$形式的方程，两根之和为$-b$，本题中方程一次项系数为$-6$，因此两根之和为6，用两根之和减去已知根就能直接得到另一根，该方法更简便。
【解析】
设方程的另一根为$a$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，可得：
$a+2=-\frac{-6}{1}=6$
解得$a=6-2=4$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
2[2025江苏南京期中]已知方程$2x^2+5x-2=0$有两个不相等的实数根$m,n$,则下列方程中,两个根分别是$-m,-n$的是 (
A.$2x^2+5x-2=0$
B.$2x^2-5x+2=0$
C.$2x^2+5x+2=0$
D.$2x^2-5x-2=0$
D
)A.$2x^2+5x-2=0$
B.$2x^2-5x+2=0$
C.$2x^2+5x+2=0$
D.$2x^2-5x-2=0$
答案
2.D 【解析】
∵方程$2x^2+5x-2=0$有两个不相等的实数根$m,n$,
∴$m+n=-\frac{5}{2},mn=-1$,
∴$-m-n=\frac{5}{2}$,$(-m)(-n)=mn=-1$,
∴方程$2x^2-5x-2=0$的两个根分别是$-m,-n$. 故选D.
∵方程$2x^2+5x-2=0$有两个不相等的实数根$m,n$,
∴$m+n=-\frac{5}{2},mn=-1$,
∴$-m-n=\frac{5}{2}$,$(-m)(-n)=mn=-1$,
∴方程$2x^2-5x-2=0$的两个根分别是$-m,-n$. 故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）推导：首先先求出已知方程两根m、n的和与积，再计算目标方程的两根(-m)、(-n)的和与积，最后根据一元二次方程两根和、积与系数的对应关系，构造出目标方程，对比选项即可得到答案。
【解析】
∵方程$2x^2+5x-2=0$有两个不相等的实数根$m,n$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{5}{2}$，$mn=\frac{-2}{2}=-1$，
若新方程的两根为$-m,-n$，则新方程的两根和为：
$(-m)+(-n)=-(m+n)=-(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}$，
两根积为：
$(-m)·(-n)=mn=-1$，
设新方程为$2x^2+bx+c=0$（和原方程二次项系数一致），则：
$-\frac{b}{2}=\frac{5}{2}$，解得$b=-5$；
$\frac{c}{2}=-1$，解得$c=-2$，
因此新方程为$2x^2-5x-2=0$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.一元二次方程的构造
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，以及利用两根和、积反推一元二次方程系数的方法，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）推导：首先先求出已知方程两根m、n的和与积，再计算目标方程的两根(-m)、(-n)的和与积，最后根据一元二次方程两根和、积与系数的对应关系，构造出目标方程，对比选项即可得到答案。
【解析】
∵方程$2x^2+5x-2=0$有两个不相等的实数根$m,n$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=-\frac{5}{2}$，$mn=\frac{-2}{2}=-1$，
若新方程的两根为$-m,-n$，则新方程的两根和为：
$(-m)+(-n)=-(m+n)=-(-\frac{5}{2})=\frac{5}{2}$，
两根积为：
$(-m)·(-n)=mn=-1$，
设新方程为$2x^2+bx+c=0$（和原方程二次项系数一致），则：
$-\frac{b}{2}=\frac{5}{2}$，解得$b=-5$；
$\frac{c}{2}=-1$，解得$c=-2$，
因此新方程为$2x^2-5x-2=0$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.一元二次方程的构造
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，以及利用两根和、积反推一元二次方程系数的方法，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
3 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,下列结论正确的是 (
A.$x_1 = x_2$
B.$x_1^2 -2x_1 = x_2^2 -2x_2$
C.$x_1 + x_2 = -2$
D.$x_1 · x_2 =1$
B
)A.$x_1 = x_2$
B.$x_1^2 -2x_1 = x_2^2 -2x_2$
C.$x_1 + x_2 = -2$
D.$x_1 · x_2 =1$
答案
3.B 【解析】
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,$b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$,
∴$x_1≠x_2$,故A不符合题意;
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,
∴$x_1^2-2x_1-1=0$,$x_2^2-2x_2-1=0$,
∴$x_1^2-2x_1=1$,$x_2^2-2x_2=1$,
∴$x_1^2-2x_1 = x_2^2-2x_2$,故B符合题意;
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,
∴$x_1+x_2=2$,$x_1 · x_2=-1$,故C,D不符合题意. 故选B.
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,$b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$,
∴$x_1≠x_2$,故A不符合题意;
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,
∴$x_1^2-2x_1-1=0$,$x_2^2-2x_2-1=0$,
∴$x_1^2-2x_1=1$,$x_2^2-2x_2=1$,
∴$x_1^2-2x_1 = x_2^2-2x_2$,故B符合题意;
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根,
∴$x_1+x_2=2$,$x_1 · x_2=-1$,故C,D不符合题意. 故选B.
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程的相关性质逐一判断选项：第一步，先通过根的判别式判断两根是否相等，验证A选项；第二步，利用方程根的定义，根代入原方程等式成立，验证B选项；第三步，利用根与系数的关系计算两根之和、两根之积，验证C、D选项，最终选出正确结论。
【解析】
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根，$b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，
∴$x_1≠x_2$，故A不符合题意；
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根，
∴$x_1^2-2x_1-1=0$，$x_2^2-2x_2-1=0$，
∴$x_1^2-2x_1=1$，$x_2^2-2x_2=1$，
∴$x_1^2-2x_1 = x_2^2-2x_2$，故B符合题意；
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得$x_1+x_2=2$，$x_1 · x_2=-1$，故C、D不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，综合考查一元二次方程的核心基础性质，解题时注意区分根的判别式、根的定义、根与系数关系的适用场景，避免记错韦达定理的符号公式。
【难度系数】
0.8
本题可结合一元二次方程的相关性质逐一判断选项：第一步，先通过根的判别式判断两根是否相等，验证A选项；第二步，利用方程根的定义，根代入原方程等式成立，验证B选项；第三步，利用根与系数的关系计算两根之和、两根之积，验证C、D选项，最终选出正确结论。
【解析】
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根，$b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-1)=4+4=8＞0$，
∴$x_1≠x_2$，故A不符合题意；
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根，
∴$x_1^2-2x_1-1=0$，$x_2^2-2x_2-1=0$，
∴$x_1^2-2x_1=1$，$x_2^2-2x_2=1$，
∴$x_1^2-2x_1 = x_2^2-2x_2$，故B符合题意；
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x -1 =0$的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得$x_1+x_2=2$，$x_1 · x_2=-1$，故C、D不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，综合考查一元二次方程的核心基础性质，解题时注意区分根的判别式、根的定义、根与系数关系的适用场景，避免记错韦达定理的符号公式。
【难度系数】
0.8
4[2026湖北武汉期中]若关于x的一元二次方程$x^2+(k-2)x+1-k=0$的两个根互为相反数，则k的值为
2
。答案
4.2 【解析】
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(k-2)x+1-k=0$的两个根互为相反数,
∴$x_1+x_2=-\frac{k-2}{1}=0$,解得$k=2$,
∴$k$的值为2. 故答案为2.
∵关于$x$的一元二次方程$x^2+(k-2)x+1-k=0$的两个根互为相反数,
∴$x_1+x_2=-\frac{k-2}{1}=0$,解得$k=2$,
∴$k$的值为2. 故答案为2.
解析
【分析】
首先明确题目核心条件：一元二次方程的两根互为相反数。第一步，根据相反数的性质可知互为相反数的两个数和为0，即两根之和为0；第二步，回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入对应系数即可得到关于k的方程；第三步，求解方程得到k值后，可代入原方程验证是否满足题意，确保结果正确。
【解析】
设方程的两根为$x_1$、$x_2$。
∵方程的两个根互为相反数，
∴$x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\frac{k-2}{1}$，
∴$-(k-2) = 0$，
解得$k=2$。
将$k=2$代入原方程验证，得$x^2 -1 = 0$，两根为$\pm1$，互为相反数，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 相反数的性质
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的关键是将“两根互为相反数”转化为两根之和为0的数量关系，再结合根与系数的关系列方程求解，求出参数后可代入验证确保结果符合要求。
【难度系数】
0.8
首先明确题目核心条件：一元二次方程的两根互为相反数。第一步，根据相反数的性质可知互为相反数的两个数和为0，即两根之和为0；第二步，回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，代入对应系数即可得到关于k的方程；第三步，求解方程得到k值后，可代入原方程验证是否满足题意，确保结果正确。
【解析】
设方程的两根为$x_1$、$x_2$。
∵方程的两个根互为相反数，
∴$x_1 + x_2 = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\frac{k-2}{1}$，
∴$-(k-2) = 0$，
解得$k=2$。
将$k=2$代入原方程验证，得$x^2 -1 = 0$，两根为$\pm1$，互为相反数，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 相反数的性质
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的关键是将“两根互为相反数”转化为两根之和为0的数量关系，再结合根与系数的关系列方程求解，求出参数后可代入验证确保结果符合要求。
【难度系数】
0.8
5 设$x_1$与$x_2$为一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$的两根，则$(x_1 - x_2)^2$的值为
20
.答案
5.20 【解析】由题意可知$x_1+x_2=-6$,$x_1x_2=4$,
∴$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-6)^2-4×4=36-16=20$,故答案为20.
∴$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-6)^2-4×4=36-16=20$,故答案为20.
解析
【分析】
要求一元二次方程两根差的平方，若直接求解方程的根再代入计算，计算量较大且易出错。我们可以先利用完全平方公式将所求代数式变形：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，变形后只需要求出方程的两根之和与两根之积即可，此时用一元二次方程根与系数的关系求解更简便。首先根据给定方程确定系数$a、b、c$，再根据根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，最后代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=3$，常数项$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
再根据完全平方公式的变形：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
将$x_1+x_2=-6$，$x_1x_2=4$代入上式得：
原式$=(-6)^2 - 4×4 = 36 - 16 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础常考题型，无需解方程求出根的具体值，通过代数式变形结合韦达定理即可快速求解，掌握常见的两根代数式变形技巧是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
要求一元二次方程两根差的平方，若直接求解方程的根再代入计算，计算量较大且易出错。我们可以先利用完全平方公式将所求代数式变形：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，变形后只需要求出方程的两根之和与两根之积即可，此时用一元二次方程根与系数的关系求解更简便。首先根据给定方程确定系数$a、b、c$，再根据根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，最后代入变形后的代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=3$，常数项$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{\frac{1}{2}} = -6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$。
再根据完全平方公式的变形：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
将$x_1+x_2=-6$，$x_1x_2=4$代入上式得：
原式$=(-6)^2 - 4×4 = 36 - 16 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础常考题型，无需解方程求出根的具体值，通过代数式变形结合韦达定理即可快速求解，掌握常见的两根代数式变形技巧是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
6 若a,b是方程$x^2 + 2x -4 =0$的两个实数根，则$(a-2)(b-2)$的值为
4
。答案
6.4 【解析】
∵$a,b$是方程$x^2 + 2x -4 =0$的两个实数根,
∴$a+b=-2$,$ab=-4$,
∴$(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-4-2×(-2)+4=-4+4+4=4$,故答案为4.
∵$a,b$是方程$x^2 + 2x -4 =0$的两个实数根,
∴$a+b=-2$,$ab=-4$,
∴$(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-4-2×(-2)+4=-4+4+4=4$,故答案为4.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个实数根，求关于两根的代数式的值，解题时优先使用根与系数的关系求解，无需计算出a、b的具体数值。首先先求出两根之和a+b与两根之积ab，再将待求的代数式(a-2)(b-2)展开并整理为用a+b和ab表示的形式，最后将数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵a，b是方程$x^2 + 2x -4 =0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：$a+b=-2$，$ab=-4$，
将待求式展开变形：
$(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4$，
代入$a+b=-2$，$ab=-4$得：
原式$=-4-2×(-2)+4=-4+4+4=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.根与系数的关系 2.整式乘法 3.代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，将目标代数式转化为含两根之和、两根之积的形式，通过整体代入简化运算，避免直接求解方程根带来的繁琐计算。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个实数根，求关于两根的代数式的值，解题时优先使用根与系数的关系求解，无需计算出a、b的具体数值。首先先求出两根之和a+b与两根之积ab，再将待求的代数式(a-2)(b-2)展开并整理为用a+b和ab表示的形式，最后将数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵a，b是方程$x^2 + 2x -4 =0$的两个实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：$a+b=-2$，$ab=-4$，
将待求式展开变形：
$(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4$，
代入$a+b=-2$，$ab=-4$得：
原式$=-4-2×(-2)+4=-4+4+4=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.根与系数的关系 2.整式乘法 3.代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，将目标代数式转化为含两根之和、两根之积的形式，通过整体代入简化运算，避免直接求解方程根带来的繁琐计算。
【难度系数】
0.8
7[2025广东深圳期中]已知实数$α,β$满足$3α^2 + 5α - 1 = 0,β^2 - 5β - 3 = 0$,且$αβ ≠ 1$,则$\frac{α}{β}$的值为
$-\frac{1}{3}$
.答案
7. $-\frac{1}{3}$ 【解析】
∵方程$β^2 -5β -3=0$可变形为$3×\frac{1}{β^2}+5×\frac{1}{β}-1=0$,且实数$α,β$满足$3α^2 + 5α - 1 = 0$,$β^2 - 5β - 3 = 0$且$αβ ≠ 1$,
∴$α,\frac{1}{β}$是方程$3x^2+5x-1=0$的两个根,
∴$α · \frac{1}{β}=\frac{α}{β}=-\frac{1}{3}$,故答案为$-\frac{1}{3}$.
∵方程$β^2 -5β -3=0$可变形为$3×\frac{1}{β^2}+5×\frac{1}{β}-1=0$,且实数$α,β$满足$3α^2 + 5α - 1 = 0$,$β^2 - 5β - 3 = 0$且$αβ ≠ 1$,
∴$α,\frac{1}{β}$是方程$3x^2+5x-1=0$的两个根,
∴$α · \frac{1}{β}=\frac{α}{β}=-\frac{1}{3}$,故答案为$-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解题时先观察已知两个方程的结构特征，直接求解α、β的值计算量较大，因此优先考虑方程变形：首先判断β≠0（若β=0，代入β²-5β-3得-3≠0，矛盾），将β²-5β-3=0两边同时除以-β²，可得到和关于α的方程结构完全一致的、关于1/β的方程。结合已知αβ≠1，即α≠1/β，可推出α和1/β是方程3x²+5x-1=0的两个不相等的实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之积，即可得到α/β的值。
【解析】
解：
∵将β=0代入方程β²-5β-3=0，左边=-3≠0，
∴β≠0。
将方程β²-5β-3=0两边同时除以-β²，整理可得：
$3×(\frac{1}{β})^2 + 5×\frac{1}{β} - 1 = 0$，
又
∵实数α满足$3α^2 + 5α - 1 = 0$，且$αβ≠1$，即$α≠\frac{1}{β}$，
∴$α$、$\frac{1}{β}$是一元二次方程$3x^2+5x-1=0$的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$（a为二次项系数，c为常数项），即：
$α · \frac{1}{β} = \frac{-1}{3}$，
∴$\frac{α}{β}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义；2.一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题的核心解题技巧是构造同构方程，通过对含β的方程合理变形，将待求的$\frac{α}{β}$转化为一元二次方程两根的乘积，大幅简化了计算过程，考查了学生对变形技巧和根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察已知两个方程的结构特征，直接求解α、β的值计算量较大，因此优先考虑方程变形：首先判断β≠0（若β=0，代入β²-5β-3得-3≠0，矛盾），将β²-5β-3=0两边同时除以-β²，可得到和关于α的方程结构完全一致的、关于1/β的方程。结合已知αβ≠1，即α≠1/β，可推出α和1/β是方程3x²+5x-1=0的两个不相等的实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之积，即可得到α/β的值。
【解析】
解：
∵将β=0代入方程β²-5β-3=0，左边=-3≠0，
∴β≠0。
将方程β²-5β-3=0两边同时除以-β²，整理可得：
$3×(\frac{1}{β})^2 + 5×\frac{1}{β} - 1 = 0$，
又
∵实数α满足$3α^2 + 5α - 1 = 0$，且$αβ≠1$，即$α≠\frac{1}{β}$，
∴$α$、$\frac{1}{β}$是一元二次方程$3x^2+5x-1=0$的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$（a为二次项系数，c为常数项），即：
$α · \frac{1}{β} = \frac{-1}{3}$，
∴$\frac{α}{β}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义；2.一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题的核心解题技巧是构造同构方程，通过对含β的方程合理变形，将待求的$\frac{α}{β}$转化为一元二次方程两根的乘积，大幅简化了计算过程，考查了学生对变形技巧和根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
8 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 （
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
答案
8.C 【解析】设方程$x^2 -10x +m=0$的两根分别为$a$,$b$,
∴$a+b=10$.
∵$a,b$分别是一个菱形的两条对角线长,且菱形的面积为11,
∴$\frac{1}{2}ab=11$,即$ab=22$.
∵菱形对角线垂直且互相平分,
∴该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$. 故选C.
∴$a+b=10$.
∵$a,b$分别是一个菱形的两条对角线长,且菱形的面积为11,
∴$\frac{1}{2}ab=11$,即$ab=22$.
∵菱形对角线垂直且互相平分,
∴该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$. 故选C.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，明确菱形的两条对角线长是一元二次方程的两个实根：第一步可根据一元二次方程根与系数的关系得到两条对角线的和；第二步利用菱形面积等于对角线乘积的一半，求出两条对角线的乘积；第三步根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可知菱形的边长是由两条半对角线构成的直角三角形的斜边，因此可将边长用含两条对角线的代数式表示，再通过完全平方公式的变形，把对角线的和与积代入计算即可求出边长。
【解析】
设方程$x^2 -10x +m=0$的两根分别为$a$，$b$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：$a+b=10$。
∵$a$，$b$是菱形的两条对角线长，且菱形面积为11，根据菱形面积公式得：$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
又
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}$
将$a+b=10$，$ab=22$代入得：
$\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；菱形的性质；完全平方公式变形
【点评】
本题属于代数与几何的综合小题，解题的核心是熟练掌握韦达定理的应用、菱形的相关性质，以及利用完全平方公式对所求代数式进行转化，无需单独求解方程的根即可快速算出结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件，明确菱形的两条对角线长是一元二次方程的两个实根：第一步可根据一元二次方程根与系数的关系得到两条对角线的和；第二步利用菱形面积等于对角线乘积的一半，求出两条对角线的乘积；第三步根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可知菱形的边长是由两条半对角线构成的直角三角形的斜边，因此可将边长用含两条对角线的代数式表示，再通过完全平方公式的变形，把对角线的和与积代入计算即可求出边长。
【解析】
设方程$x^2 -10x +m=0$的两根分别为$a$，$b$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：$a+b=10$。
∵$a$，$b$是菱形的两条对角线长，且菱形面积为11，根据菱形面积公式得：$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
又
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴菱形的边长为：
$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}$
将$a+b=10$，$ab=22$代入得：
$\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；菱形的性质；完全平方公式变形
【点评】
本题属于代数与几何的综合小题，解题的核心是熟练掌握韦达定理的应用、菱形的相关性质，以及利用完全平方公式对所求代数式进行转化，无需单独求解方程的根即可快速算出结果。
【难度系数】
0.6
9 若一元二次方程$x^2 -8x +3=0$的两个实数根分别是$a,b$,则关于$x$的一次函数$y=abx -a -b$的图象一定不经过第
二
象限.答案
9.二 【解析】
∵方程$x^2 -8x +3=0$的两个实数根分别是$a,b$,
∴$a+b=8$,$ab=3$,则一次函数的表达式为$y=3x-8$,
∴该一次函数的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,故答案为二.
∵方程$x^2 -8x +3=0$的两个实数根分别是$a,b$,
∴$a+b=8$,$ab=3$,则一次函数的表达式为$y=3x-8$,
∴该一次函数的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,故答案为二.
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过的象限，首先需要确定一次函数的解析式。已知一次函数的系数由一元二次方程的两根a、b组成，因此首先利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入一次函数表达式后，再根据一次函数k、b的符号判断图象经过的象限即可。
【解析】
∵一元二次方程$x^2 -8x +3=0$的两个实数根分别是$a,b$，
∴根据根与系数的关系可得：$a+b=8$，$ab=3$，
将$a+b=8$，$ab=3$代入一次函数$y=abx -a -b$，可变形为$y=abx-(a+b)$，代入得：
$y=3x-8$，
在一次函数$y=3x-8$中，$k=3＞0$，函数图象从左到右上升，经过第一、三象限；$b=-8＜0$，函数图象与y轴交于负半轴，因此图象还经过第四象限，
∴该一次函数的图象一定不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和一次函数的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握韦达定理的应用以及一次函数图象与k、b符号的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断一次函数图象不经过的象限，首先需要确定一次函数的解析式。已知一次函数的系数由一元二次方程的两根a、b组成，因此首先利用一元二次方程根与系数的关系求出a+b与ab的值，代入一次函数表达式后，再根据一次函数k、b的符号判断图象经过的象限即可。
【解析】
∵一元二次方程$x^2 -8x +3=0$的两个实数根分别是$a,b$，
∴根据根与系数的关系可得：$a+b=8$，$ab=3$，
将$a+b=8$，$ab=3$代入一次函数$y=abx -a -b$，可变形为$y=abx-(a+b)$，代入得：
$y=3x-8$，
在一次函数$y=3x-8$中，$k=3＞0$，函数图象从左到右上升，经过第一、三象限；$b=-8＜0$，函数图象与y轴交于负半轴，因此图象还经过第四象限，
∴该一次函数的图象一定不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和一次函数的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握韦达定理的应用以及一次函数图象与k、b符号的对应关系。
【难度系数】
0.8
10[2026浙江嘉兴期末]全国家电“以旧换新”政策自实施以来，某市9月已投入约800万元用于首批家电“以旧换新”补贴，考虑年底换家电的数量可能会持续增长，现计划投入资金逐月增加，到11月底，计划累计投入约3200万元用于家电“以旧换新”补贴.
(1)设投入资金的月平均增长率为$x$，求到11月底，投入资金的月平均增长率(只需列出方程)；
(2)设(1)中方程的两根分别为$x_1,x_2$，且$a{x_1}^2 - a^2x_1x_2 + a{x_2}^2 = 12$，求$a$的值.
刷易错 小心有坑~
(1)设投入资金的月平均增长率为$x$，求到11月底，投入资金的月平均增长率(只需列出方程)；
(2)设(1)中方程的两根分别为$x_1,x_2$，且$a{x_1}^2 - a^2x_1x_2 + a{x_2}^2 = 12$，求$a$的值.
刷易错 小心有坑~
答案
10.【解】(1)由题意可得,$800+800(1+x)+800(1+x)^2=3\ 200$.(2)将(1)中的方程整理可得$x^2+3x-1=0$.
∵(1)中方程的两根分别为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=-3$,$x_1x_2=-1$,
∴$a{x_1}^2 - a^2x_1x_2 + a{x_2}^2 = a[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-a^2x_1x_2=11a+a^2=12$,即$a^2+11a-12=0$,解得$a=-12$或$a=1$.
∵(1)中方程的两根分别为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=-3$,$x_1x_2=-1$,
∴$a{x_1}^2 - a^2x_1x_2 + a{x_2}^2 = a[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-a^2x_1x_2=11a+a^2=12$,即$a^2+11a-12=0$,解得$a=-12$或$a=1$.
解析
【分析】
(1) 本题属于增长率类实际应用问题，首先明确各月投入资金：9月投入800万元，月平均增长率为x，则10月投入为800(1+x)万元，11月投入为800(1+x)²万元；题干要求累计到11月底总投入为3200万元，即三个月投入金额之和等于3200，据此列方程即可。
(2) 先将(1)中的方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$；将给出的含$x_1、x_2$的代数式通过完全平方公式变形为用$x_1+x_2、x_1x_2$表示的形式，代入数值后得到关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 9月投入资金为800万元，10月投入资金为$800(1+x)$万元，11月投入资金为$800(1+x)^2$万元，累计三个月总投入为3200万元，因此列方程：
$800+800(1+x)+800(1+x)^2=3200$
(2) 先整理(1)中的方程：
两边同时除以800得$1+(1+x)+(1+x)^2=4$，展开合并同类项得$x^2+3x-1=0$。
∵该方程的两根为$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-1$
将代数式$a{x_1}^2 - a^2x_1x_2 + a{x_2}^2$变形：
原式$=a({x_1}^2+{x_2}^2)-a^2x_1x_2=a[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-a^2x_1x_2$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-1$代入上式：
$a×[(-3)^2 - 2×(-1)] - a^2×(-1)=12$
计算得$11a + a^2=12$，整理为$a^2+11a-12=0$，因式分解得$(a+12)(a-1)=0$，解得$a=-12$或$a=1$。
【答案】
(1) $800+800(1+x)+800(1+x)^2=3200$
(2) $a$的值为$-12$或$1$
【知识点】
增长率问题列方程、一元二次方程根与系数的关系、代数式化简求值
【点评】
本题结合实际背景考查一元二次方程的应用，第一问需注意题干中“累计投入”的表述，避免错误列为11月单月投入等于3200；第二问需要熟练掌握利用完全平方公式将含两根的代数式转化为两根和与两根积的形式，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于增长率类实际应用问题，首先明确各月投入资金：9月投入800万元，月平均增长率为x，则10月投入为800(1+x)万元，11月投入为800(1+x)²万元；题干要求累计到11月底总投入为3200万元，即三个月投入金额之和等于3200，据此列方程即可。
(2) 先将(1)中的方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$；将给出的含$x_1、x_2$的代数式通过完全平方公式变形为用$x_1+x_2、x_1x_2$表示的形式，代入数值后得到关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 9月投入资金为800万元，10月投入资金为$800(1+x)$万元，11月投入资金为$800(1+x)^2$万元，累计三个月总投入为3200万元，因此列方程：
$800+800(1+x)+800(1+x)^2=3200$
(2) 先整理(1)中的方程：
两边同时除以800得$1+(1+x)+(1+x)^2=4$，展开合并同类项得$x^2+3x-1=0$。
∵该方程的两根为$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-1$
将代数式$a{x_1}^2 - a^2x_1x_2 + a{x_2}^2$变形：
原式$=a({x_1}^2+{x_2}^2)-a^2x_1x_2=a[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]-a^2x_1x_2$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-1$代入上式：
$a×[(-3)^2 - 2×(-1)] - a^2×(-1)=12$
计算得$11a + a^2=12$，整理为$a^2+11a-12=0$，因式分解得$(a+12)(a-1)=0$，解得$a=-12$或$a=1$。
【答案】
(1) $800+800(1+x)+800(1+x)^2=3200$
(2) $a$的值为$-12$或$1$
【知识点】
增长率问题列方程、一元二次方程根与系数的关系、代数式化简求值
【点评】
本题结合实际背景考查一元二次方程的应用，第一问需注意题干中“累计投入”的表述，避免错误列为11月单月投入等于3200；第二问需要熟练掌握利用完全平方公式将含两根的代数式转化为两根和与两根积的形式，计算时要注意符号问题。
【难度系数】
0.7
11 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有两个实数根$x_1$和$x_2$。当$x_1^2 - x_2^2=0$时，$m$的值为
$\frac{1}{4}$
。答案
11.$\frac{1}{4}$ 【解析】根据题意得$b^2-4ac=(2m-1)^2-4m^2≥0$,
∴$-4m+1≥0$,
∴$m≤\frac{1}{4}$.
∵$x_1^2 - x_2^2=0$,
∴$x_1+x_2=0$或$x_1-x_2=0$. 当$x_1+x_2=0$时,$-(2m-1)=0$,解得$m=\frac{1}{2}$,而$m≤\frac{1}{4}$,所以舍去;当$x_1-x_2=0$时,$b^2-4ac=(2m-1)^2-4m^2=0$,即$-4m+1=0$,解得$m=\frac{1}{4}$. 综上,$m$的值为$\frac{1}{4}$.
∴$-4m+1≥0$,
∴$m≤\frac{1}{4}$.
∵$x_1^2 - x_2^2=0$,
∴$x_1+x_2=0$或$x_1-x_2=0$. 当$x_1+x_2=0$时,$-(2m-1)=0$,解得$m=\frac{1}{2}$,而$m≤\frac{1}{4}$,所以舍去;当$x_1-x_2=0$时,$b^2-4ac=(2m-1)^2-4m^2=0$,即$-4m+1=0$,解得$m=\frac{1}{4}$. 综上,$m$的值为$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确两点前提：一是一元二次方程有两个实数根时，判别式Δ≥0，因此要先通过判别式求出m的取值范围，避免后续求出不符合题意的增解；二是可将$x_1^2 - x_2^2=0$用平方差公式因式分解为$(x_1+x_2)(x_1-x_2)=0$，因此分两种情况讨论：两根之和为0，或两根之差为0（即两根相等）。之后分别结合根与系数的关系、判别式的性质求出两种情况下的m值，再对照之前求出的m的取值范围舍去不符合的解，即可得到最终结果。
【解析】
首先根据一元二次方程有两个实数根，可得判别式Δ≥0：
$\Delta = b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2≥0$
展开化简得：$4m^2-4m+1-4m^2≥0$，即$-4m+1≥0$
解得：$m≤\frac{1}{4}$
由$x_1^2 - x_2^2=0$因式分解得：$(x_1+x_2)(x_1-x_2)=0$，分两种情况讨论：
1. 当$x_1+x_2=0$时，根据根与系数的关系，$x_1+x_2=-(2m-1)$，因此：
$-(2m-1)=0$，解得$m=\frac{1}{2}$
∵$\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，不符合$m≤\frac{1}{4}$的要求，故舍去该解；
2. 当$x_1-x_2=0$时，即$x_1=x_2$，说明方程有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$：
即$-4m+1=0$，解得$m=\frac{1}{4}$，符合$m≤\frac{1}{4}$的要求。
综上，$m$的值为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，易错点是容易忽略方程有实根的前提，未对求出的m值进行检验导致出现增解，解题时要养成先确定参数取值范围、最后检验结果的习惯。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确两点前提：一是一元二次方程有两个实数根时，判别式Δ≥0，因此要先通过判别式求出m的取值范围，避免后续求出不符合题意的增解；二是可将$x_1^2 - x_2^2=0$用平方差公式因式分解为$(x_1+x_2)(x_1-x_2)=0$，因此分两种情况讨论：两根之和为0，或两根之差为0（即两根相等）。之后分别结合根与系数的关系、判别式的性质求出两种情况下的m值，再对照之前求出的m的取值范围舍去不符合的解，即可得到最终结果。
【解析】
首先根据一元二次方程有两个实数根，可得判别式Δ≥0：
$\Delta = b^2-4ac=(2m-1)^2-4×1× m^2≥0$
展开化简得：$4m^2-4m+1-4m^2≥0$，即$-4m+1≥0$
解得：$m≤\frac{1}{4}$
由$x_1^2 - x_2^2=0$因式分解得：$(x_1+x_2)(x_1-x_2)=0$，分两种情况讨论：
1. 当$x_1+x_2=0$时，根据根与系数的关系，$x_1+x_2=-(2m-1)$，因此：
$-(2m-1)=0$，解得$m=\frac{1}{2}$
∵$\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$，不符合$m≤\frac{1}{4}$的要求，故舍去该解；
2. 当$x_1-x_2=0$时，即$x_1=x_2$，说明方程有两个相等的实数根，因此$\Delta=0$：
即$-4m+1=0$，解得$m=\frac{1}{4}$，符合$m≤\frac{1}{4}$的要求。
综上，$m$的值为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 平方差公式因式分解
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，易错点是容易忽略方程有实根的前提，未对求出的m值进行检验导致出现增解，解题时要养成先确定参数取值范围、最后检验结果的习惯。
【难度系数】
0.6
