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1[2025江苏南京调研,中]关于x的方程$x^2 + kx = 2$（k为常数）的根的情况,下列结论中正确的是(
A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根,一个负根
D.无实数根
C
)A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根,一个负根
D.无实数根
答案
1.C 【解析】
∵$x^2+kx=2$,
∴$x^2+kx-2=0$,
∴$b^2-4ac=k^2+8＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$,
∴方程的两个实数根异号,
∴方程$x^2+kx=2$有一个正根,一个负根,故选C.
∵$x^2+kx=2$,
∴$x^2+kx-2=0$,
∴$b^2-4ac=k^2+8＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$,
∴方程的两个实数根异号,
∴方程$x^2+kx=2$有一个正根,一个负根,故选C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的正负情况，可按以下思路逐步推导：第一步，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，先确定方程是否存在实数根、有几个实数根；第二步，若方程有两个实数根，利用根与系数的关系计算两根的乘积：若乘积为正，说明两根同号，可再结合两根和的符号判断正负；若乘积为负，说明两根异号，即一个正根一个负根。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + kx - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=k$，$c=-2$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4×1×(-2) = k^2 + 8$
因为$k^2≥0$，所以$k^2+8≥8＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，排除D选项。
2. 利用根与系数的关系计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2 ＜ 0$
说明两个实数根的符号相反，即方程有一个正根、一个负根，排除A、B选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判断的常规题型，需要结合根的判别式和韦达定理综合分析，掌握两个定理的应用场景是解题的核心，属于常考的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的正负情况，可按以下思路逐步推导：第一步，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，先确定方程是否存在实数根、有几个实数根；第二步，若方程有两个实数根，利用根与系数的关系计算两根的乘积：若乘积为正，说明两根同号，可再结合两根和的符号判断正负；若乘积为负，说明两根异号，即一个正根一个负根。
【解析】
首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + kx - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=k$，$c=-2$。
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4×1×(-2) = k^2 + 8$
因为$k^2≥0$，所以$k^2+8≥8＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，排除D选项。
2. 利用根与系数的关系计算两根之积：
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2 ＜ 0$
说明两个实数根的符号相反，即方程有一个正根、一个负根，排除A、B选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的情况判断的常规题型，需要结合根的判别式和韦达定理综合分析，掌握两个定理的应用场景是解题的核心，属于常考的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
2[2025江苏宿迁期中，中]若$m,n$为方程$x^2 + 2024x - 1 = 0$的两根，则$(m^2 + 2025m - 1)(n^2 + 2025n - 1)$的值为（
A.1
B.-1
C.-4049
D.4049
B
）A.1
B.-1
C.-4049
D.4049
答案
2.B 【解析】
∵$m,n$为方程$x^2 + 2024x - 1 = 0$的两根,
∴$m^2+2024m-1=0$,$n^2+2024n-1=0$,$mn=-1$,
∴$m^2+2024m=1$,$n^2+2024n=1$,
∴$(m^2 + 2025m - 1)(n^2 + 2025n - 1)=(m^2+2024m+m-1)(n^2+2024n+n-1)=(1+m-1)(1+n-1)=mn=-1$,故选B.
∵$m,n$为方程$x^2 + 2024x - 1 = 0$的两根,
∴$m^2+2024m-1=0$,$n^2+2024n-1=0$,$mn=-1$,
∴$m^2+2024m=1$,$n^2+2024n=1$,
∴$(m^2 + 2025m - 1)(n^2 + 2025n - 1)=(m^2+2024m+m-1)(n^2+2024n+n-1)=(1+m-1)(1+n-1)=mn=-1$,故选B.
解析
【分析】
遇到一元二次方程两根相关的代数式求值问题，首先可以利用一元二次方程根的定义，得到两根代入方程后成立的等式；再结合根与系数的关系得到两根之积、两根之和的结果。接下来观察所求代数式的结构，将代数式中与方程左边结构相似的部分拆分，用根的定义的结论代换，就能简化代数式，最后代入根与系数的关系的结果即可求出答案。
【解析】
∵$m,n$为方程$x^2 + 2024x - 1 = 0$的两根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$m^2+2024m-1=0$，$n^2+2024n-1=0$；根据根与系数的关系可得：$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求代数式变形：
$m^2 + 2025m - 1=(m^2+2024m-1)+m=0+m=m$
$n^2 + 2025n - 1=(n^2+2024n-1)+n=0+n=n$
∴$(m^2 + 2025m - 1)(n^2 + 2025n - 1)=m· n=-1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的经典常考题，解题关键是通过拆分变形将所求代数式用已知条件代换，不需要求解方程的根，大幅简化了计算量。
【难度系数】
0.6
遇到一元二次方程两根相关的代数式求值问题，首先可以利用一元二次方程根的定义，得到两根代入方程后成立的等式；再结合根与系数的关系得到两根之积、两根之和的结果。接下来观察所求代数式的结构，将代数式中与方程左边结构相似的部分拆分，用根的定义的结论代换，就能简化代数式，最后代入根与系数的关系的结果即可求出答案。
【解析】
∵$m,n$为方程$x^2 + 2024x - 1 = 0$的两根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$m^2+2024m-1=0$，$n^2+2024n-1=0$；根据根与系数的关系可得：$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求代数式变形：
$m^2 + 2025m - 1=(m^2+2024m-1)+m=0+m=m$
$n^2 + 2025n - 1=(n^2+2024n-1)+n=0+n=n$
∴$(m^2 + 2025m - 1)(n^2 + 2025n - 1)=m· n=-1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的经典常考题，解题关键是通过拆分变形将所求代数式用已知条件代换，不需要求解方程的根，大幅简化了计算量。
【难度系数】
0.6
3[中]若关于$x$的方程$x^2 + 2mx + m^2 + 3m - 2 = 0$有两个实数根$x_1, x_2$，则$x_1(x_2 + x_1) + x_2^2$的最小值为（
A.$1$
B.$2$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{5}{4}$
D
）A.$1$
B.$2$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{5}{4}$
答案
3.D 【解析】根据题意得$b^2-4ac=4m^2-4(m^2+3m-2)≥0$,解得$m≤\frac{2}{3}$.
∵$x_1+x_2=-2m$,$x_1x_2=m^2+3m-2$,
∴$x_1(x_2+x_1)+x_2^2=x_1x_2+x_1^2+x_2^2=(x_2+x_1)^2-x_1x_2=(-2m)^2-(m^2+3m-2)=4m^2-m^2-3m+2=3m^2-3m+2=3(m-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}≥\frac{5}{4}$,故$x_1(x_2+x_1)+x_2^2$的最小值为$\frac{5}{4}$. 故选D.
∵$x_1+x_2=-2m$,$x_1x_2=m^2+3m-2$,
∴$x_1(x_2+x_1)+x_2^2=x_1x_2+x_1^2+x_2^2=(x_2+x_1)^2-x_1x_2=(-2m)^2-(m^2+3m-2)=4m^2-m^2-3m+2=3m^2-3m+2=3(m-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}≥\frac{5}{4}$,故$x_1(x_2+x_1)+x_2^2$的最小值为$\frac{5}{4}$. 故选D.
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，方程有两个实数根，首先根据一元二次方程根的判别式Δ≥0，求出参数m的取值范围；第二步，将要求的代数式$x_1(x_2 + x_1) + x_2^2$变形，利用根与系数的关系，用两根之和、两根之积代换，将其转化为关于m的二次函数；第三步，结合m的取值范围，根据二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
首先，方程有两个实数根，所以判别式满足：
$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(m^2 + 3m - 2) ≥ 0$
化简得：$4m^2 - 4m^2 - 12m + 8 ≥ 0$，即$-12m + 8 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{2}{3}$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -2m$，$x_1x_2 = m^2 + 3m - 2$。
对所求代数式变形：
$x_1(x_2 + x_1) + x_2^2 = x_1x_2 + x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$
将韦达定理的结果代入：
原式$= (-2m)^2 - (m^2 + 3m - 2) = 4m^2 - m^2 - 3m + 2 = 3m^2 - 3m + 2$
对二次式配方：
$3m^2 - 3m + 2 = 3(m^2 - m) + 2 = 3(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$
该二次函数开口向上，对称轴为$m = \frac{1}{2}$，而$\frac{1}{2} ＜ \frac{2}{3}$，即对称轴在m的取值范围内，所以当$m = \frac{1}{2}$时，原式取得最小值$\frac{5}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；二次函数最值
【点评】
本题是一元二次方程与二次函数结合的综合题，解题关键是先通过判别式确定参数的取值范围，再将所求代数式转化为关于参数的二次函数，结合二次函数性质求最值，避免忽略参数范围直接取顶点导致错误。
【难度系数】
0.6
解题分三步思考：第一步，方程有两个实数根，首先根据一元二次方程根的判别式Δ≥0，求出参数m的取值范围；第二步，将要求的代数式$x_1(x_2 + x_1) + x_2^2$变形，利用根与系数的关系，用两根之和、两根之积代换，将其转化为关于m的二次函数；第三步，结合m的取值范围，根据二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
首先，方程有两个实数根，所以判别式满足：
$\Delta = b^2 - 4ac = (2m)^2 - 4×1×(m^2 + 3m - 2) ≥ 0$
化简得：$4m^2 - 4m^2 - 12m + 8 ≥ 0$，即$-12m + 8 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{2}{3}$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -2m$，$x_1x_2 = m^2 + 3m - 2$。
对所求代数式变形：
$x_1(x_2 + x_1) + x_2^2 = x_1x_2 + x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$
将韦达定理的结果代入：
原式$= (-2m)^2 - (m^2 + 3m - 2) = 4m^2 - m^2 - 3m + 2 = 3m^2 - 3m + 2$
对二次式配方：
$3m^2 - 3m + 2 = 3(m^2 - m) + 2 = 3(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$
该二次函数开口向上，对称轴为$m = \frac{1}{2}$，而$\frac{1}{2} ＜ \frac{2}{3}$，即对称轴在m的取值范围内，所以当$m = \frac{1}{2}$时，原式取得最小值$\frac{5}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；二次函数最值
【点评】
本题是一元二次方程与二次函数结合的综合题，解题关键是先通过判别式确定参数的取值范围，再将所求代数式转化为关于参数的二次函数，结合二次函数性质求最值，避免忽略参数范围直接取顶点导致错误。
【难度系数】
0.6
4[2025上海徐汇区期中,中]设$x_1,x_2$是方程$x^2+px+q=0$的两个有理数根,已知$2x_1 - x_2 + \sqrt{x_1 + 3x_2}=1+\sqrt{11}$,则$p+q$的值为
1
.答案
4.1 【解析】
∵$x_1,x_2$是方程$x^2+px+q=0$的两个有理数根,
∴$x_1+x_2=-p$,$x_1x_2=q$.
∵$2x_1 - x_2 + \sqrt{x_1 + 3x_2}=1+\sqrt{11}$,
∴$2x_1-x_2=1$,$x_1+3x_2=11$,解得$x_1=2$,$x_2=3$,
∴$p=-5$,$q=6$,
∴$p+q=1$,故答案为1.
∵$x_1,x_2$是方程$x^2+px+q=0$的两个有理数根,
∴$x_1+x_2=-p$,$x_1x_2=q$.
∵$2x_1 - x_2 + \sqrt{x_1 + 3x_2}=1+\sqrt{11}$,
∴$2x_1-x_2=1$,$x_1+3x_2=11$,解得$x_1=2$,$x_2=3$,
∴$p=-5$,$q=6$,
∴$p+q=1$,故答案为1.
解析
【分析】
解题时首先利用有理数的性质分析等式结构：因为$x_1、x_2$是有理数根，所以不含根号的$2x_1-x_2$为有理数，等式右边可拆分为有理数1和无理数$\sqrt{11}$两部分，根据“等式两边有理数部分、无理数部分分别对应相等”的性质，可列出关于$x_1、x_2$的二元一次方程组，解出两根后再用一元二次方程根与系数的关系求出$p、q$的值，最后计算$p+q$即可。
【解析】
∵$x_1,x_2$是方程$x^2+px+q=0$的两个有理数根，
∴根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
∵$x_1、x_2$均为有理数，因此$2x_1-x_2$是有理数，结合等式$2x_1 - x_2 + \sqrt{x_1 + 3x_2}=1+\sqrt{11}$中有理数、无理数部分分别对应相等，可得：
$\begin{cases}2x_1 - x_2 = 1 \\ x_1 + 3x_2 = 11 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘3后与第二个方程相加，得$7x_1=14$，解得$x_1=2$，将$x_1=2$代入$2x_1 - x_2 = 1$，得$4-x_2=1$，解得$x_2=3$。
将$x_1=2、x_2=3$代入根与系数的关系，得$-p=2+3=5$，即$p=-5$；$q=2×3=6$。
因此$p+q=-5+6=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础综合类题型，解题关键是准确识别等式的有理、无理部分的对应关系，再结合根与系数的关系计算，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用有理数的性质分析等式结构：因为$x_1、x_2$是有理数根，所以不含根号的$2x_1-x_2$为有理数，等式右边可拆分为有理数1和无理数$\sqrt{11}$两部分，根据“等式两边有理数部分、无理数部分分别对应相等”的性质，可列出关于$x_1、x_2$的二元一次方程组，解出两根后再用一元二次方程根与系数的关系求出$p、q$的值，最后计算$p+q$即可。
【解析】
∵$x_1,x_2$是方程$x^2+px+q=0$的两个有理数根，
∴根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
∵$x_1、x_2$均为有理数，因此$2x_1-x_2$是有理数，结合等式$2x_1 - x_2 + \sqrt{x_1 + 3x_2}=1+\sqrt{11}$中有理数、无理数部分分别对应相等，可得：
$\begin{cases}2x_1 - x_2 = 1 \\ x_1 + 3x_2 = 11 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘3后与第二个方程相加，得$7x_1=14$，解得$x_1=2$，将$x_1=2$代入$2x_1 - x_2 = 1$，得$4-x_2=1$，解得$x_2=3$。
将$x_1=2、x_2=3$代入根与系数的关系，得$-p=2+3=5$，即$p=-5$；$q=2×3=6$。
因此$p+q=-5+6=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础综合类题型，解题关键是准确识别等式的有理、无理部分的对应关系，再结合根与系数的关系计算，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025福建泉州质检,中]如图,直线$y=ax+6$($a＞0$)与反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k＜0,x＜0$)图象交于A,B两点,若$S_{△ AOB}=\frac{6}{a}$,则$ak$的值为
-8
.答案
5. -8 【解析】令$ax+6=\frac{k}{x}$,
∴$ax^2+6x-k=0$,设方程的两个根为$x_1,x_2$,且$x_1＞x_2$,
∴$x_1+x_2=-\frac{6}{a}$,$x_1x_2=-\frac{k}{a}$,
∴$x_1-x_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{36}{a^2}+\frac{4k}{a}}=\frac{\sqrt{36+4ak}}{a}$.
∵$S_{△ AOB}=\frac{6}{a}$,直线$y=ax+6$($a＞0$)与$y$轴交于点$(0,6)$,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×6×(x_1-x_2)=3(x_1-x_2)=\frac{6}{a}$,
∴$3×\frac{\sqrt{36+4ak}}{a}=\frac{6}{a}$,
∴$\sqrt{36+4ak}=2$,
∴$36+4ak=4$,
∴$4ak=-32$,
∴$ak=-8$. 故答案为-8.
∴$ax^2+6x-k=0$,设方程的两个根为$x_1,x_2$,且$x_1＞x_2$,
∴$x_1+x_2=-\frac{6}{a}$,$x_1x_2=-\frac{k}{a}$,
∴$x_1-x_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{36}{a^2}+\frac{4k}{a}}=\frac{\sqrt{36+4ak}}{a}$.
∵$S_{△ AOB}=\frac{6}{a}$,直线$y=ax+6$($a＞0$)与$y$轴交于点$(0,6)$,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×6×(x_1-x_2)=3(x_1-x_2)=\frac{6}{a}$,
∴$3×\frac{\sqrt{36+4ak}}{a}=\frac{6}{a}$,
∴$\sqrt{36+4ak}=2$,
∴$36+4ak=4$,
∴$4ak=-32$,
∴$ak=-8$. 故答案为-8.
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，联立一次函数与反比例函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，A、B两点的横坐标就是该方程的两个根；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积，通过完全平方公式变形求出两个横坐标的差；第三步，找到一次函数与y轴的交点坐标，将△AOB的面积拆分为两个同底三角形的面积和，底为直线与y轴交点的纵坐标绝对值，高为两个交点横坐标的差，结合已知面积列方程；第四步，化简方程求解即可得到ak的值。
【解析】
解：联立直线与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=ax+6 \\ y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去y整理得：$ax^2+6x - k = 0$
设A点横坐标为$x_1$，B点横坐标为$x_2$，且$x_1＞x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{6}{a}$，$x_1x_2=-\frac{k}{a}$
则横坐标的差为：
$x_1 - x_2=\sqrt{(x_1 - x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{\frac{36}{a^2}+\frac{4k}{a}}=\frac{\sqrt{36 + 4ak}}{a}$
直线$y=ax+6$与y轴交点为$(0,6)$，因此△AOB的面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×6×(x_1 - x_2)=3(x_1 - x_2)$
已知$S_{△ AOB}=\frac{6}{a}$，代入得：
$3×\frac{\sqrt{36 + 4ak}}{a}=\frac{6}{a}$
两边同乘a化简得$\sqrt{36+4ak}=2$，平方后得$36+4ak=4$，解得$ak=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
函数交点问题，根与系数的关系，三角形面积计算
【点评】
本题属于函数与方程的综合题，核心是通过数形结合思想关联三角形面积与交点横坐标，再利用根与系数的关系简化运算，能够有效考察学生的综合运算能力和知识整合能力。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路如下：第一步，联立一次函数与反比例函数的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，A、B两点的横坐标就是该方程的两个根；第二步，利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积，通过完全平方公式变形求出两个横坐标的差；第三步，找到一次函数与y轴的交点坐标，将△AOB的面积拆分为两个同底三角形的面积和，底为直线与y轴交点的纵坐标绝对值，高为两个交点横坐标的差，结合已知面积列方程；第四步，化简方程求解即可得到ak的值。
【解析】
解：联立直线与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=ax+6 \\ y=\frac{k}{x}\end{cases}$
消去y整理得：$ax^2+6x - k = 0$
设A点横坐标为$x_1$，B点横坐标为$x_2$，且$x_1＞x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{6}{a}$，$x_1x_2=-\frac{k}{a}$
则横坐标的差为：
$x_1 - x_2=\sqrt{(x_1 - x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{\frac{36}{a^2}+\frac{4k}{a}}=\frac{\sqrt{36 + 4ak}}{a}$
直线$y=ax+6$与y轴交点为$(0,6)$，因此△AOB的面积为：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×6×(x_1 - x_2)=3(x_1 - x_2)$
已知$S_{△ AOB}=\frac{6}{a}$，代入得：
$3×\frac{\sqrt{36 + 4ak}}{a}=\frac{6}{a}$
两边同乘a化简得$\sqrt{36+4ak}=2$，平方后得$36+4ak=4$，解得$ak=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
函数交点问题，根与系数的关系，三角形面积计算
【点评】
本题属于函数与方程的综合题，核心是通过数形结合思想关联三角形面积与交点横坐标，再利用根与系数的关系简化运算，能够有效考察学生的综合运算能力和知识整合能力。
【难度系数】
0.6
6[2026广东广州期中,较难]解决下列问题:
(1)已知$a,b$满足$a^2 -5a +3=0,b^2 -5b +3=0$,求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值.
(2)已知$\begin{cases}x=x_1, \\ y=y_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=x_2, \\ y=y_2\end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$的两组不相等的实数解.问:是否存在实数$k$,使得$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}=2$?若存在,求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
(1)已知$a,b$满足$a^2 -5a +3=0,b^2 -5b +3=0$,求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值.
(2)已知$\begin{cases}x=x_1, \\ y=y_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=x_2, \\ y=y_2\end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$的两组不相等的实数解.问:是否存在实数$k$,使得$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}=2$?若存在,求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
答案
6.【解】(1)
∵$a,b$满足$a^2 -5a +3=0,b^2 -5b +3=0$,
∴$a,b$是一元二次方程$x^2-5x+3=0$的两个实数根,
∴$a+b=5$,$ab=3$,
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{5^2-2×3}{3}=\frac{19}{3}$.(2)存在.
∵$\begin{cases}x=x_1, \\ y=y_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=x_2, \\ y=y_2\end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$的两组不相等的实数解,
∴$\begin{cases}x_1^2-y_1+k=0, \\ x_1-y_1=1,\end{cases}$$\begin{cases}x_2^2-y_2+k=0, \\ x_2-y_2=1,\end{cases}$
∴$y_1=x_1-1$,$y_2=x_2-1$,
∴$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$. 方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$消去$y$,得$x^2-x+k+1=0$,则$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-x+k+1=0$的两个实数根,
∴$x_1+x_2=1$,$x_1x_2=k+1$,
∴$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1} = [x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=(k+1-1+1)-\frac{1^2}{k+1}+2=(k+1)-\frac{1}{k+1}+2$.
∵$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}=2$,
∴$(k+1)-\frac{1}{k+1}+2=2$,即$(k+1)-\frac{1}{k+1}=0$,则$(k+1)^2=1$,
∴$k+1=1$或$k+1=-1$,解得$k=0$或$k=-2$. 当$k=0$时,一元二次方程为$x^2-x+1=0$,则$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$,无实数解,舍去;当$k=-2$时,一元二次方程为$x^2-x-1=0$,则$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$,有两个不相等的实数解,符合题意. 综上所述,$k=-2$.
∵$a,b$满足$a^2 -5a +3=0,b^2 -5b +3=0$,
∴$a,b$是一元二次方程$x^2-5x+3=0$的两个实数根,
∴$a+b=5$,$ab=3$,
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{5^2-2×3}{3}=\frac{19}{3}$.(2)存在.
∵$\begin{cases}x=x_1, \\ y=y_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=x_2, \\ y=y_2\end{cases}$是关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$的两组不相等的实数解,
∴$\begin{cases}x_1^2-y_1+k=0, \\ x_1-y_1=1,\end{cases}$$\begin{cases}x_2^2-y_2+k=0, \\ x_2-y_2=1,\end{cases}$
∴$y_1=x_1-1$,$y_2=x_2-1$,
∴$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$. 方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$消去$y$,得$x^2-x+k+1=0$,则$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-x+k+1=0$的两个实数根,
∴$x_1+x_2=1$,$x_1x_2=k+1$,
∴$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1} = [x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=(k+1-1+1)-\frac{1^2}{k+1}+2=(k+1)-\frac{1}{k+1}+2$.
∵$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}=2$,
∴$(k+1)-\frac{1}{k+1}+2=2$,即$(k+1)-\frac{1}{k+1}=0$,则$(k+1)^2=1$,
∴$k+1=1$或$k+1=-1$,解得$k=0$或$k=-2$. 当$k=0$时,一元二次方程为$x^2-x+1=0$,则$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×1=1-4=-3＜0$,无实数解,舍去;当$k=-2$时,一元二次方程为$x^2-x-1=0$,则$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-1)=1+4=5＞0$,有两个不相等的实数解,符合题意. 综上所述,$k=-2$.
解析
【分析】
(1) 观察已知条件发现a、b满足结构完全相同的一元二次方程，可判断a、b是方程$x^2-5x+3=0$的两个实数根，先通过韦达定理得到$a+b$和$ab$的值；再将所求分式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分变形为用$a+b$、$ab$表示的形式，代入计算即可。
(2) 先对二元方程组消元得到关于x的一元二次方程，因方程组有两组不等实根，故该一元二次方程判别式$\Delta＞0$；再将$y_1$、$y_2$用$x_1$、$x_2$表示，把所求表达式全部转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，结合韦达定理代入等式求解k，最后验证所得k是否满足判别式大于0的条件，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1)
∵$a,b$满足$a^2 -5a +3=0,b^2 -5b +3=0$，
∴$a,b$是一元二次方程$x^2-5x+3=0$的两个实数根，
根据韦达定理得：$a+b=5$，$ab=3$，
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{5^2-2×3}{3}=\frac{19}{3}$。
(2) 存在实数k满足题意，理由如下：
∵$\begin{cases}x=x_1, \\ y=y_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=x_2, \\ y=y_2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$的两组不相等的实数解，
∴$\begin{cases}x_1^2-y_1+k=0, \\ x_1-y_1=1,\end{cases}$$\begin{cases}x_2^2-y_2+k=0, \\ x_2-y_2=1,\end{cases}$
由$x-y=1$得$y=x-1$，故$y_1=x_1-1$，$y_2=x_2-1$，
∴$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$。
将$y=x-1$代入$x^2 - y + k = 0$消去y，整理得$x^2-x+k+1=0$，
则$x_1,x_2$是该方程的两个不相等实数根，根据韦达定理得：$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=k+1$，且判别式$\Delta=(-1)^2-4(k+1)＞0$，即$k＜-\frac{3}{4}$。
将上述关系代入$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}=2$：
$\begin{aligned}左边&=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\\&=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\\&=(k+1-1+1)-\frac{1-2(k+1)}{k+1}\\&=(k+1)-\frac{1}{k+1}+2\end{aligned}$
∴$(k+1)-\frac{1}{k+1}+2=2$，即$(k+1)-\frac{1}{k+1}=0$，
两边同乘$k+1$得$(k+1)^2=1$，解得$k=0$或$k=-2$。
检验：当$k=0$时，$\Delta=1-4×1×1=-3＜0$，无实根，舍去；
当$k=-2$时，$\Delta=1-4×1×(-1)=5＞0$，符合题意。
综上，$k=-2$。
【答案】
(1) $\frac{19}{3}$；(2) 存在，$k=-2$
【知识点】
韦达定理，二元二次方程组消元，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合应用，第一小问需要识别同构方程的根的关系，掌握分式变形技巧；第二小问需要通过消元将方程组问题转化为一元二次方程问题，结合韦达定理化简求解，尤其要注意验证判别式的取值，排除增根，对代数变形能力和解题严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 观察已知条件发现a、b满足结构完全相同的一元二次方程，可判断a、b是方程$x^2-5x+3=0$的两个实数根，先通过韦达定理得到$a+b$和$ab$的值；再将所求分式$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$通分变形为用$a+b$、$ab$表示的形式，代入计算即可。
(2) 先对二元方程组消元得到关于x的一元二次方程，因方程组有两组不等实根，故该一元二次方程判别式$\Delta＞0$；再将$y_1$、$y_2$用$x_1$、$x_2$表示，把所求表达式全部转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，结合韦达定理代入等式求解k，最后验证所得k是否满足判别式大于0的条件，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1)
∵$a,b$满足$a^2 -5a +3=0,b^2 -5b +3=0$，
∴$a,b$是一元二次方程$x^2-5x+3=0$的两个实数根，
根据韦达定理得：$a+b=5$，$ab=3$，
∴$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{5^2-2×3}{3}=\frac{19}{3}$。
(2) 存在实数k满足题意，理由如下：
∵$\begin{cases}x=x_1, \\ y=y_1\end{cases}$和$\begin{cases}x=x_2, \\ y=y_2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x^2 - y + k = 0, \\ x - y = 1\end{cases}$的两组不相等的实数解，
∴$\begin{cases}x_1^2-y_1+k=0, \\ x_1-y_1=1,\end{cases}$$\begin{cases}x_2^2-y_2+k=0, \\ x_2-y_2=1,\end{cases}$
由$x-y=1$得$y=x-1$，故$y_1=x_1-1$，$y_2=x_2-1$，
∴$y_1y_2=(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$。
将$y=x-1$代入$x^2 - y + k = 0$消去y，整理得$x^2-x+k+1=0$，
则$x_1,x_2$是该方程的两个不相等实数根，根据韦达定理得：$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=k+1$，且判别式$\Delta=(-1)^2-4(k+1)＞0$，即$k＜-\frac{3}{4}$。
将上述关系代入$y_1y_2 - \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1}=2$：
$\begin{aligned}左边&=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\\&=[x_1x_2-(x_1+x_2)+1]-\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\\&=(k+1-1+1)-\frac{1-2(k+1)}{k+1}\\&=(k+1)-\frac{1}{k+1}+2\end{aligned}$
∴$(k+1)-\frac{1}{k+1}+2=2$，即$(k+1)-\frac{1}{k+1}=0$，
两边同乘$k+1$得$(k+1)^2=1$，解得$k=0$或$k=-2$。
检验：当$k=0$时，$\Delta=1-4×1×1=-3＜0$，无实根，舍去；
当$k=-2$时，$\Delta=1-4×1×(-1)=5＞0$，符合题意。
综上，$k=-2$。
【答案】
(1) $\frac{19}{3}$；(2) 存在，$k=-2$
【知识点】
韦达定理，二元二次方程组消元，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合应用，第一小问需要识别同构方程的根的关系，掌握分式变形技巧；第二小问需要通过消元将方程组问题转化为一元二次方程问题，结合韦达定理化简求解，尤其要注意验证判别式的取值，排除增根，对代数变形能力和解题严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.4
7 思想方法 转化思想 [2026江苏南京质检,较难]我们知道,解一元二次方程时,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,例如一元三次方程$x^3+x^2-2x=0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^2+x-2)=0$,通过解方程$x=0$和$x^2+x-2=0$,可得方程$x^3+x^2-2x=0$的解.
(1)用“转化”的思想求方程$\sqrt{2x+3}=x$的解.
(2)方程$x^3+x^2-2x=0$的解是$x_1=0,x_2=$$,x_3=$.
(3)若三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的解为$x_1,x_2,x_3$,则$x_1+x_2+x_3=$$,x_1x_2x_3=$$,x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=$.
(1)用“转化”的思想求方程$\sqrt{2x+3}=x$的解.
(2)方程$x^3+x^2-2x=0$的解是$x_1=0,x_2=$$,x_3=$.
(3)若三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的解为$x_1,x_2,x_3$,则$x_1+x_2+x_3=$$,x_1x_2x_3=$$,x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=$.
答案
7.【解】(1)
∵$\sqrt{2x+3}=x$,
∴$2x+3=x^2$,即$x^2-2x-3=0$,
∴$(x+1)(x-3)=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$. 当$x=3$时,左边$=\sqrt{2×3+3}=\sqrt{9}=3$,右边$=3$,左边=右边,
∴$x=3$是原方程的解;当$x=-1$时,左边$=\sqrt{2×(-1)+3}=\sqrt{1}=1$,右边$=-1$,左边≠右边,
∴$x=-1$不是原方程的解.
∴原方程的解为$x=3$.(2)
∵$x^3+x^2-2x=0$,
∴$x(x^2+x-2)=0$,
∴$x(x-1)(x+2)=0$,
∴$x=0$或$x-1=0$或$x+2=0$,解得$x_1=0$,$x_2=1$,$x_3=-2$,故答案为$1,-2$.(3)将原方程变形为$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$.
∵方程的解为$x_1,x_2,x_3$,
∴可表示为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,
∴$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-x_1x_2x_3=0$,与$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$对比系数可得$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$,$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$,故答案为$-\frac{b}{a},-\frac{d}{a},\frac{c}{a}$.
∵$\sqrt{2x+3}=x$,
∴$2x+3=x^2$,即$x^2-2x-3=0$,
∴$(x+1)(x-3)=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$. 当$x=3$时,左边$=\sqrt{2×3+3}=\sqrt{9}=3$,右边$=3$,左边=右边,
∴$x=3$是原方程的解;当$x=-1$时,左边$=\sqrt{2×(-1)+3}=\sqrt{1}=1$,右边$=-1$,左边≠右边,
∴$x=-1$不是原方程的解.
∴原方程的解为$x=3$.(2)
∵$x^3+x^2-2x=0$,
∴$x(x^2+x-2)=0$,
∴$x(x-1)(x+2)=0$,
∴$x=0$或$x-1=0$或$x+2=0$,解得$x_1=0$,$x_2=1$,$x_3=-2$,故答案为$1,-2$.(3)将原方程变形为$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$.
∵方程的解为$x_1,x_2,x_3$,
∴可表示为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,
∴$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-x_1x_2x_3=0$,与$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$对比系数可得$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$,$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$,故答案为$-\frac{b}{a},-\frac{d}{a},\frac{c}{a}$.
解析
【分析】
(1) 求解无理方程的核心思路是通过平方去根号，将陌生的无理方程转化为熟悉的一元二次方程求解，需注意平方操作可能产生增根，解完必须代入原方程检验根的有效性。
(2) 求解三次高次方程，利用因式分解降次，先提公因式得到x与二次式的乘积，再对二次式继续因式分解，转化为三个一次式乘积为0的形式，令每个一次式为0即可得全部解。
(3) 推导三次方程根与系数的关系时，先将三次方程最高次项系数化为1，再根据方程的根将其写为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$的形式，展开后与系数化为1的三次方程对比同次项系数，即可得到对应的根与系数关系式。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{2x+3}=x$，
方程两边同时平方得$2x+3=x^2$，整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
检验：当$x=3$时，左边$=\sqrt{2×3+3}=\sqrt{9}=3$，右边$=3$，左边=右边，故$x=3$是原方程的解；
当$x=-1$时，左边$=\sqrt{2×(-1)+3}=\sqrt{1}=1$，右边$=-1$，左边≠右边，故$x=-1$是增根，舍去。
(2) 对$x^3+x^2-2x=0$因式分解，
提公因式得$x(x^2+x-2)=0$，
继续分解二次式得$x(x-1)(x+2)=0$，
令每个因式为0，得$x=0$或$x-1=0$或$x+2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，$x_3=-2$。
(3) 将$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$两边同时除以$a$，得$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$，
因为方程的解为$x_1,x_2,x_3$，所以方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$，
展开左边得$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-x_1x_2x_3=0$，
对比同次项系数可得：
$-(x_1+x_2+x_3)=\frac{b}{a}$，即$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$；
$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$；
$-x_1x_2x_3=\frac{d}{a}$，即$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$。
【答案】
(1) $x=3$
(2) $1$；$-2$
(3) $-\frac{b}{a}$；$-\frac{d}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
转化思想；无理方程求解；根与系数关系
【点评】
本题围绕转化思想设计，引导学生将陌生的无理方程、高次方程转化为已学的一元一次、二次方程求解，同时延伸了三次方程的根与系数关系，解题时需注意无理方程必须检验增根，能够有效锻炼知识迁移和类比推理能力。
【难度系数】
0.5
(1) 求解无理方程的核心思路是通过平方去根号，将陌生的无理方程转化为熟悉的一元二次方程求解，需注意平方操作可能产生增根，解完必须代入原方程检验根的有效性。
(2) 求解三次高次方程，利用因式分解降次，先提公因式得到x与二次式的乘积，再对二次式继续因式分解，转化为三个一次式乘积为0的形式，令每个一次式为0即可得全部解。
(3) 推导三次方程根与系数的关系时，先将三次方程最高次项系数化为1，再根据方程的根将其写为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$的形式，展开后与系数化为1的三次方程对比同次项系数，即可得到对应的根与系数关系式。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{2x+3}=x$，
方程两边同时平方得$2x+3=x^2$，整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
检验：当$x=3$时，左边$=\sqrt{2×3+3}=\sqrt{9}=3$，右边$=3$，左边=右边，故$x=3$是原方程的解；
当$x=-1$时，左边$=\sqrt{2×(-1)+3}=\sqrt{1}=1$，右边$=-1$，左边≠右边，故$x=-1$是增根，舍去。
(2) 对$x^3+x^2-2x=0$因式分解，
提公因式得$x(x^2+x-2)=0$，
继续分解二次式得$x(x-1)(x+2)=0$，
令每个因式为0，得$x=0$或$x-1=0$或$x+2=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$，$x_3=-2$。
(3) 将$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$两边同时除以$a$，得$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$，
因为方程的解为$x_1,x_2,x_3$，所以方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$，
展开左边得$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-x_1x_2x_3=0$，
对比同次项系数可得：
$-(x_1+x_2+x_3)=\frac{b}{a}$，即$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$；
$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$；
$-x_1x_2x_3=\frac{d}{a}$，即$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$。
【答案】
(1) $x=3$
(2) $1$；$-2$
(3) $-\frac{b}{a}$；$-\frac{d}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
转化思想；无理方程求解；根与系数关系
【点评】
本题围绕转化思想设计，引导学生将陌生的无理方程、高次方程转化为已学的一元一次、二次方程求解，同时延伸了三次方程的根与系数关系，解题时需注意无理方程必须检验增根，能够有效锻炼知识迁移和类比推理能力。
【难度系数】
0.5
