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1 新考向 传统文化 [2026 江苏苏州期中]如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1 cm的正方形孔. 已知正方形面积是圆面积的$\frac{1}{9}$. 设圆的半径为x cm，根据题意可列出的方程为（
A.$\frac{1}{9}x^2=1$
B.$\frac{1}{9}(x+1)^2=1$
C.$\frac{1}{9}π x^2=1$
D.$\frac{1}{9}π(x+1)^2=1$
C
）A.$\frac{1}{9}x^2=1$
B.$\frac{1}{9}(x+1)^2=1$
C.$\frac{1}{9}π x^2=1$
D.$\frac{1}{9}π(x+1)^2=1$
答案
由正方形孔的边长为1 cm,可得正方形的面积为1 cm².由圆的半径为x cm,可得圆的面积为$πx^2$ cm².由正方形面积是圆面积的$\frac{1}{9}$,可列出方程为$\frac{1}{9}πx^2=1$. 故选C.
解析
【分析】
解决列方程类题目首先要找准等量关系，本题的核心等量关系为：正方形孔的面积 = 圆面积×$\frac{1}{9}$。接下来分别计算两个图形的面积即可：已知正方形边长为1cm，可直接用正方形面积公式算出面积；已知圆的半径为x cm，用圆的面积公式表示出圆的面积，最后将两个面积代入等量关系就能得到对应方程。
【解析】
第一步：计算正方形孔的面积，正方形边长为1 cm，因此正方形面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
第二步：计算圆形钱币的面积，圆的半径为x cm，根据圆的面积公式可得圆的面积为$πx^2\ \mathrm{cm}^2$。
第三步：结合“正方形面积是圆面积的$\frac{1}{9}$”的等量关系，列方程得$\frac{1}{9}πx^2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列方程解应用题，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题结合传统古钱币的情境出题，考查基础的几何面积公式应用和列方程的能力，难度较低，只要准确提取等量关系、熟记常见图形的面积公式就能正确作答。
【难度系数】
0.8
解决列方程类题目首先要找准等量关系，本题的核心等量关系为：正方形孔的面积 = 圆面积×$\frac{1}{9}$。接下来分别计算两个图形的面积即可：已知正方形边长为1cm，可直接用正方形面积公式算出面积；已知圆的半径为x cm，用圆的面积公式表示出圆的面积，最后将两个面积代入等量关系就能得到对应方程。
【解析】
第一步：计算正方形孔的面积，正方形边长为1 cm，因此正方形面积为$1×1=1\ \mathrm{cm}^2$。
第二步：计算圆形钱币的面积，圆的半径为x cm，根据圆的面积公式可得圆的面积为$πx^2\ \mathrm{cm}^2$。
第三步：结合“正方形面积是圆面积的$\frac{1}{9}$”的等量关系，列方程得$\frac{1}{9}πx^2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列方程解应用题，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题结合传统古钱币的情境出题，考查基础的几何面积公式应用和列方程的能力，难度较低，只要准确提取等量关系、熟记常见图形的面积公式就能正确作答。
【难度系数】
0.8
2 新考法[2026江苏南通期末]甲、乙两个正方形的面积和为10，按图(1)放置，阴影部分面积为8，则按图(2)放置，阴影部分面积为（
A.$\frac{15}{2}$
B.$\frac{15}{4}$
C.8
D.10
C
）A.$\frac{15}{2}$
B.$\frac{15}{4}$
C.8
D.10
答案
设甲、乙两个正方形的边长分别为a,b,且a＞b.依题意得$a^2+b^2=10$.由题图(1)得$\frac{1}{2}(a+b)^2=8$,$\therefore (a+b)^2=16$,$\therefore a+b=4$,$\therefore a=4-b$,$\therefore (4-b)^2+b^2=10$,解得$b_1=1$,$b_2=3$.当$b=1$时,$a=3$,$a^2-b^2=8$;当$b=3$时,$a=1$,不符合a＞b,舍去.综上,按题图(2)放置,阴影部分面积为8,故选C.
解析
【分析】
要解决本题，首先设甲、乙正方形的边长分别为a、b且a＞b。第一步，根据甲乙正方形面积和为10，可得到方程$a^2+b^2=10$；第二步，结合图(1)的阴影面积为8，推导得到关于a、b的第二个关系式，联立两个式子可求解出a、b的取值；第三步，分析图(2)的阴影部分为大正方形面积减去小正方形面积，代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
设甲正方形的边长为$a$，乙正方形的边长为$b$，且$a＞b$。
1. 根据题意，两个正方形面积和为10，可得：
$a^2 + b^2 = 10$
2. 由题图(1)阴影部分面积为8，可得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = 8$
整理得$(a+b)^2=16$，由于边长为正数，因此$a+b=4$，即$a=4-b$。
3. 将$a=4-b$代入$a^2 + b^2=10$，得：
$(4-b)^2 + b^2 = 10$
展开整理得$b^2 -4b +3=0$，因式分解为$(b-1)(b-3)=0$，解得$b_1=1$，$b_2=3$。
4. 结合$a＞b$的条件：当$b=3$时，$a=1$，不符合要求，舍去；当$b=1$时，$a=3$，符合要求。
5. 分析题图(2)，阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形乙的面积，即：
$S_{阴影}=a^2 - b^2 = 3^2 -1^2 = 9-1=8$
【答案】
C
【知识点】
面积和差计算，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题将几何面积问题和代数计算结合，解题的核心是通过设边长，把几何图形的面积条件转化为代数方程，利用方程思想求解边长，再计算目标阴影面积，较好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先设甲、乙正方形的边长分别为a、b且a＞b。第一步，根据甲乙正方形面积和为10，可得到方程$a^2+b^2=10$；第二步，结合图(1)的阴影面积为8，推导得到关于a、b的第二个关系式，联立两个式子可求解出a、b的取值；第三步，分析图(2)的阴影部分为大正方形面积减去小正方形面积，代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
设甲正方形的边长为$a$，乙正方形的边长为$b$，且$a＞b$。
1. 根据题意，两个正方形面积和为10，可得：
$a^2 + b^2 = 10$
2. 由题图(1)阴影部分面积为8，可得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = 8$
整理得$(a+b)^2=16$，由于边长为正数，因此$a+b=4$，即$a=4-b$。
3. 将$a=4-b$代入$a^2 + b^2=10$，得：
$(4-b)^2 + b^2 = 10$
展开整理得$b^2 -4b +3=0$，因式分解为$(b-1)(b-3)=0$，解得$b_1=1$，$b_2=3$。
4. 结合$a＞b$的条件：当$b=3$时，$a=1$，不符合要求，舍去；当$b=1$时，$a=3$，符合要求。
5. 分析题图(2)，阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形乙的面积，即：
$S_{阴影}=a^2 - b^2 = 3^2 -1^2 = 9-1=8$
【答案】
C
【知识点】
面积和差计算，完全平方公式，一元二次方程求解
【点评】
本题将几何面积问题和代数计算结合，解题的核心是通过设边长，把几何图形的面积条件转化为代数方程，利用方程思想求解边长，再计算目标阴影面积，较好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
3[2026江苏宿迁质检]如图，某农家乐老板计划在一块长130 m，宽60 m的空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750 m²，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为
5
m.答案
设垂钓通道的宽度为x m.由题意得$(130-3x)(60-2x)=5750$,整理得$3x^2-220x+1025=0$,解得$x_1=5$,$x_2=\frac{205}{3}$.当$x=\frac{205}{3}$时,$60-2x=60-\frac{410}{3}＜0$,不合题意,舍去,$\therefore x=5$,$\therefore$ 垂钓通道的宽度为5 m,故答案为5.
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程求解的面积类实际应用题，解题思路如下：首先设垂钓通道的宽度为x m，再结合图形确定两块鱼塘合并后形成的长方形的长和宽：水平方向共有3段宽度为x的通道，因此合并后鱼塘的长为$(130-3x)m$；竖直方向共有2段宽度为x的通道，因此合并后鱼塘的宽为$(60-2x)m$。接着根据两块鱼塘面积之和为$5750m^2$，结合长方形面积公式列方程求解，最后根据长度为正的实际要求检验根的合理性，舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设垂钓通道的宽度为x m。
由题意得：
$(130-3x)(60-2x)=5750$
展开整理得：
$3x^2-220x+1025=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=\frac{205}{3}$
检验：当$x=\frac{205}{3}$时，$60-2x=60-\frac{410}{3}＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用；长方形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，解题核心是结合图形准确用含未知数的式子表示出鱼塘的总长和总宽，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，避免保留不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程求解的面积类实际应用题，解题思路如下：首先设垂钓通道的宽度为x m，再结合图形确定两块鱼塘合并后形成的长方形的长和宽：水平方向共有3段宽度为x的通道，因此合并后鱼塘的长为$(130-3x)m$；竖直方向共有2段宽度为x的通道，因此合并后鱼塘的宽为$(60-2x)m$。接着根据两块鱼塘面积之和为$5750m^2$，结合长方形面积公式列方程求解，最后根据长度为正的实际要求检验根的合理性，舍去不合题意的根即可得到结果。
【解析】
解：设垂钓通道的宽度为x m。
由题意得：
$(130-3x)(60-2x)=5750$
展开整理得：
$3x^2-220x+1025=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=\frac{205}{3}$
检验：当$x=\frac{205}{3}$时，$60-2x=60-\frac{410}{3}＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程应用；长方形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，解题核心是结合图形准确用含未知数的式子表示出鱼塘的总长和总宽，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，避免保留不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
4[2026江苏扬州调研]如图,靠墙(墙长25米)用总长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD,且中间留两个1米宽的小门,设栅栏BC长为x米.
(1)AB=
(2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米,求栅栏BC的长.
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到270平方米?若有可能,求出相应x的值;若不可能,请说明理由.
(1)AB=
51-3x
米(用含x的代数式表示).(2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米,求栅栏BC的长.
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到270平方米?若有可能,求出相应x的值;若不可能,请说明理由.
答案
(1)$\because$ 栅栏BC长为x米,栅栏的全长为49米,$\therefore AB=49+2-3x=(51-3x)$米.
(2)依题意,得$(51-3x)x=210$,整理,得$x^2-17x+70=0$,解得$x_1=7$,$x_2=10$.当$x=7$时,$AB=51-3x=30＞25$,不合题意,舍去;当$x=10$时,$AB=51-3x=21＜25$,符合题意.
答:栅栏BC的长为10米.
(3)不可能.理由如下:依题意,得$(51-3x)x=270$,整理得$x^2-17x+90=0$.$\because b^2-4ac=(-17)^2-4×1×90=-71＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根,$\therefore$ 矩形围栏ABCD的面积不可能达到270平方米.
(2)依题意,得$(51-3x)x=210$,整理,得$x^2-17x+70=0$,解得$x_1=7$,$x_2=10$.当$x=7$时,$AB=51-3x=30＞25$,不合题意,舍去;当$x=10$时,$AB=51-3x=21＜25$,符合题意.
答:栅栏BC的长为10米.
(3)不可能.理由如下:依题意,得$(51-3x)x=270$,整理得$x^2-17x+90=0$.$\because b^2-4ac=(-17)^2-4×1×90=-71＜0$,$\therefore$ 方程没有实数根,$\therefore$ 矩形围栏ABCD的面积不可能达到270平方米.
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 首先明确栅栏总长度加上两个小门的总宽度，就是所有边（含小门位置）的总长度；观察图形可知垂直于墙的边共3条，长度均为x米，用总长度减去3条垂直边的长度即可得到AB的表达式；
(2) 根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，解方程后要结合墙长25米的限制，舍去不符合实际意义的根；
(3) 同样根据面积关系列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断对应面积是否存在。
【解析】
(1) 已知BC长为x米，栅栏全长49米，两个小门各宽1米，因此含小门的总长度为$49+2=51$米。
垂直于墙的边共3条，总长度为$3x$米，因此$AB=51-3x$米。
(2) 依题意，矩形面积为AB与BC的乘积，列方程得：
$x(51-3x)=210$
整理得：$x^2-17x+70=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=10$
验根：
当$x=7$时，$AB=51-3×7=30$，$30＞25$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$AB=51-3×10=21$，$21＜25$，符合题意。
(3) 不可能，理由如下：
若面积为270平方米，列方程得：
$x(51-3x)=270$
整理得：$x^2-17x+90=0$
计算根的判别式：$\Delta = (-17)^2 -4×1×90=289-360=-71＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即矩形围栏的面积不可能达到270平方米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{51-3x}$
(2) $\boldsymbol{10}$米
(3) 不可能
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是典型的生活中的面积类应用题，解题时要注意结合实际场景的限制条件对所求的根进行验证，避免出现不符合实际的结果；判断存在性问题时可借助一元二次方程根的判别式快速分析。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程在矩形面积实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 首先明确栅栏总长度加上两个小门的总宽度，就是所有边（含小门位置）的总长度；观察图形可知垂直于墙的边共3条，长度均为x米，用总长度减去3条垂直边的长度即可得到AB的表达式；
(2) 根据“矩形面积=长×宽”列一元二次方程，解方程后要结合墙长25米的限制，舍去不符合实际意义的根；
(3) 同样根据面积关系列方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断对应面积是否存在。
【解析】
(1) 已知BC长为x米，栅栏全长49米，两个小门各宽1米，因此含小门的总长度为$49+2=51$米。
垂直于墙的边共3条，总长度为$3x$米，因此$AB=51-3x$米。
(2) 依题意，矩形面积为AB与BC的乘积，列方程得：
$x(51-3x)=210$
整理得：$x^2-17x+70=0$
解得：$x_1=7$，$x_2=10$
验根：
当$x=7$时，$AB=51-3×7=30$，$30＞25$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=10$时，$AB=51-3×10=21$，$21＜25$，符合题意。
(3) 不可能，理由如下：
若面积为270平方米，列方程得：
$x(51-3x)=270$
整理得：$x^2-17x+90=0$
计算根的判别式：$\Delta = (-17)^2 -4×1×90=289-360=-71＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即矩形围栏的面积不可能达到270平方米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{51-3x}$
(2) $\boldsymbol{10}$米
(3) 不可能
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是典型的生活中的面积类应用题，解题时要注意结合实际场景的限制条件对所求的根进行验证，避免出现不符合实际的结果；判断存在性问题时可借助一元二次方程根的判别式快速分析。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏无锡期末]某工厂经过两年的时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到16 900台.若设平均每年的增长率为x,则可列方程为（
A.$14\ 400(1+x)^2=16\ 900$
B.$14\ 400(1+x^2)=16\ 900$
C.$14\ 400(1+2x)=16\ 900$
D.$14\ 400x^2=16\ 900$
A
）A.$14\ 400(1+x)^2=16\ 900$
B.$14\ 400(1+x^2)=16\ 900$
C.$14\ 400(1+2x)=16\ 900$
D.$14\ 400x^2=16\ 900$
答案
根据题意,得$14400(1+x)^2=16900$,故选A.
解析
【分析】
本题考查平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。首先第一年的产量是在初始产量14400台的基础上增长x，因此第一年结束的产量为14400(1+x)；第二年的产量是在第一年产量的基础上再增长x，因此第二年结束的产量需要在第一年的结果上再乘(1+x)，最终两年后产量为16900台，据此即可列出方程判断选项。
【解析】
已知初始年产量为14400台，平均每年增长率为x：
1. 第一年年末的产量为：$14400×(1+x)$
2. 第二年年末的产量是在第一年产量基础上增长x，因此为：$14400×(1+x)×(1+x)=14400(1+x)^2$
3. 题目中两年后产量为16900台，因此可列方程：$14400(1+x)^2=16900$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础题型，解题核心是牢记连续n次增长后的量的计算公式：初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量，注意不要将连续增长的指数关系和单次增长的线性关系混淆。
【难度系数】
0.85
本题考查平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。首先第一年的产量是在初始产量14400台的基础上增长x，因此第一年结束的产量为14400(1+x)；第二年的产量是在第一年产量的基础上再增长x，因此第二年结束的产量需要在第一年的结果上再乘(1+x)，最终两年后产量为16900台，据此即可列出方程判断选项。
【解析】
已知初始年产量为14400台，平均每年增长率为x：
1. 第一年年末的产量为：$14400×(1+x)$
2. 第二年年末的产量是在第一年产量基础上增长x，因此为：$14400×(1+x)×(1+x)=14400(1+x)^2$
3. 题目中两年后产量为16900台，因此可列方程：$14400(1+x)^2=16900$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率的基础题型，解题核心是牢记连续n次增长后的量的计算公式：初始量×(1+增长率)ⁿ=最终量，注意不要将连续增长的指数关系和单次增长的线性关系混淆。
【难度系数】
0.85
6[2026江苏南京质检]某商场在国庆期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以128元的价格出售.
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议，先公布降价10%，再下调30%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
(1)求平均每次降价的百分率；
(2)售货员向经理建议，先公布降价10%，再下调30%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
答案
(1)设平均每次降价的百分率是x.根据题意得,$200(1-x)^2=128$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=1.8=180\%$(不合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率为20%.
(2)售货员的方案对顾客更优惠.$200(1-10\%)(1-30\%)=126＜128$,$\therefore$ 售货员的方案对顾客更优惠.
答:平均每次降价的百分率为20%.
(2)售货员的方案对顾客更优惠.$200(1-10\%)(1-30\%)=126＜128$,$\therefore$ 售货员的方案对顾客更优惠.
解析
【分析】
（1）本题属于平均变化率类应用题，解题核心是利用平均降价的等量关系列方程。设每次降价的百分率为x，第一次降价后商品价格为$200(1-x)$，第二次在第一次降价的基础上再降价，价格为$200(1-x)(1-x)=200(1-x)^2$，结合两次降价后售价为128元即可列方程求解，注意降价百分率不能大于1，需舍去不符合实际的根。
（2）判断售货员的方案是否更优惠，只需按该方案的降价规则计算出最终售价，再和128元比较，售价更低的方案对顾客更优惠。
【解析】
(1) 设平均每次降价的百分率是$x$，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=128$
整理得$(1-x)^2=0.64$，开方得$1-x=\pm0.8$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8=180\%$
由于降价百分率不能超过100%，因此$x_2=180\%$不符合实际意义，舍去。
答：平均每次降价的百分率为20%。
(2) 按照售货员的方案计算最终售价：
$200×(1-10\%)×(1-30\%)=200×0.9×0.7=126$（元）
因为$126＜128$，即售货员方案的最终售价更低。
答：售货员的方案对顾客更优惠。
【答案】
(1) 平均每次降价的百分率为20%；
(2) 售货员的方案对顾客更优惠，因为该方案最终售价为126元，低于原方案的128元。
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用；方案比较
【点评】
本题是生活场景中的数学应用题，重点考察平均变化率的计算公式，解题时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，第二问只需准确计算不同方案的售价比较即可，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于平均变化率类应用题，解题核心是利用平均降价的等量关系列方程。设每次降价的百分率为x，第一次降价后商品价格为$200(1-x)$，第二次在第一次降价的基础上再降价，价格为$200(1-x)(1-x)=200(1-x)^2$，结合两次降价后售价为128元即可列方程求解，注意降价百分率不能大于1，需舍去不符合实际的根。
（2）判断售货员的方案是否更优惠，只需按该方案的降价规则计算出最终售价，再和128元比较，售价更低的方案对顾客更优惠。
【解析】
(1) 设平均每次降价的百分率是$x$，根据题意列方程：
$200(1-x)^2=128$
整理得$(1-x)^2=0.64$，开方得$1-x=\pm0.8$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8=180\%$
由于降价百分率不能超过100%，因此$x_2=180\%$不符合实际意义，舍去。
答：平均每次降价的百分率为20%。
(2) 按照售货员的方案计算最终售价：
$200×(1-10\%)×(1-30\%)=200×0.9×0.7=126$（元）
因为$126＜128$，即售货员方案的最终售价更低。
答：售货员的方案对顾客更优惠。
【答案】
(1) 平均每次降价的百分率为20%；
(2) 售货员的方案对顾客更优惠，因为该方案最终售价为126元，低于原方案的128元。
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用；方案比较
【点评】
本题是生活场景中的数学应用题，重点考察平均变化率的计算公式，解题时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，第二问只需准确计算不同方案的售价比较即可，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
