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1[中]元旦来临前,某商场将一件原价为$a$元的衬衫以一个给定的百分比提升价格,元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格,最终,衬衫的价格比原价降低了$0.16a$元,则这个给定的百分比为（
A.$16\%$
B.$36\%$
C.$40\%$
D.$50\%$
C
）A.$16\%$
B.$36\%$
C.$40\%$
D.$50\%$
答案
设这个给定的百分比为x.根据题意,得$a(1+x)(1-x)=a-0.16a$,解得$x_1=0.4=40\%$,$x_2=-0.4$(舍去),即这个给定的百分比为40%.故选C.
解析
【分析】
本题属于百分率变化类问题，解题思路如下：第一步先设给定的百分比为x；第二步明确价格变化的两个阶段：首先是在原价a元的基础上涨价x，提价后的价格为a(1+x)，之后是在提价后的价格基础上降价x，因此降价后的最终价格为a(1+x)(1-x)；第三步根据“最终价格比原价降低了0.16a元”，也就是最终价格等于a-0.16a，列出方程求解即可，注意百分比为正数，需舍去负根。
【解析】
设这个给定的百分比为x，根据题意可列方程：
$a(1+x)(1-x)=a-0.16a$
左边利用平方差公式化简得$a(1-x^2)=0.84a$，
由于衬衫原价a不为0，两边同时除以a得：$1-x^2=0.84$，
移项计算得$x^2=0.16$，
解得$x_1=0.4=40\%$，$x_2=-0.4$（百分比不能为负，不符合实际意义，舍去），
因此这个给定的百分比为40%。
【答案】
C
【知识点】
1. 百分率应用 2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是百分率变化的典型题型，解题关键是明确两次价格调整的基准价不同，提价的基准是原价，降价的基准是提价后的价格，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
本题属于百分率变化类问题，解题思路如下：第一步先设给定的百分比为x；第二步明确价格变化的两个阶段：首先是在原价a元的基础上涨价x，提价后的价格为a(1+x)，之后是在提价后的价格基础上降价x，因此降价后的最终价格为a(1+x)(1-x)；第三步根据“最终价格比原价降低了0.16a元”，也就是最终价格等于a-0.16a，列出方程求解即可，注意百分比为正数，需舍去负根。
【解析】
设这个给定的百分比为x，根据题意可列方程：
$a(1+x)(1-x)=a-0.16a$
左边利用平方差公式化简得$a(1-x^2)=0.84a$，
由于衬衫原价a不为0，两边同时除以a得：$1-x^2=0.84$，
移项计算得$x^2=0.16$，
解得$x_1=0.4=40\%$，$x_2=-0.4$（百分比不能为负，不符合实际意义，舍去），
因此这个给定的百分比为40%。
【答案】
C
【知识点】
1. 百分率应用 2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是百分率变化的典型题型，解题关键是明确两次价格调整的基准价不同，提价的基准是原价，降价的基准是提价后的价格，求解方程后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
2[2025 四川绵阳调研,中]两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,如果甲药品成本的年平均下降率为x,乙药品成本的年平均下降率y,则x与y的大小关系为 (
A.$x=y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.无法比较
A
)A.$x=y$
B.$x＞y$
C.$x＜y$
D.无法比较
答案
由题意得$5000(1-x)^2=3000$,$6000×(1-y)^2=3600$,整理得$(1-x)^2=\frac{3}{5}$,$(1-y)^2=\frac{3}{5}$,$\therefore (1-x)^2=(1-y)^2$,$\therefore 1-x=1-y$或$1-x=-(1-y)$,$\therefore x=y$或$x+y=2$(不合题意,舍去),$\therefore x=y$.故选A.
解析
【分析】
这是平均下降率相关的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆平均变化率的计算公式：初始量×(1-年平均下降率)ⁿ = n年后的量，本题n为2年。我们先分别针对甲、乙两种药品的成本变化列方程，求出(1-x)²和(1-y)²的数值，再结合下降率的实际意义（下降率大于0且小于1，因此1-x、1-y均为正数）判断x和y的大小关系。
【解析】
根据题意，对甲种药品列方程：
$5000(1-x)^2=3000$
两边同时除以5000，整理得：$(1-x)^2=\frac{3}{5}$
对乙种药品列方程：
$6000(1-y)^2=3600$
两边同时除以6000，整理得：$(1-y)^2=\frac{3}{5}$
因此可得$(1-x)^2=(1-y)^2$，开平方得两种情况：
情况1：$1-x=1-y$，解得$x=y$；
情况2：$1-x=-(1-y)$，整理得$x+y=2$。
由于x、y均为成本的年平均下降率，满足$0＜x＜1$，$0＜y＜1$，因此$x+y=2$不符合实际意义，舍去。
综上可得$x=y$。
【答案】
A
【知识点】
平均变化率计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合生产技术进步导致成本下降的实际场景命题，解题的关键是熟练掌握平均下降率的计算公式，同时要注意结合实际意义舍去不符合逻辑的解，整体解题难度不高。
【难度系数】
0.7
这是平均下降率相关的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆平均变化率的计算公式：初始量×(1-年平均下降率)ⁿ = n年后的量，本题n为2年。我们先分别针对甲、乙两种药品的成本变化列方程，求出(1-x)²和(1-y)²的数值，再结合下降率的实际意义（下降率大于0且小于1，因此1-x、1-y均为正数）判断x和y的大小关系。
【解析】
根据题意，对甲种药品列方程：
$5000(1-x)^2=3000$
两边同时除以5000，整理得：$(1-x)^2=\frac{3}{5}$
对乙种药品列方程：
$6000(1-y)^2=3600$
两边同时除以6000，整理得：$(1-y)^2=\frac{3}{5}$
因此可得$(1-x)^2=(1-y)^2$，开平方得两种情况：
情况1：$1-x=1-y$，解得$x=y$；
情况2：$1-x=-(1-y)$，整理得$x+y=2$。
由于x、y均为成本的年平均下降率，满足$0＜x＜1$，$0＜y＜1$，因此$x+y=2$不符合实际意义，舍去。
综上可得$x=y$。
【答案】
A
【知识点】
平均变化率计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合生产技术进步导致成本下降的实际场景命题，解题的关键是熟练掌握平均下降率的计算公式，同时要注意结合实际意义舍去不符合逻辑的解，整体解题难度不高。
【难度系数】
0.7
3[2025江苏徐州期末,中]如图,1块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的,已知小正方形的面积和1个五边形的面积相等,并且图中线段a的长度为$\sqrt{10}-2$,则这块地砖的面积为 (
A.50
B.40
C.30
D.20
(第3题图)
(第4题图)
B
)A.50
B.40
C.30
D.20
(第3题图)
(第4题图)
答案
如图,根据题意易知,点O为正方形ABCD,EFGH的中心,$\therefore S_{△ EOF}=\frac{1}{4}S_{正方形EFGH}$,即$S_{正方形EFGH}=4S_{△ EOF}$.$\because S_{五边形AMFEP}=S_{正方形EFGH}$,$\therefore S_{正方形ABCD}=5S_{正方形EFGH}$,$S_{五边形AMFEP}=4S_{△ EOF}$.$\because S_{五边形AMFEP}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}-S_{△ EOF}$,$\therefore \frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=5S_{△ EOF}$.设正方形ABCD的边长为2x,则$OF=OE=x$,$\therefore x-a$,$\therefore \frac{1}{4}·2x·2x=\frac{5}{2}(x-a)^2$,解得$x=\frac{(5\pm\sqrt{10})a}{3}$.$\because a=\sqrt{10}-2$,$\therefore x=\sqrt{10}$或$\frac{7\sqrt{10}-20}{3}$.$\because \frac{7\sqrt{10}-20}{3}＜a=\sqrt{10}-2$,$\therefore x=\sqrt{10}$,$\therefore S_{正方形ABCD}=2\sqrt{10}×2\sqrt{10}=40$.故选B.
解析
【分析】
首先从题目的面积条件入手，已知1个五边形的面积等于小正方形的面积，而大正方形地砖由4个全等五边形和1个小正方形组成，可先推出大正方形面积和小正方形面积的倍数关系。再结合正方形同中心的性质，将已知线段a的长度与大、小正方形的边长参数关联，利用面积等量关系列方程求解参数，最后计算大正方形面积即可，求解时要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设大正方形地砖和内部小正方形的公共中心为O，由题意得：
大正方形面积 = 4个五边形面积 + 小正方形面积，且1个五边形面积 = 小正方形面积，因此大正方形面积 = 5×小正方形面积。
设大正方形的边长为$2x$，则中心O到大正方形边的水平、垂直距离均为$x$，观察图形可得小等腰直角三角形的直角边长为$x-a$，因此小正方形的面积为$4×\frac{1}{2}(x-a)^2=2(x-a)^2$。
大正方形面积为$(2x)^2=4x^2$，结合大正方形面积是小正方形面积的5倍，列方程：
$4x^2=5×2(x-a)^2$，整理得$2x^2=5(x-a)^2$。
将$a=\sqrt{10}-2$代入，展开得$2x^2=5(x^2-2ax+a^2)$，即$3x^2-10ax+5a^2=0$，
用求根公式解得$x=\frac{(5\pm\sqrt{10})a}{3}$。
代入$a=\sqrt{10}-2$计算：
取加号时，$x=\frac{(5+\sqrt{10})(\sqrt{10}-2)}{3}=\sqrt{10}$；
取减号时，$x=\frac{7\sqrt{10}-20}{3}$，此时$x＜a$不符合实际，舍去。
因此大正方形边长为$2\sqrt{10}$，面积为$(2\sqrt{10})^2=40$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，一元二次方程的应用，面积计算
【点评】
本题结合正方形性质与面积计算考查方程的应用，解题关键是理清各图形的面积关系，结合线段长度构造方程，同时要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
首先从题目的面积条件入手，已知1个五边形的面积等于小正方形的面积，而大正方形地砖由4个全等五边形和1个小正方形组成，可先推出大正方形面积和小正方形面积的倍数关系。再结合正方形同中心的性质，将已知线段a的长度与大、小正方形的边长参数关联，利用面积等量关系列方程求解参数，最后计算大正方形面积即可，求解时要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
设大正方形地砖和内部小正方形的公共中心为O，由题意得：
大正方形面积 = 4个五边形面积 + 小正方形面积，且1个五边形面积 = 小正方形面积，因此大正方形面积 = 5×小正方形面积。
设大正方形的边长为$2x$，则中心O到大正方形边的水平、垂直距离均为$x$，观察图形可得小等腰直角三角形的直角边长为$x-a$，因此小正方形的面积为$4×\frac{1}{2}(x-a)^2=2(x-a)^2$。
大正方形面积为$(2x)^2=4x^2$，结合大正方形面积是小正方形面积的5倍，列方程：
$4x^2=5×2(x-a)^2$，整理得$2x^2=5(x-a)^2$。
将$a=\sqrt{10}-2$代入，展开得$2x^2=5(x^2-2ax+a^2)$，即$3x^2-10ax+5a^2=0$，
用求根公式解得$x=\frac{(5\pm\sqrt{10})a}{3}$。
代入$a=\sqrt{10}-2$计算：
取加号时，$x=\frac{(5+\sqrt{10})(\sqrt{10}-2)}{3}=\sqrt{10}$；
取减号时，$x=\frac{7\sqrt{10}-20}{3}$，此时$x＜a$不符合实际，舍去。
因此大正方形边长为$2\sqrt{10}$，面积为$(2\sqrt{10})^2=40$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，一元二次方程的应用，面积计算
【点评】
本题结合正方形性质与面积计算考查方程的应用，解题关键是理清各图形的面积关系，结合线段长度构造方程，同时要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
4[2025 江苏宿迁期中,中]如图是一块长方形菜地$ABCD$,$AB=a\ \mathrm{m}$,$AD=b\ \mathrm{m}$,面积为$S\ \mathrm{m}^2$.现将边$AB$增加$1\ \mathrm{m}$,边$AD$增加$2\ \mathrm{m}$,若有且只有一个$a$的值,使得到的长方形面积为$2S\ \mathrm{m}^2$,则$S$的值是
6+4√2
.答案
根据题意得,$S=ab$,$2S=(a+1)(b+2)$,$\therefore b=\frac{S}{a}$,$\therefore 2S=(a+1)(\frac{S}{a}+2)$,$\therefore 2a^2+(2-S)a+S=0$.$\because$ 有且只有一个a的值使之成立,$\therefore (2-S)^2-8S=0$,整理得$S^2-12S+4=0$,解得$S_1=6+4\sqrt{2}$,$S_2=6-4\sqrt{2}$(舍去),$\therefore S$的值是$6+4\sqrt{2}$.故答案为$6+4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据长方形面积公式，分别写出原菜地面积和边长增加后新菜地面积的表达式，消去变量b，得到只含a和S的方程；第二步，结合“有且只有一个a的值满足条件”的要求，可知得到的关于a的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，由此构建关于S的一元二次方程；第三步，求解关于S的方程，结合a为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到S的值。
【解析】
根据题意得：
原长方形面积$ S = ab $ ①，
边长增加后新长方形面积$ 2S = (a+1)(b+2) $ ②，
由①得$ b = \frac{S}{a} $，将其代入②：
$ 2S = (a+1)(\frac{S}{a} + 2) $，
两边同乘a去分母得：$ 2aS = (a+1)(S + 2a) $，
展开并整理得关于a的一元二次方程：$ 2a^2 + (2-S)a + S = 0 $，
∵有且只有一个a的值满足题意，且a为正数，
∴该方程有两个相等的实数根，即判别式$ \Delta = 0 $，
代入判别式公式：$ (2-S)^2 - 4×2× S = 0 $，
展开整理得：$ S^2 - 12S + 4 = 0 $，
由求根公式解得：$ S = \frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2} = 6\pm4\sqrt{2} $，
当$ S = 6-4\sqrt{2} $时，方程两根之和为$ \frac{S-2}{2}=2-2\sqrt{2}＜0 $，两根均为负数，不符合a＞0的实际意义，故舍去；
当$ S = 6+4\sqrt{2} $时，方程两根均为正数，符合要求。
【答案】
$ 6+4\sqrt{2} $
【知识点】
长方形面积计算；一元二次方程根的判别式；一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合几何面积与一元二次方程知识考查，核心是将“只有一个a值满足条件”转化为一元二次方程有两个相等的正实根，解题时需注意结合实际意义对根进行取舍，很好地考查了转化思维和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，根据长方形面积公式，分别写出原菜地面积和边长增加后新菜地面积的表达式，消去变量b，得到只含a和S的方程；第二步，结合“有且只有一个a的值满足条件”的要求，可知得到的关于a的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，由此构建关于S的一元二次方程；第三步，求解关于S的方程，结合a为正数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到S的值。
【解析】
根据题意得：
原长方形面积$ S = ab $ ①，
边长增加后新长方形面积$ 2S = (a+1)(b+2) $ ②，
由①得$ b = \frac{S}{a} $，将其代入②：
$ 2S = (a+1)(\frac{S}{a} + 2) $，
两边同乘a去分母得：$ 2aS = (a+1)(S + 2a) $，
展开并整理得关于a的一元二次方程：$ 2a^2 + (2-S)a + S = 0 $，
∵有且只有一个a的值满足题意，且a为正数，
∴该方程有两个相等的实数根，即判别式$ \Delta = 0 $，
代入判别式公式：$ (2-S)^2 - 4×2× S = 0 $，
展开整理得：$ S^2 - 12S + 4 = 0 $，
由求根公式解得：$ S = \frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2} = 6\pm4\sqrt{2} $，
当$ S = 6-4\sqrt{2} $时，方程两根之和为$ \frac{S-2}{2}=2-2\sqrt{2}＜0 $，两根均为负数，不符合a＞0的实际意义，故舍去；
当$ S = 6+4\sqrt{2} $时，方程两根均为正数，符合要求。
【答案】
$ 6+4\sqrt{2} $
【知识点】
长方形面积计算；一元二次方程根的判别式；一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合几何面积与一元二次方程知识考查，核心是将“只有一个a值满足条件”转化为一元二次方程有两个相等的正实根，解题时需注意结合实际意义对根进行取舍，很好地考查了转化思维和运算能力。
【难度系数】
0.6
5[2026山东青岛期中,中]在综合实践课上,数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题,实践报告如下:
活动课题 设计围篱笆的方案
活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等
活动过程 【了解场地】如图,测出墙AD与墙AB的夹角是135°,墙AD长6 m,AB足够长；【设计图纸】要用篱笆围成一个梯形的菜园,梯形满足$BC// AD$,$∠ C=90°$,且BC边上留一个1 m宽的门EF；
；【准备材料】现有篱笆$BE-FC-CD$的长度是15 m
解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积为$42\ \mathrm{m}^2$
请你帮助兴趣小组解决以上问题.
活动课题 设计围篱笆的方案
活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等
活动过程 【了解场地】如图,测出墙AD与墙AB的夹角是135°,墙AD长6 m,AB足够长；【设计图纸】要用篱笆围成一个梯形的菜园,梯形满足$BC// AD$,$∠ C=90°$,且BC边上留一个1 m宽的门EF；
；【准备材料】现有篱笆$BE-FC-CD$的长度是15 m解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积为$42\ \mathrm{m}^2$
请你帮助兴趣小组解决以上问题.
答案
如图,过点A作$AH⊥ BC$于H,则$∠ AHC=∠ C=∠ ADC=90°$,$\therefore$ 四边形AHCD为矩形,$\therefore AD=HC$,$AH=CD$.设CD为x m.
$\because ∠ BAD=135°$,$AD// BC$,
$\therefore ∠ ABC=45°$,$\therefore BH=AH=CD=x$ m,$\therefore BC=15+1-x=(16-x)$ m,$AD=HC=(16-2x)$ m.由题意可得
$\frac{1}{2}(16-2x+16-x)x=42$,整理得$3x^2-32x+84=0$,解得$x_1=6$,$x_2=\frac{14}{3}(此时AD=\frac{20}{3}\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m},舍去)$.
答:当CD为6 m,BC为10 m时,篱笆所围梯形的面积为$42\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
要解决该围篱笆的实际问题，可按以下思路推导：①先构造辅助线：过点A作AH⊥BC，将梯形ABCD拆分为矩形AHCD和等腰直角三角形ABH，结合∠BAD=135°、BC//AD的条件，可推出∠ABH=45°，得到BH=AH=CD；②设CD的长度为x m，结合篱笆总长和1m宽的门，可将BC、AD的长度都用含x的代数式表示，注意AD的长度不能超过墙AD的实际长度6m；③利用梯形面积公式列一元二次方程求解，最后检验解是否符合实际意义，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
解：如图，过点A作$AH⊥ BC$于H，则$∠ AHC=∠ C=∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形AHCD为矩形，$\therefore AD=HC$，$AH=CD$。
设CD的长为$x$ m，
$\because ∠ BAD=135°$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ ABC=180°-135°=45°$，即$△ ABH$为等腰直角三角形，
$\therefore BH=AH=CD=x$ m。
$\because$ 篱笆$BE+FC+CD=15$ m，且BC边上留1m宽的门EF，
$\therefore BC=BE+EF+FC=(BE+FC)+1=(15-x)+1=(16-x)$ m，
$\therefore AD=HC=BC-BH=(16-x)-x=(16-2x)$ m。
根据梯形面积为$42\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$\frac{1}{2}(16-2x+16-x)x=42$
整理得$3x^2-32x+84=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=\frac{14}{3}$。
当$x=\frac{14}{3}$时，$AD=16-2×\frac{14}{3}=\frac{20}{3}\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m}$，超出墙AD的长度，不符合实际，舍去；
当$x=6$时，$AD=16-2×6=4\ \mathrm{m}＜6\ \mathrm{m}$，符合题意，此时$BC=16-6=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
【知识点】
一元二次方程的应用；梯形面积计算；特殊几何图形性质
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了几何辅助线构造、特殊角度的性质应用、一元二次方程求解以及实际问题中解的合理性检验，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决该围篱笆的实际问题，可按以下思路推导：①先构造辅助线：过点A作AH⊥BC，将梯形ABCD拆分为矩形AHCD和等腰直角三角形ABH，结合∠BAD=135°、BC//AD的条件，可推出∠ABH=45°，得到BH=AH=CD；②设CD的长度为x m，结合篱笆总长和1m宽的门，可将BC、AD的长度都用含x的代数式表示，注意AD的长度不能超过墙AD的实际长度6m；③利用梯形面积公式列一元二次方程求解，最后检验解是否符合实际意义，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
解：如图，过点A作$AH⊥ BC$于H，则$∠ AHC=∠ C=∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形AHCD为矩形，$\therefore AD=HC$，$AH=CD$。
设CD的长为$x$ m，
$\because ∠ BAD=135°$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ ABC=180°-135°=45°$，即$△ ABH$为等腰直角三角形，
$\therefore BH=AH=CD=x$ m。
$\because$ 篱笆$BE+FC+CD=15$ m，且BC边上留1m宽的门EF，
$\therefore BC=BE+EF+FC=(BE+FC)+1=(15-x)+1=(16-x)$ m，
$\therefore AD=HC=BC-BH=(16-x)-x=(16-2x)$ m。
根据梯形面积为$42\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$\frac{1}{2}(16-2x+16-x)x=42$
整理得$3x^2-32x+84=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=\frac{14}{3}$。
当$x=\frac{14}{3}$时，$AD=16-2×\frac{14}{3}=\frac{20}{3}\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m}$，超出墙AD的长度，不符合实际，舍去；
当$x=6$时，$AD=16-2×6=4\ \mathrm{m}＜6\ \mathrm{m}$，符合题意，此时$BC=16-6=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
【知识点】
一元二次方程的应用；梯形面积计算；特殊几何图形性质
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了几何辅助线构造、特殊角度的性质应用、一元二次方程求解以及实际问题中解的合理性检验，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
6 核心素养模型观念 [较难]已知在长方形纸片ABCD中，AB=6，AD=5，现将两个边长分别为a和b的正方形纸片按图(1)、图(2)两种方式放置(图(1)、图(2)中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图(1)中阴影部分的面积为$S_1$，图(2)中阴影部分的面积为$S_2$，已知$S_2 - S_1 = 3$，则$b=$
3
；在边长为$a$的大正方形纸片的左上角摆放一个边长为$b$的小正方形纸片，如图(3)，若$S_1=8$，则图(3)中阴影部分的面积$S_3=$$\frac{13}{2}$
。答案
根据题意得$S_1=S_{长方形ABCD}-S_{大正方形}-S_{小正方形}+S_{大、小正方形重叠部分}$,$\therefore S_1=6×5-a^2-b^2+(a+b-6)b=-a^2+ab-6b+30$.同理,$S_2=S_{长方形ABCD}-S_{大正方形}-S_{小正方形}+S_{大、小正方形重叠部分}$,$\therefore S_2=6×5-a^2-b^2+(a+b-5)b=-a^2+ab-5b+30$,$\therefore S_2-S_1=(-a^2+ab-5b+30)-(-a^2+ab-6b+30)=b$.$\because S_2-S_1=3$,$\therefore b=3$.又$\because S_1=8$,$\therefore -a^2+ab-6b+30=8$.将$b=3$代入$-a^2+ab-6b+30=8$,得$-a^2+3a-6×3+30=8$,即$a^2-3a-4=0$,解得$a_1=4$,$a_2=-1$(舍去),$\therefore a=4$.根据题意,得$S_3=S_{大正方形}+S_{小正方形}-S_{左上空白直角三角形}-S_{右下空白直角三角形}$,$\therefore S_3=a^2+b^2-\frac{1}{2}(a+b)b-\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4^2+\frac{1}{2}×3^2-\frac{1}{2}×4×3=\frac{13}{2}$.故答案为3,$\frac{13}{2}$.
解析
【分析】
解题可分为三步进行：第一步，先明确阴影部分面积的计算逻辑：阴影面积=长方形总面积-两个正方形面积之和+两个正方形重叠部分的面积（重叠部分被重复减去了1次，需要补回），据此分别用含a、b的代数式表示$S_1$和$S_2$；第二步，计算$S_2-S_1$，会发现含a的项全部抵消，可直接求出b的值，再将b的值和$S_1=8$代入表达式，解一元二次方程得到符合实际意义的a值；第三步，分析图3的阴影面积构成：$S_3$等于两个正方形面积之和减去两个空白直角三角形的面积，代入a、b的值计算即可。
【解析】
长方形ABCD的面积为$6×5=30$。
1. 求b的值：
图(1)中两个正方形重叠部分是长为b、宽为$(a+b-6)$的长方形，因此：
$S_1=30-a^2-b^2+b(a+b-6)=-a^2+ab-6b+30$
图(2)中两个正方形重叠部分是长为b、宽为$(a+b-5)$的长方形，因此：
$S_2=30-a^2-b^2+b(a+b-5)=-a^2+ab-5b+30$
则$S_2-S_1=(-a^2+ab-5b+30)-(-a^2+ab-6b+30)=b$
已知$S_2-S_1=3$，因此$b=3$。
2. 求a的值：
将$b=3$、$S_1=8$代入$S_1$的表达式：
$-a^2+3a-6×3+30=8$
整理得$a^2-3a-4=0$，因式分解得$(a-4)(a+1)=0$
解得$a_1=4$，$a_2=-1$（正方形边长为正数，舍去），因此$a=4$。
3. 求$S_3$的值：
图(3)中$S_3$等于两个正方形面积和减去左上、右下两个空白直角三角形的面积：
$S_3=a^2+b^2-\frac{1}{2}b(a+b)-\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab$
代入$a=4$，$b=3$：
$S_3=\frac{1}{2}×4^2+\frac{1}{2}×3^2-\frac{1}{2}×4×3=8+\frac{9}{2}-6=\frac{13}{2}$
【答案】
$3$；$\frac{13}{2}$
【知识点】
面积计算，整式加减，一元二次方程应用
【点评】
本题结合几何图形考查了代数式列式、整式运算和一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析重叠部分的面积处理方式，同时要注意几何量的非负性，舍去不符合实际意义的方程根。
【难度系数】
0.3
解题可分为三步进行：第一步，先明确阴影部分面积的计算逻辑：阴影面积=长方形总面积-两个正方形面积之和+两个正方形重叠部分的面积（重叠部分被重复减去了1次，需要补回），据此分别用含a、b的代数式表示$S_1$和$S_2$；第二步，计算$S_2-S_1$，会发现含a的项全部抵消，可直接求出b的值，再将b的值和$S_1=8$代入表达式，解一元二次方程得到符合实际意义的a值；第三步，分析图3的阴影面积构成：$S_3$等于两个正方形面积之和减去两个空白直角三角形的面积，代入a、b的值计算即可。
【解析】
长方形ABCD的面积为$6×5=30$。
1. 求b的值：
图(1)中两个正方形重叠部分是长为b、宽为$(a+b-6)$的长方形，因此：
$S_1=30-a^2-b^2+b(a+b-6)=-a^2+ab-6b+30$
图(2)中两个正方形重叠部分是长为b、宽为$(a+b-5)$的长方形，因此：
$S_2=30-a^2-b^2+b(a+b-5)=-a^2+ab-5b+30$
则$S_2-S_1=(-a^2+ab-5b+30)-(-a^2+ab-6b+30)=b$
已知$S_2-S_1=3$，因此$b=3$。
2. 求a的值：
将$b=3$、$S_1=8$代入$S_1$的表达式：
$-a^2+3a-6×3+30=8$
整理得$a^2-3a-4=0$，因式分解得$(a-4)(a+1)=0$
解得$a_1=4$，$a_2=-1$（正方形边长为正数，舍去），因此$a=4$。
3. 求$S_3$的值：
图(3)中$S_3$等于两个正方形面积和减去左上、右下两个空白直角三角形的面积：
$S_3=a^2+b^2-\frac{1}{2}b(a+b)-\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab$
代入$a=4$，$b=3$：
$S_3=\frac{1}{2}×4^2+\frac{1}{2}×3^2-\frac{1}{2}×4×3=8+\frac{9}{2}-6=\frac{13}{2}$
【答案】
$3$；$\frac{13}{2}$
【知识点】
面积计算，整式加减，一元二次方程应用
【点评】
本题结合几何图形考查了代数式列式、整式运算和一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析重叠部分的面积处理方式，同时要注意几何量的非负性，舍去不符合实际意义的方程根。
【难度系数】
0.3
