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1[2026福建泉州调研,中]已知互不相等的实数a,b,c满足$ab+a^2=c^2$,$ab+b^2=c^2$,$ab≠0$,则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的情况为（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定根的存在情况
C
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定根的存在情况
答案
1.C 【解析】
∵ $ab+a^2=c^2$,$ab+b^2=c^2$,
∴ $a^2-b^2=0$,
∴ $(a+b)(a-b)= 0$.
∵ $a≠b$,
∴ $a+b=0$,
∴ $c^2=ab+a^2=a(a+b)= 0$, 即 $c=0$.
∵ $ab≠0$,
∴ $a≠0,b≠0$,
∴ $b^2-4ac=b^2＞0$,
∴ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根. 故选 C.
∵ $ab+a^2=c^2$,$ab+b^2=c^2$,
∴ $a^2-b^2=0$,
∴ $(a+b)(a-b)= 0$.
∵ $a≠b$,
∴ $a+b=0$,
∴ $c^2=ab+a^2=a(a+b)= 0$, 即 $c=0$.
∵ $ab≠0$,
∴ $a≠0,b≠0$,
∴ $b^2-4ac=b^2＞0$,
∴ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根. 故选 C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心是计算判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号，因此需要先根据已知条件推导a、b、c的关系。首先可将两个等于$c^2$的等式作差，消去公共项$ab$和$c^2$，得到$a^2$与$b^2$的关系，再结合$a≠b$的条件推出$a+b=0$，接着代入原式求出c的值，最后代入判别式判断符号即可得到结论。
【解析】
∵ $ab+a^2=c^2$，$ab+b^2=c^2$，
∴ 两式相减得 $a^2 - b^2 = 0$，
因式分解得 $(a+b)(a-b)=0$。
∵ 实数a、b互不相等，即$a≠b$，
∴ $a+b=0$，
将$a+b=0$代入$ab+a^2=c^2$，得$c^2=a(a+b)=a×0=0$，即$c=0$。
∵ $ab≠0$，
∴ $a≠0$，$b≠0$，
∴ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 0 = b^2 ＞ 0$，
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的应用，一元二次方程根的判别式，等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的判断的典型中档题，解题关键是通过对已知等式作差变形，推导得到a、b、c的数量关系，再结合判别式的性质判断根的情况，能较好考查代数式变形能力和知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的情况，核心是计算判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号，因此需要先根据已知条件推导a、b、c的关系。首先可将两个等于$c^2$的等式作差，消去公共项$ab$和$c^2$，得到$a^2$与$b^2$的关系，再结合$a≠b$的条件推出$a+b=0$，接着代入原式求出c的值，最后代入判别式判断符号即可得到结论。
【解析】
∵ $ab+a^2=c^2$，$ab+b^2=c^2$，
∴ 两式相减得 $a^2 - b^2 = 0$，
因式分解得 $(a+b)(a-b)=0$。
∵ 实数a、b互不相等，即$a≠b$，
∴ $a+b=0$，
将$a+b=0$代入$ab+a^2=c^2$，得$c^2=a(a+b)=a×0=0$，即$c=0$。
∵ $ab≠0$，
∴ $a≠0$，$b≠0$，
∴ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 0 = b^2 ＞ 0$，
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的应用，一元二次方程根的判别式，等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的判断的典型中档题，解题关键是通过对已知等式作差变形，推导得到a、b、c的数量关系，再结合判别式的性质判断根的情况，能较好考查代数式变形能力和知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2[中]若等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + n - 1 = 0$的两个实数根，则n的值为（
A.9
B.10
C.9或10
D.8或10
B
）A.9
B.10
C.9或10
D.8或10
答案
2.B 【解析】
∵ 三角形是等腰三角形,
∴ 有 $a=2$ 或 $b=2$, 以及 $a=b$ 两种情况. ①当 $a=2$ 或 $b=2$ 时,
∵ $a,b$ 是关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 6x + n - 1 = 0$ 的两个实数根,
∴ 把 $x=2$ 代入 $x^2 - 6x + n - 1 = 0$,得 $2^2-6×2+n-1=0$,解得 $n=9$,
∴ 原方程为 $x^2-6x+8=0$,解得 $x_1=2,x_2=4$. 而 2,2,4 不能组成三角形,故不符合题意. ②当 $a=b$ 时,方程 $x^2 - 6x + n - 1 = 0$ 有两个相等的实数根,
∴ $(-6)^2-4(n-1)= 0$, 解得 $n=10$,
∴ 原方程为 $x^2-6x+9=0$,解得 $x_1=x_2=3$. 2,3,3 能组成三角形,符合题意. 综上,n 的值为 10. 故选 B.
∵ 三角形是等腰三角形,
∴ 有 $a=2$ 或 $b=2$, 以及 $a=b$ 两种情况. ①当 $a=2$ 或 $b=2$ 时,
∵ $a,b$ 是关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 6x + n - 1 = 0$ 的两个实数根,
∴ 把 $x=2$ 代入 $x^2 - 6x + n - 1 = 0$,得 $2^2-6×2+n-1=0$,解得 $n=9$,
∴ 原方程为 $x^2-6x+8=0$,解得 $x_1=2,x_2=4$. 而 2,2,4 不能组成三角形,故不符合题意. ②当 $a=b$ 时,方程 $x^2 - 6x + n - 1 = 0$ 有两个相等的实数根,
∴ $(-6)^2-4(n-1)= 0$, 解得 $n=10$,
∴ 原方程为 $x^2-6x+9=0$,解得 $x_1=x_2=3$. 2,3,3 能组成三角形,符合题意. 综上,n 的值为 10. 故选 B.
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形性质分类讨论，再结合一元二次方程根的特征求解n，最后验证三边是否符合三角形构成条件：
第一步，明确等腰三角形边长的两种可能：一是2为腰长，即a或b等于2；二是a、b为腰长，即a=b。
第二步，针对两种情况分别代入方程或用根的判别式计算n的值。
第三步，将求出的n代回方程得到两根，验证三边是否满足两边之和大于第三边，舍去不符合的情况，最终得到正确的n。
【解析】
∵ 三角形是等腰三角形，边长分别为a，b，2，
∴ 分两种情况讨论：
① 当2为腰长时，即$a=2$或$b=2$，
∵ a，b是关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + n - 1 = 0$的两个实数根，
∴ 将$x=2$代入方程得：$2^2 - 6×2 + n - 1 = 0$，
解得$n=9$，
此时方程为$x^2 - 6x + 8 = 0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，
对应三角形三边长为2、2、4，
∵ $2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去该情况；
② 当a、b为腰长时，即$a=b$，
∴ 方程$x^2 - 6x + n - 1 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(n-1) = 0$，
解得$n=10$，
此时方程为$x^2 - 6x + 9 = 0$，解得$x_1=x_2=3$，
对应三角形三边长为2、3、3，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，n的值为10，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题核心是对等腰三角形的边长分类讨论，易错点是求出n后忽略验证三边是否能构成三角形，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题需结合等腰三角形性质分类讨论，再结合一元二次方程根的特征求解n，最后验证三边是否符合三角形构成条件：
第一步，明确等腰三角形边长的两种可能：一是2为腰长，即a或b等于2；二是a、b为腰长，即a=b。
第二步，针对两种情况分别代入方程或用根的判别式计算n的值。
第三步，将求出的n代回方程得到两根，验证三边是否满足两边之和大于第三边，舍去不符合的情况，最终得到正确的n。
【解析】
∵ 三角形是等腰三角形，边长分别为a，b，2，
∴ 分两种情况讨论：
① 当2为腰长时，即$a=2$或$b=2$，
∵ a，b是关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + n - 1 = 0$的两个实数根，
∴ 将$x=2$代入方程得：$2^2 - 6×2 + n - 1 = 0$，
解得$n=9$，
此时方程为$x^2 - 6x + 8 = 0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，
对应三角形三边长为2、2、4，
∵ $2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去该情况；
② 当a、b为腰长时，即$a=b$，
∴ 方程$x^2 - 6x + n - 1 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(n-1) = 0$，
解得$n=10$，
此时方程为$x^2 - 6x + 9 = 0$，解得$x_1=x_2=3$，
对应三角形三边长为2、3、3，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，n的值为10，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题核心是对等腰三角形的边长分类讨论，易错点是求出n后忽略验证三边是否能构成三角形，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
3[2026浙江湖州期中,较难]关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,有下列说法:
①若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实数根,则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实数根;
②若c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;
③若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根,则$b^2-4ac=(2ax_0 - b)^2$.
其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
①若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实数根,则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实数根;
②若c是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;
③若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根,则$b^2-4ac=(2ax_0 - b)^2$.
其中正确的有 (
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案
3.A 【解析】①
∵ 方程 $ax^2+c=0$ 有两个不相等的实数根,
∴ $0-4ac＞0$,
∴ $-4ac＞0$,
∴ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根的判别式 $b^2-4ac＞0$,
∴ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 必有两个不相等的实数根,故①正确. ②
∵ $c$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根,
∴ $ac^2+bc+c=0$,
∴ $c(ac+b+1)= 0$. 若 $c=0$,等式仍然成立,但 $ac+b+1=0$ 不一定成立,故②错误. ③若 $x_0$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根,则 $x_0=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或 $x_0=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴ $2ax_0+b=\sqrt{b^2-4ac}$ 或 $2ax_0+b=-\sqrt{b^2-4ac}$,
∴ $b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故③错误. 故选 A.
∵ 方程 $ax^2+c=0$ 有两个不相等的实数根,
∴ $0-4ac＞0$,
∴ $-4ac＞0$,
∴ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根的判别式 $b^2-4ac＞0$,
∴ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 必有两个不相等的实数根,故①正确. ②
∵ $c$ 是方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根,
∴ $ac^2+bc+c=0$,
∴ $c(ac+b+1)= 0$. 若 $c=0$,等式仍然成立,但 $ac+b+1=0$ 不一定成立,故②错误. ③若 $x_0$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根,则 $x_0=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或 $x_0=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴ $2ax_0+b=\sqrt{b^2-4ac}$ 或 $2ax_0+b=-\sqrt{b^2-4ac}$,
∴ $b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故③错误. 故选 A.
解析
【分析】
本题需逐个判断三个说法的正确性，解题思路如下：1. 对于说法①，先根据方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根推导得出$-4ac＞0$，再结合$b^2$的非负性判断方程$ax^2+bx+c=0$的判别式符号即可；2. 对于说法②，将$x=c$代入原方程整理后，需考虑$c=0$的特殊情况，判断$ac+b+1=0$是否一定成立；3. 对于说法③，利用求根公式表示出根$x_0$，变形后平方对比题干给出的等式即可判断正误，最后统计正确说法的个数选答案。
【解析】
①
∵方程$ax^2+c=0$是一元二次方程且有两个不相等的实数根，
∴$a≠0$，判别式$\Delta_1=0^2-4ac＞0$，即$-4ac＞0$，
方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式$\Delta_2=b^2-4ac$，
∵$b^2≥0$，$-4ac＞0$，
∴$\Delta_2=b^2-4ac＞0$，
∴方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实数根，故①正确。
②若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，将$x=c$代入方程得：
$ac^2+bc+c=0$，整理得$c(ac+b+1)=0$，
当$c=0$时等式仍然成立，此时$ac+b+1$不一定为0，故②错误。
③若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，由求根公式得：
$x_0=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
移项得$2ax_0+b=±\sqrt{b^2-4ac}$，
两边平方得$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，和题干中$(2ax_0 - b)^2$不符，故③错误。
综上，正确的说法只有1个。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的定义，代数式变形
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心概念，解题时需注意特殊值（如$c=0$）的情况，同时要熟练掌握求根公式的变形，避免因符号错误或忽略特殊情况出现判断失误。
【难度系数】
0.4
本题需逐个判断三个说法的正确性，解题思路如下：1. 对于说法①，先根据方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根推导得出$-4ac＞0$，再结合$b^2$的非负性判断方程$ax^2+bx+c=0$的判别式符号即可；2. 对于说法②，将$x=c$代入原方程整理后，需考虑$c=0$的特殊情况，判断$ac+b+1=0$是否一定成立；3. 对于说法③，利用求根公式表示出根$x_0$，变形后平方对比题干给出的等式即可判断正误，最后统计正确说法的个数选答案。
【解析】
①
∵方程$ax^2+c=0$是一元二次方程且有两个不相等的实数根，
∴$a≠0$，判别式$\Delta_1=0^2-4ac＞0$，即$-4ac＞0$，
方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式$\Delta_2=b^2-4ac$，
∵$b^2≥0$，$-4ac＞0$，
∴$\Delta_2=b^2-4ac＞0$，
∴方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实数根，故①正确。
②若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，将$x=c$代入方程得：
$ac^2+bc+c=0$，整理得$c(ac+b+1)=0$，
当$c=0$时等式仍然成立，此时$ac+b+1$不一定为0，故②错误。
③若$x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，由求根公式得：
$x_0=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
移项得$2ax_0+b=±\sqrt{b^2-4ac}$，
两边平方得$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$，和题干中$(2ax_0 - b)^2$不符，故③错误。
综上，正确的说法只有1个。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的定义，代数式变形
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心概念，解题时需注意特殊值（如$c=0$）的情况，同时要熟练掌握求根公式的变形，避免因符号错误或忽略特殊情况出现判断失误。
【难度系数】
0.4
4[2026江苏泰州期末，中]若关于x的方程$|x^2 - 2x - 8| = m$有两个解，则实数m的取值范围是
m=0或m＞9
.答案
4.$m=0$ 或 $m＞9$ 【解析】由题知 $m≥0$. ①当 $m=0$ 时,$x^2-2x-8=0$,解得 $x=4$ 或 $x=-2$. ②当 $m＞0$ 时,$x^2-2x-8=m$ 或 $x^2-2x-8=-m$. 当 $x^2-2x-8=m$ 时,$x^2-2x-8-m=0$,$b^2-4ac=(-2)^2-4×(-8-m)=4+32+4m=36+4m$; 当 $x^2-2x-8=-m$ 时,$x^2-2x-8+m=0$,$b^2-4ac=(-2)^2-4×(-8+m)=4+32-4m=36-4m$.
∵ 方程有两个解,
∴ 当$\begin{cases}36+4m＞0, \\ 36-4m＜0\end{cases}$ 时, $m＞9$, 当$\begin{cases}36+4m＜0, \\ 36-4m＞0\end{cases}$ 时,$m＜-9$(舍去). 综上所述,当 $m=0$ 或 $m＞9$ 时,方程有两个解. 故答案为 $m=0$ 或 $m＞9$.
∵ 方程有两个解,
∴ 当$\begin{cases}36+4m＞0, \\ 36-4m＜0\end{cases}$ 时, $m＞9$, 当$\begin{cases}36+4m＜0, \\ 36-4m＞0\end{cases}$ 时,$m＜-9$(舍去). 综上所述,当 $m=0$ 或 $m＞9$ 时,方程有两个解. 故答案为 $m=0$ 或 $m＞9$.
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的非负性确定m的取值前提为m≥0，再分情况讨论：①当m=0时，直接求解对应的一元二次方程，判断根的个数是否符合要求；②当m＞0时，将绝对值方程转化为两个一元二次方程，分别计算两个方程的根的判别式，结合“方程总共有两个解”的条件，分析两个方程的根的个数组合，排除不符合要求的情况，最终汇总得到m的取值范围。
【解析】
由绝对值的非负性可知，$m≥0$，分情况讨论：
① 当$m=0$时，原方程化为$x^2-2x-8=0$，解方程可得$x=4$或$x=-2$，共2个解，符合要求；
② 当$m＞0$时，原方程等价于$x^2-2x-8=m$或$x^2-2x-8=-m$，整理得两个一元二次方程：
方程1：$x^2-2x-(8+m)=0$，其判别式$\Delta_1=(-2)^2-4×1×(-8-m)=4+32+4m=36+4m$，
$\because m＞0$，$\therefore \Delta_1=36+4m＞0$恒成立，即方程1总有2个不相等的实数根；
方程2：$x^2-2x-(8-m)=0$，其判别式$\Delta_2=(-2)^2-4×1×(-8+m)=4+32-4m=36-4m$，
要使原方程总共有2个解，则方程2必须无实数根（若方程2有2个相等实根，总共有3个解；若有2个不等实根，总共有4个解，均不符合要求），即$\Delta_2＜0$，
$\therefore 36-4m＜0$，解得$m＞9$。
综上，实数m的取值范围是$m=0$或$m＞9$。
【答案】
$m=0$或$m＞9$
【知识点】
绝对值的性质；一元二次方程根的判别式；绝对值方程的解法
【点评】
本题需要结合绝对值的性质将含绝对值的方程转化为一元二次方程求解，解题时要注意分类讨论，不要遗漏$m=0$的特殊情况，同时要准确根据根的个数要求利用判别式列不等式，是对代数知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据绝对值的非负性确定m的取值前提为m≥0，再分情况讨论：①当m=0时，直接求解对应的一元二次方程，判断根的个数是否符合要求；②当m＞0时，将绝对值方程转化为两个一元二次方程，分别计算两个方程的根的判别式，结合“方程总共有两个解”的条件，分析两个方程的根的个数组合，排除不符合要求的情况，最终汇总得到m的取值范围。
【解析】
由绝对值的非负性可知，$m≥0$，分情况讨论：
① 当$m=0$时，原方程化为$x^2-2x-8=0$，解方程可得$x=4$或$x=-2$，共2个解，符合要求；
② 当$m＞0$时，原方程等价于$x^2-2x-8=m$或$x^2-2x-8=-m$，整理得两个一元二次方程：
方程1：$x^2-2x-(8+m)=0$，其判别式$\Delta_1=(-2)^2-4×1×(-8-m)=4+32+4m=36+4m$，
$\because m＞0$，$\therefore \Delta_1=36+4m＞0$恒成立，即方程1总有2个不相等的实数根；
方程2：$x^2-2x-(8-m)=0$，其判别式$\Delta_2=(-2)^2-4×1×(-8+m)=4+32-4m=36-4m$，
要使原方程总共有2个解，则方程2必须无实数根（若方程2有2个相等实根，总共有3个解；若有2个不等实根，总共有4个解，均不符合要求），即$\Delta_2＜0$，
$\therefore 36-4m＜0$，解得$m＞9$。
综上，实数m的取值范围是$m=0$或$m＞9$。
【答案】
$m=0$或$m＞9$
【知识点】
绝对值的性质；一元二次方程根的判别式；绝对值方程的解法
【点评】
本题需要结合绝对值的性质将含绝对值的方程转化为一元二次方程求解，解题时要注意分类讨论，不要遗漏$m=0$的特殊情况，同时要准确根据根的个数要求利用判别式列不等式，是对代数知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
5[2025江苏泰州质检,较难]已知关于x的一元二次方程$(2n - mn)x^2 + 2(m - n)x - 2m + mn = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的值为
1
。答案
5.1 【解析】由题意得 $b^2-4ac=[2(m-n)]^2-4(2n-mn)(-2m+mn)=0$,化简得,$(m-n)^2=mn(2n-4-mn+2m)$,
∴ $(m+n)^2-4mn=mn(2n-4-mn+2m)$,$(m+n)^2-4mn=2mn^2-4mn-m^2n^2+2m^2n$,$(m+n)^2=2mn^2-m^2n^2+2m^2n$, 两边同时除以 $m^2n^2$ 得, $\frac{(m+n)^2}{m^2n^2}=\frac{2}{m} -1 + \frac{2}{n}$, 两边同时除以 2 得, $\frac{1}{2} × \frac{(m+n)^2}{m^2n^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$.
∵ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m+n}{mn}$, 令 $t=\frac{m+n}{mn}$,
∴ $\frac{1}{2} × \frac{(m+n)^2}{m^2n^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 可转化为 $\frac{1}{2} × t^2 + \frac{1}{2} = t$,化简得 $t^2-2t+1=0$,即 $(t-1)^2=0$,解得 $t=1$,
∴ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m+n}{mn}=1$,故答案为 1.
∴ $(m+n)^2-4mn=mn(2n-4-mn+2m)$,$(m+n)^2-4mn=2mn^2-4mn-m^2n^2+2m^2n$,$(m+n)^2=2mn^2-m^2n^2+2m^2n$, 两边同时除以 $m^2n^2$ 得, $\frac{(m+n)^2}{m^2n^2}=\frac{2}{m} -1 + \frac{2}{n}$, 两边同时除以 2 得, $\frac{1}{2} × \frac{(m+n)^2}{m^2n^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$.
∵ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m+n}{mn}$, 令 $t=\frac{m+n}{mn}$,
∴ $\frac{1}{2} × \frac{(m+n)^2}{m^2n^2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 可转化为 $\frac{1}{2} × t^2 + \frac{1}{2} = t$,化简得 $t^2-2t+1=0$,即 $(t-1)^2=0$,解得 $t=1$,
∴ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m+n}{mn}=1$,故答案为 1.
解析
【分析】
本题的核心考点是一元二次方程根的判别式的应用。首先，当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，这是解题的切入点。我们先对应找到方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式得到等式。由于等式中有两个未知数m、n，无法分别求出m、n的值，因此考虑整体求解，将待求式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$变形为$\frac{m+n}{mn}$，设其为参数t，通过换元将等式转化为关于t的一元二次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中$a = 2n - mn$，$b = 2(m - n)$，$c = -2m + mn$，
代入得：$[2(m - n)]^2 - 4×(2n - mn)×(-2m + mn) = 0$，
两边同时除以4得：$(m - n)^2 - (2n - mn)(-2m + mn) = 0$，
展开整理得：$(m + n)^2 = 2mn(m + n) - m^2n^2$，
∵ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn}$，令$t = \frac{m + n}{mn}$，即$m + n = tmn$，
将$m + n = tmn$代入上式：$(tmn)^2 = 2mn · tmn - m^2n^2$，
由一元二次方程定义可知二次项系数不为0，且m、n作为分母不为0，故$m^2n^2 ≠ 0$，两边同时除以$m^2n^2$得：
$t^2 = 2t - 1$，
整理得：$t^2 - 2t + 1 = 0$，即$(t - 1)^2 = 0$，
解得$t = 1$，
∴ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = t = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.换元法 3.代数式化简
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的综合应用类题目，解题核心是利用判别式等于0建立等式，再通过换元法将所求代数式作为整体求解，有效降低了代数式变形的难度，对学生的代数变形能力和整体思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题的核心考点是一元二次方程根的判别式的应用。首先，当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，这是解题的切入点。我们先对应找到方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式得到等式。由于等式中有两个未知数m、n，无法分别求出m、n的值，因此考虑整体求解，将待求式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$变形为$\frac{m+n}{mn}$，设其为参数t，通过换元将等式转化为关于t的一元二次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中$a = 2n - mn$，$b = 2(m - n)$，$c = -2m + mn$，
代入得：$[2(m - n)]^2 - 4×(2n - mn)×(-2m + mn) = 0$，
两边同时除以4得：$(m - n)^2 - (2n - mn)(-2m + mn) = 0$，
展开整理得：$(m + n)^2 = 2mn(m + n) - m^2n^2$，
∵ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn}$，令$t = \frac{m + n}{mn}$，即$m + n = tmn$，
将$m + n = tmn$代入上式：$(tmn)^2 = 2mn · tmn - m^2n^2$，
由一元二次方程定义可知二次项系数不为0，且m、n作为分母不为0，故$m^2n^2 ≠ 0$，两边同时除以$m^2n^2$得：
$t^2 = 2t - 1$，
整理得：$t^2 - 2t + 1 = 0$，即$(t - 1)^2 = 0$，
解得$t = 1$，
∴ $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = t = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.换元法 3.代数式化简
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的综合应用类题目，解题核心是利用判别式等于0建立等式，再通过换元法将所求代数式作为整体求解，有效降低了代数式变形的难度，对学生的代数变形能力和整体思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.3
6[2026江苏宿迁质检,较难]关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - t = 0$（t为实数）有两个不相等的实数根，且只有一个根在-2＜x＜3的范围内，则t的取值范围是
刷素养 ▶…………………… 走向重高
3≤t＜8
。刷素养 ▶…………………… 走向重高
答案
6.$3≤t＜8$ 【解析】根据题意得 $b^2-4ac=4+4t＞0$,
∴ $t＞-1$.
∵ 一元二次方程 $x^2 - 2x - t = 0$,
∴ $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2±\sqrt{4+4t}}{2}=1±\sqrt{1+t}$.
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 2x - t = 0$(t 为实数)有且只有一个根在$-2＜x＜3$ 的范围内,
∴ $\begin{cases}-2＜1-\sqrt{1+t}＜3, \\ 1+\sqrt{1+t}≥3,\end{cases}$ 则 $3≤t＜8$, 或$\begin{cases}1-\sqrt{1+t}≤-2, \\ -2＜1+\sqrt{1+t}＜3,\end{cases}$ 不等式组无解. 综上,t 的取值范围为 $3≤t＜8$. 故答案为 $3≤t＜8$.
∴ $t＞-1$.
∵ 一元二次方程 $x^2 - 2x - t = 0$,
∴ $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2±\sqrt{4+4t}}{2}=1±\sqrt{1+t}$.
∵ 关于 x 的一元二次方程 $x^2 - 2x - t = 0$(t 为实数)有且只有一个根在$-2＜x＜3$ 的范围内,
∴ $\begin{cases}-2＜1-\sqrt{1+t}＜3, \\ 1+\sqrt{1+t}≥3,\end{cases}$ 则 $3≤t＜8$, 或$\begin{cases}1-\sqrt{1+t}≤-2, \\ -2＜1+\sqrt{1+t}＜3,\end{cases}$ 不等式组无解. 综上,t 的取值范围为 $3≤t＜8$. 故答案为 $3≤t＜8$.
解析
【分析】
首先，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，第一步可通过根的判别式求出t的初步取值范围。其次，利用求根公式表示出方程的两个根，结合“只有一个根在-2＜x＜3范围内”的条件，分两种情况讨论：①较小的根在区间内、较大的根不在区间内；②较大的根在区间内、较小的根不在区间内，分别求解不等式组，舍去无解的情况，最终得到t的取值范围，注意要验证端点是否符合要求。
【解析】
首先，方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-t) = 4+4t＞0$，解得$t＞-1$。
用求根公式求解方程的根：
$x=\frac{2\pm\sqrt{4+4t}}{2}=1\pm\sqrt{1+t}$，即两个根分别为$x_1=1-\sqrt{1+t}$，$x_2=1+\sqrt{1+t}$，显然$x_2＞x_1$。
结合只有一个根在$-2＜x＜3$的范围，分两种情况讨论：
情况1：较小的根$x_1$在$(-2,3)$内，较大的根$x_2≥3$，列不等式组：
$\begin{cases}-2＜1-\sqrt{1+t}＜3 \\ 1+\sqrt{1+t}≥3 \end{cases}$
解第二个不等式：$\sqrt{1+t}≥2$，得$1+t≥4$，即$t≥3$；
解第一个不等式左边：$1-\sqrt{1+t}＞-2$，得$\sqrt{1+t}＜3$，即$1+t＜9$，$t＜8$；
第一个不等式右边$1-\sqrt{1+t}＜3$恒成立，因此该不等式组解集为$3≤ t＜8$。
情况2：较大的根$x_2$在$(-2,3)$内，较小的根$x_1≤-2$，列不等式组：
$\begin{cases}1-\sqrt{1+t}≤-2 \\ -2＜1+\sqrt{1+t}＜3 \end{cases}$
解第一个不等式得$\sqrt{1+t}≥3$，即$t≥8$；
解第二个不等式右边得$\sqrt{1+t}＜2$，即$t＜3$，两个解集无公共部分，该不等式组无解。
综上，$t$的取值范围是$3≤ t＜8$。
【答案】
$3≤ t＜8$
【知识点】
根的判别式，求根公式，不等式组求解
【点评】
本题综合考察一元二次方程根的相关性质，解题时需要分类讨论，重点注意端点值的取舍，避免因忽略边界条件出现多解、漏解的问题，同时要准确判断不等式组是否有解，排除不符合要求的情况。
【难度系数】
0.3
首先，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，第一步可通过根的判别式求出t的初步取值范围。其次，利用求根公式表示出方程的两个根，结合“只有一个根在-2＜x＜3范围内”的条件，分两种情况讨论：①较小的根在区间内、较大的根不在区间内；②较大的根在区间内、较小的根不在区间内，分别求解不等式组，舍去无解的情况，最终得到t的取值范围，注意要验证端点是否符合要求。
【解析】
首先，方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-t) = 4+4t＞0$，解得$t＞-1$。
用求根公式求解方程的根：
$x=\frac{2\pm\sqrt{4+4t}}{2}=1\pm\sqrt{1+t}$，即两个根分别为$x_1=1-\sqrt{1+t}$，$x_2=1+\sqrt{1+t}$，显然$x_2＞x_1$。
结合只有一个根在$-2＜x＜3$的范围，分两种情况讨论：
情况1：较小的根$x_1$在$(-2,3)$内，较大的根$x_2≥3$，列不等式组：
$\begin{cases}-2＜1-\sqrt{1+t}＜3 \\ 1+\sqrt{1+t}≥3 \end{cases}$
解第二个不等式：$\sqrt{1+t}≥2$，得$1+t≥4$，即$t≥3$；
解第一个不等式左边：$1-\sqrt{1+t}＞-2$，得$\sqrt{1+t}＜3$，即$1+t＜9$，$t＜8$；
第一个不等式右边$1-\sqrt{1+t}＜3$恒成立，因此该不等式组解集为$3≤ t＜8$。
情况2：较大的根$x_2$在$(-2,3)$内，较小的根$x_1≤-2$，列不等式组：
$\begin{cases}1-\sqrt{1+t}≤-2 \\ -2＜1+\sqrt{1+t}＜3 \end{cases}$
解第一个不等式得$\sqrt{1+t}≥3$，即$t≥8$；
解第二个不等式右边得$\sqrt{1+t}＜2$，即$t＜3$，两个解集无公共部分，该不等式组无解。
综上，$t$的取值范围是$3≤ t＜8$。
【答案】
$3≤ t＜8$
【知识点】
根的判别式，求根公式，不等式组求解
【点评】
本题综合考察一元二次方程根的相关性质，解题时需要分类讨论，重点注意端点值的取舍，避免因忽略边界条件出现多解、漏解的问题，同时要准确判断不等式组是否有解，排除不符合要求的情况。
【难度系数】
0.3
7 核心素养应用意识[2025广东深圳期中,较难]数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题。下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应任务。
答案
7. 任务 1:【解】设 $y=3x^2+4x-2$,
∴ $3x^2+4x-2-y=0$,
∴ $b^2-4ac=16-4×3×(-2-y)= 40+12y≥0$,
∴ $y≥-\frac{10}{3}$,
∴ $3x^2+4x-2$ 的最小值为$-\frac{10}{3}$.任务 2:【解】令 $y=x^2-ax+3$,
∴ $x^2-ax+3-y=0$,
∴ $b^2-4ac=a^2-4(3-y)=a^2-12+4y≥0$,
∴ $y≥3-\frac{1}{4}a^2$. 又
∵ $y$ 的最小值为$-1$,
∴ $3-\frac{1}{4}a^2 = -1$,
∴ $a^2=16$,
∴ $a=±4$.任务 3:【证明】设矩形的面积为 $y$,其中一边长为 $x$,则与其相邻的一边长为 $(\frac{1}{2}a -x )$,
∴ $y = x(\frac{1}{2}a -x )= \frac{1}{2}a x -x^2$,
∴ $x^2 - \frac{1}{2}a x + y = 0$,
∴ $b^2-4ac=\frac{1}{4}a^2 -4y ≥0$,
∴ $y ≤ \frac{1}{16}a^2$,
∴ $y$ 的最大值为$\frac{1}{16}a^2$,
∴ $\frac{1}{2}a x -x^2 = \frac{1}{16}a^2$,
∴ $x_1=x_2=\frac{1}{4}a$,
∴ $\frac{1}{2}a -x=\frac{1}{4}a$,
∴ 周长为 $a$ 的矩形中,正方形的面积最大.
∴ $3x^2+4x-2-y=0$,
∴ $b^2-4ac=16-4×3×(-2-y)= 40+12y≥0$,
∴ $y≥-\frac{10}{3}$,
∴ $3x^2+4x-2$ 的最小值为$-\frac{10}{3}$.任务 2:【解】令 $y=x^2-ax+3$,
∴ $x^2-ax+3-y=0$,
∴ $b^2-4ac=a^2-4(3-y)=a^2-12+4y≥0$,
∴ $y≥3-\frac{1}{4}a^2$. 又
∵ $y$ 的最小值为$-1$,
∴ $3-\frac{1}{4}a^2 = -1$,
∴ $a^2=16$,
∴ $a=±4$.任务 3:【证明】设矩形的面积为 $y$,其中一边长为 $x$,则与其相邻的一边长为 $(\frac{1}{2}a -x )$,
∴ $y = x(\frac{1}{2}a -x )= \frac{1}{2}a x -x^2$,
∴ $x^2 - \frac{1}{2}a x + y = 0$,
∴ $b^2-4ac=\frac{1}{4}a^2 -4y ≥0$,
∴ $y ≤ \frac{1}{16}a^2$,
∴ $y$ 的最大值为$\frac{1}{16}a^2$,
∴ $\frac{1}{2}a x -x^2 = \frac{1}{16}a^2$,
∴ $x_1=x_2=\frac{1}{4}a$,
∴ $\frac{1}{2}a -x=\frac{1}{4}a$,
∴ 周长为 $a$ 的矩形中,正方形的面积最大.
解析
【分析】
本题核心是利用题目给出的判别式法求解二次式最值，解题思路如下：
1. 任务1：模仿给出的示例，设二次三项式的值为y，整理为关于x的一元二次方程，根据x为实数、方程有实根则判别式≥0的性质，解不等式得到y的取值范围，即可得到最小值。
2. 任务2：同样设y等于二次三项式，通过判别式≥0推出y的最小值关于a的表达式，结合已知最小值为-1的条件，列方程求解a即可。
3. 任务3：先设矩形的一边长为x、面积为y，用周长表示出相邻边长，得到面积y关于x的函数式，整理为关于x的一元二次方程后利用判别式≥0求出y的最大值，再验证此时矩形邻边相等即为正方形，完成证明。
【解析】
任务1
设 $y=3x^2+4x-2$，
整理得 $3x^2+4x-2-y=0$，
∵x为实数，该一元二次方程有实根，
∴ $\Delta =b^2-4ac=16-4×3×(-2-y)= 40+12y≥0$，
解不等式得 $y≥-\frac{10}{3}$，
∴ $3x^2+4x-2$ 的最小值为$-\frac{10}{3}$。
任务2
令 $y=x^2-ax+3$，
整理得 $x^2-ax+3-y=0$，
∵x为实数，方程有实根，
∴ $\Delta =b^2-4ac=a^2-4(3-y)=a^2-12+4y≥0$，
变形得 $y≥3-\frac{1}{4}a^2$，即y的最小值为$3-\frac{1}{4}a^2$，
∵ $y$ 的最小值为$-1$，
∴ $3-\frac{1}{4}a^2 = -1$，
解得 $a^2=16$，
∴ $a=±4$。
任务3
证明：设矩形的面积为 $y$，其中一边长为 $x$，
∵矩形周长为a，
∴与其相邻的一边长为 $\frac{1}{2}a -x$，
∴面积 $y = x(\frac{1}{2}a -x )= \frac{1}{2}a x -x^2$，
整理为关于x的一元二次方程：$x^2 - \frac{1}{2}a x + y = 0$，
∵x为实数，方程有实根，
∴ $\Delta =b^2-4ac=\frac{1}{4}a^2 -4y ≥0$，
解不等式得 $y ≤ \frac{1}{16}a^2$，即y的最大值为$\frac{1}{16}a^2$，
当y取最大值时，$\frac{1}{2}a x -x^2 = \frac{1}{16}a^2$，
解方程得 $x_1=x_2=\frac{1}{4}a$，
此时邻边长 $\frac{1}{2}a -x=\frac{1}{4}a$，即矩形四边相等为正方形，
∴周长为 $a$ 的矩形中，正方形的面积最大。
【答案】
任务1：$3x^2+4x-2$的最小值为$\boldsymbol{-\frac{10}{3}}$；
任务2：$\boldsymbol{a=±4}$；
任务3：周长为a的矩形中，正方形的面积最大，得证。
【知识点】
1. 根的判别式应用
2. 二次式最值求解
3. 代数几何综合应用
【点评】
本题属于新方法迁移类题型，先给出判别式求二次式最值的方法，再设置三层递进任务，既考查对新方法的理解、模仿应用能力，又考查灵活运用代数方法解决实际几何问题的应用意识，能有效锻炼知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用题目给出的判别式法求解二次式最值，解题思路如下：
1. 任务1：模仿给出的示例，设二次三项式的值为y，整理为关于x的一元二次方程，根据x为实数、方程有实根则判别式≥0的性质，解不等式得到y的取值范围，即可得到最小值。
2. 任务2：同样设y等于二次三项式，通过判别式≥0推出y的最小值关于a的表达式，结合已知最小值为-1的条件，列方程求解a即可。
3. 任务3：先设矩形的一边长为x、面积为y，用周长表示出相邻边长，得到面积y关于x的函数式，整理为关于x的一元二次方程后利用判别式≥0求出y的最大值，再验证此时矩形邻边相等即为正方形，完成证明。
【解析】
任务1
设 $y=3x^2+4x-2$，
整理得 $3x^2+4x-2-y=0$，
∵x为实数，该一元二次方程有实根，
∴ $\Delta =b^2-4ac=16-4×3×(-2-y)= 40+12y≥0$，
解不等式得 $y≥-\frac{10}{3}$，
∴ $3x^2+4x-2$ 的最小值为$-\frac{10}{3}$。
任务2
令 $y=x^2-ax+3$，
整理得 $x^2-ax+3-y=0$，
∵x为实数，方程有实根，
∴ $\Delta =b^2-4ac=a^2-4(3-y)=a^2-12+4y≥0$，
变形得 $y≥3-\frac{1}{4}a^2$，即y的最小值为$3-\frac{1}{4}a^2$，
∵ $y$ 的最小值为$-1$，
∴ $3-\frac{1}{4}a^2 = -1$，
解得 $a^2=16$，
∴ $a=±4$。
任务3
证明：设矩形的面积为 $y$，其中一边长为 $x$，
∵矩形周长为a，
∴与其相邻的一边长为 $\frac{1}{2}a -x$，
∴面积 $y = x(\frac{1}{2}a -x )= \frac{1}{2}a x -x^2$，
整理为关于x的一元二次方程：$x^2 - \frac{1}{2}a x + y = 0$，
∵x为实数，方程有实根，
∴ $\Delta =b^2-4ac=\frac{1}{4}a^2 -4y ≥0$，
解不等式得 $y ≤ \frac{1}{16}a^2$，即y的最大值为$\frac{1}{16}a^2$，
当y取最大值时，$\frac{1}{2}a x -x^2 = \frac{1}{16}a^2$，
解方程得 $x_1=x_2=\frac{1}{4}a$，
此时邻边长 $\frac{1}{2}a -x=\frac{1}{4}a$，即矩形四边相等为正方形，
∴周长为 $a$ 的矩形中，正方形的面积最大。
【答案】
任务1：$3x^2+4x-2$的最小值为$\boldsymbol{-\frac{10}{3}}$；
任务2：$\boldsymbol{a=±4}$；
任务3：周长为a的矩形中，正方形的面积最大，得证。
【知识点】
1. 根的判别式应用
2. 二次式最值求解
3. 代数几何综合应用
【点评】
本题属于新方法迁移类题型，先给出判别式求二次式最值的方法，再设置三层递进任务，既考查对新方法的理解、模仿应用能力，又考查灵活运用代数方法解决实际几何问题的应用意识，能有效锻炼知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
