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1.(中线倍长法·8字法)如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$是$AB$的中点,连接$CD$,过$B$作$BE⊥ CD$交$CD$的延长线于点$E$,连接$AE$,过$A$作$AF⊥ AE$交$CD$于点$F$.
(1)求证:$AE=AF$;
(2)求证:$CD=2BE+DE$.
(1)求证:$AE=AF$;
(2)求证:$CD=2BE+DE$.
答案
(1) 证明：
∵∠BAC=90°,AF⊥AE,
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°,
∴∠EAB=∠FAC,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°,
∵∠EDB=∠ADC,
∴∠EBA=∠FCA,又AB=AC,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF
(2) 证明：过点A作AG⊥EC于点G.
∵AG⊥EC,BE⊥CE,
∴∠BED=∠AGD=90°,
∵点D是AB的中点,
∴BD=AD.又∠BDE=∠ADG,
∴△BED≌△AGD(AAS),
∴ED=GD,BE=AG,
∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴∠AEF=∠AFE=45°,
∴∠FAG=45°,
∴∠GAF=∠GFA,
∴AG=GF,
∵△ABE≌△ACF,
∴CF=BE=AG=GF,
∴CD=CF+GF+DG=BE+BE+DE=2BE+DE,即CD=2BE+DE
∵∠BAC=90°,AF⊥AE,
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°,
∴∠EAB=∠FAC,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°,
∵∠EDB=∠ADC,
∴∠EBA=∠FCA,又AB=AC,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF
(2) 证明：过点A作AG⊥EC于点G.
∵AG⊥EC,BE⊥CE,
∴∠BED=∠AGD=90°,
∵点D是AB的中点,
∴BD=AD.又∠BDE=∠ADG,
∴△BED≌△AGD(AAS),
∴ED=GD,BE=AG,
∵AE=AF,∠EAF=90°,
∴∠AEF=∠AFE=45°,
∴∠FAG=45°,
∴∠GAF=∠GFA,
∴AG=GF,
∵△ABE≌△ACF,
∴CF=BE=AG=GF,
∴CD=CF+GF+DG=BE+BE+DE=2BE+DE,即CD=2BE+DE
解析
【分析】
(1) 要证明AE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到AE在△ABE中，AF在△ACF中，已知AB=AC，先利用同角的余角相等推出∠EAB=∠FAC，再结合BE⊥CD、对顶角相等推出∠EBA=∠FCA，即可用ASA证明△ABE≌△ACF，得到AE=AF。
(2) 要证明CD=2BE+DE，需将CD拆分后做线段等量代换。过A作AG⊥EC于G，先证△BED≌△AGD得到ED=GD、BE=AG；再结合(1)的结论可知△AEF是等腰直角三角形，推出AG=GF，同时结合(1)的全等结论得CF=BE，最后将CD拆分为CF+GF+DG，代入等量关系即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC（对顶角相等），
∴∠EBA=∠FCA，
又
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴AE=AF。
(2) 证明：过点A作AG⊥EC于点G。
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AD，
又
∵∠BDE=∠ADG（对顶角相等），
∴△BED≌△AGD(AAS)，
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAG=90°-45°=45°，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=GF，
∵△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=AG=GF，
∴CD=CF+GF+DG=BE+BE+DE=2BE+DE，即CD=2BE+DE。
【答案】
(1) AE=AF，证明成立；
(2) CD=2BE+DE，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题属于三角形全等的综合应用题型，解题核心是结合垂直、等线段条件推导角相等，进而证明三角形全等；第二问通过作垂线段构造全等三角形完成线段等量代换，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到AE在△ABE中，AF在△ACF中，已知AB=AC，先利用同角的余角相等推出∠EAB=∠FAC，再结合BE⊥CD、对顶角相等推出∠EBA=∠FCA，即可用ASA证明△ABE≌△ACF，得到AE=AF。
(2) 要证明CD=2BE+DE，需将CD拆分后做线段等量代换。过A作AG⊥EC于G，先证△BED≌△AGD得到ED=GD、BE=AG；再结合(1)的结论可知△AEF是等腰直角三角形，推出AG=GF，同时结合(1)的全等结论得CF=BE，最后将CD拆分为CF+GF+DG，代入等量关系即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC（对顶角相等），
∴∠EBA=∠FCA，
又
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴AE=AF。
(2) 证明：过点A作AG⊥EC于点G。
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AD，
又
∵∠BDE=∠ADG（对顶角相等），
∴△BED≌△AGD(AAS)，
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAG=90°-45°=45°，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=GF，
∵△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=AG=GF，
∴CD=CF+GF+DG=BE+BE+DE=2BE+DE，即CD=2BE+DE。
【答案】
(1) AE=AF，证明成立；
(2) CD=2BE+DE，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题属于三角形全等的综合应用题型，解题核心是结合垂直、等线段条件推导角相等，进而证明三角形全等；第二问通过作垂线段构造全等三角形完成线段等量代换，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
2.【综合与实践】在平面直角坐标系中，A(3,0)，点M为y轴负半轴上一动点.
(1)【问题探究】如图①，点B在第一象限，△AOB为等边三角形，连接AM，以AM为边，在AM上方作等边△AMN，连接BN，点M在运动过程中：①当∠BAN=26°时，∠OAN=
(2)【问题拓展】如图②，点P在x轴负半轴上，OP=OM，且OM＞3，连接AM，过点P作PH⊥AM于H，直线PH与y轴交于点K，连接OH，点M在运动过程中，∠OHP的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.
(1)【问题探究】如图①，点B在第一象限，△AOB为等边三角形，连接AM，以AM为边，在AM上方作等边△AMN，连接BN，点M在运动过程中：①当∠BAN=26°时，∠OAN=
34°
；②连接ON，求ON的最小值；(2)【问题拓展】如图②，点P在x轴负半轴上，OP=OM，且OM＞3，连接AM，过点P作PH⊥AM于H，直线PH与y轴交于点K，连接OH，点M在运动过程中，∠OHP的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由.
答案
(1) ① $34°$
② $\because △ AOB$ 和 $△ AMN$ 是等边三角形, $\therefore AB = OA, AN = AM, ∠ BAO = ∠ NAM = 60°, \therefore ∠ BAN = ∠ OAM, \therefore △ ABN ≌ △ AOM(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ ABN = ∠ AOM = 90°, \therefore$ 点 $N$ 始终在过点 $B$ 且与 $AB$ 垂直的直线上运动, 当 $ON ⊥ BN$ 时, $ON$ 的值最小, $\mathrm{Rt}△ ONB$ 中, $∠ OBN = 90° - 60° = 30°, \therefore ON = \frac{1}{2}OB = \frac{3}{2}$, 即 $ON$ 的最小值是 $\frac{3}{2}$
(2) 点 $M$ 在运动过程中, $∠ OHP$ 的度数没有发生变化, 是定值 $45°$. 如图
, 过点 $O$ 作 $OE ⊥ PH$ 于点 $E$, 作 $OF ⊥ AM$ 于点 $F$, 则 $∠ OEP = ∠ OFM = 90°, \because PH ⊥ AM, \therefore ∠ KHM = 90°, \because ∠ POK = 90°, \therefore ∠ POK = ∠ KHM, \because ∠ PKO = ∠ MKH, \therefore ∠ OPE = ∠ OMF, \because OP = OM, \therefore △ OPE ≌ △ OMF(\mathrm{ASA}), \therefore OE = OF, \because OE ⊥ PH, OF ⊥ AM, \therefore OH$ 平分 $∠ AHP, \therefore ∠ OHP = \frac{1}{2}∠ AHP = \frac{1}{2} × 90° = 45°$解析
【分析】
(1) ① 先利用等边三角形△AOB的性质得到∠BAO=60°，结合已知的∠BAN的度数，用∠BAO减去∠BAN即可直接求出∠OAN；② 首先根据等边三角形边相等、角相等的性质，推导得到∠BAN=∠OAM，用SAS证明△ABN≌△AOM，得到∠ABN=90°，确定点N的运动轨迹是过B且垂直AB的直线，再根据垂线段最短的性质，可知ON垂直该轨迹时长度最小，最后利用直角三角形30°角的性质计算最小值。
(2) 要判断∠OHP是否为定值，可通过构造辅助线证明OH是∠AHP的角平分线：过O作OE⊥PH、OF⊥AM，先推导得到∠OPE=∠OMF，结合OP=OM的条件用ASA证明△OPE≌△OMF，得到OE=OF，根据角平分线的判定定理可知OH平分∠AHP，结合PH⊥AM的条件即可求出∠OHP的定值。
【解析】
(1) ①
∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAN=∠BAO - ∠BAN=60°-26°=34°。
②
∵△AOB和△AMN都是等边三角形，
∴AB=OA，AN=AM，∠BAO=∠NAM=60°，
∴∠BAO - ∠BAM=∠NAM - ∠BAM，即∠BAN=∠OAM，
在△ABN和△AOM中：
$\begin{cases}AB=AO \\∠BAN=∠OAM \\AN=AM\end{cases}$
∴△ABN≌△AOM(SAS)，
∴∠ABN=∠AOM=90°，即点N始终在过点B且与AB垂直的直线上运动，
根据垂线段最短，当ON⊥BN时ON最小，
在Rt△ONB中，∠OBN=90°-60°=30°，OB=OA=3，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$。
(2) ∠OHP的度数不发生变化，证明如下：
如图，过点O作OE⊥PH于E，OF⊥AM于F，
则∠OEP=∠OFM=90°，
∵PH⊥AM，
∴∠KHM=90°，
∵∠POK=∠KHM=90°，∠PKO=∠MKH（对顶角相等），
∴∠OPE=∠OMF，
在△OPE和△OMF中：
$\begin{cases}∠OEP=∠OFM \\∠OPE=∠OMF \\OP=OM\end{cases}$
∴△OPE≌△OMF(ASA)，
∴OE=OF，
∵OE⊥PH，OF⊥AM，
∴OH平分∠AHP（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∵PH⊥AM，
∴∠AHP=90°，
∴∠OHP=$\frac{1}{2}$∠AHP=45°。
【答案】
(1) ① $34°$
② $\because △ AOB$ 和 $△ AMN$ 是等边三角形, $\therefore AB = OA, AN = AM, ∠ BAO = ∠ NAM = 60°, \therefore ∠ BAN = ∠ OAM, \therefore △ ABN ≌ △ AOM(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ ABN = ∠ AOM = 90°, \therefore$ 点 $N$ 始终在过点 $B$ 且与 $AB$ 垂直的直线上运动, 当 $ON ⊥ BN$ 时, $ON$ 的值最小, $\mathrm{Rt}△ ONB$ 中, $∠ OBN = 90° - 60° = 30°, \therefore ON = \frac{1}{2}OB = \frac{3}{2}$, 即 $ON$ 的最小值是 $\frac{3}{2}$
(2) 点 $M$ 在运动过程中, $∠ OHP$ 的度数没有发生变化, 是定值 $45°$. 如图, 过点 $O$ 作 $OE ⊥ PH$ 于点 $E$, 作 $OF ⊥ AM$ 于点 $F$, 则 $∠ OEP = ∠ OFM = 90°, \because PH ⊥ AM, \therefore ∠ KHM = 90°, \because ∠ POK = 90°, \therefore ∠ POK = ∠ KHM, \because ∠ PKO = ∠ MKH, \therefore ∠ OPE = ∠ OMF, \because OP = OM, \therefore △ OPE ≌ △ OMF(\mathrm{ASA}), \therefore OE = OF, \because OE ⊥ PH, OF ⊥ AM, \therefore OH$ 平分 $∠ AHP, \therefore ∠ OHP = \frac{1}{2}∠ AHP = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
【知识点】
等边三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是坐标系下的几何综合题，涵盖了动点角度计算、最值求解、定值探究三类考点，需要熟练掌握特殊三角形的性质，灵活构造全等三角形，结合垂线段最短、角平分线判定等知识解决问题，对几何逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) ① 先利用等边三角形△AOB的性质得到∠BAO=60°，结合已知的∠BAN的度数，用∠BAO减去∠BAN即可直接求出∠OAN；② 首先根据等边三角形边相等、角相等的性质，推导得到∠BAN=∠OAM，用SAS证明△ABN≌△AOM，得到∠ABN=90°，确定点N的运动轨迹是过B且垂直AB的直线，再根据垂线段最短的性质，可知ON垂直该轨迹时长度最小，最后利用直角三角形30°角的性质计算最小值。
(2) 要判断∠OHP是否为定值，可通过构造辅助线证明OH是∠AHP的角平分线：过O作OE⊥PH、OF⊥AM，先推导得到∠OPE=∠OMF，结合OP=OM的条件用ASA证明△OPE≌△OMF，得到OE=OF，根据角平分线的判定定理可知OH平分∠AHP，结合PH⊥AM的条件即可求出∠OHP的定值。
【解析】
(1) ①
∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAN=∠BAO - ∠BAN=60°-26°=34°。
②
∵△AOB和△AMN都是等边三角形，
∴AB=OA，AN=AM，∠BAO=∠NAM=60°，
∴∠BAO - ∠BAM=∠NAM - ∠BAM，即∠BAN=∠OAM，
在△ABN和△AOM中：
$\begin{cases}AB=AO \\∠BAN=∠OAM \\AN=AM\end{cases}$
∴△ABN≌△AOM(SAS)，
∴∠ABN=∠AOM=90°，即点N始终在过点B且与AB垂直的直线上运动，
根据垂线段最短，当ON⊥BN时ON最小，
在Rt△ONB中，∠OBN=90°-60°=30°，OB=OA=3，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$。
(2) ∠OHP的度数不发生变化，证明如下：
如图
，过点O作OE⊥PH于E，OF⊥AM于F，则∠OEP=∠OFM=90°，
∵PH⊥AM，
∴∠KHM=90°，
∵∠POK=∠KHM=90°，∠PKO=∠MKH（对顶角相等），
∴∠OPE=∠OMF，
在△OPE和△OMF中：
$\begin{cases}∠OEP=∠OFM \\∠OPE=∠OMF \\OP=OM\end{cases}$
∴△OPE≌△OMF(ASA)，
∴OE=OF，
∵OE⊥PH，OF⊥AM，
∴OH平分∠AHP（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∵PH⊥AM，
∴∠AHP=90°，
∴∠OHP=$\frac{1}{2}$∠AHP=45°。
【答案】
(1) ① $34°$
② $\because △ AOB$ 和 $△ AMN$ 是等边三角形, $\therefore AB = OA, AN = AM, ∠ BAO = ∠ NAM = 60°, \therefore ∠ BAN = ∠ OAM, \therefore △ ABN ≌ △ AOM(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ ABN = ∠ AOM = 90°, \therefore$ 点 $N$ 始终在过点 $B$ 且与 $AB$ 垂直的直线上运动, 当 $ON ⊥ BN$ 时, $ON$ 的值最小, $\mathrm{Rt}△ ONB$ 中, $∠ OBN = 90° - 60° = 30°, \therefore ON = \frac{1}{2}OB = \frac{3}{2}$, 即 $ON$ 的最小值是 $\frac{3}{2}$
(2) 点 $M$ 在运动过程中, $∠ OHP$ 的度数没有发生变化, 是定值 $45°$. 如图
, 过点 $O$ 作 $OE ⊥ PH$ 于点 $E$, 作 $OF ⊥ AM$ 于点 $F$, 则 $∠ OEP = ∠ OFM = 90°, \because PH ⊥ AM, \therefore ∠ KHM = 90°, \because ∠ POK = 90°, \therefore ∠ POK = ∠ KHM, \because ∠ PKO = ∠ MKH, \therefore ∠ OPE = ∠ OMF, \because OP = OM, \therefore △ OPE ≌ △ OMF(\mathrm{ASA}), \therefore OE = OF, \because OE ⊥ PH, OF ⊥ AM, \therefore OH$ 平分 $∠ AHP, \therefore ∠ OHP = \frac{1}{2}∠ AHP = \frac{1}{2} × 90° = 45°$【知识点】
等边三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题是坐标系下的几何综合题，涵盖了动点角度计算、最值求解、定值探究三类考点，需要熟练掌握特殊三角形的性质，灵活构造全等三角形，结合垂线段最短、角平分线判定等知识解决问题，对几何逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
