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7.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE//AC，则图中共有等腰三角形
第7题图 第8题图
5
个。第7题图 第8题图
答案
7.5
解析
【分析】
要数图中的等腰三角形，需按“从大到小、逐个排查”的思路：①先利用三角形内角和算出△ABC的各个内角，判断是否为等腰三角形；②结合角平分线的性质得到相等的角，依次判断CD分割出的两个三角形是否为等腰；③再利用平行线的同位角、内错角相等的性质，判断DE分割出的两个小三角形是否为等腰，过程中注意不要漏数、多数。
【解析】
1. 先判断△ABC：
在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，则∠ACB=180°-∠A-∠B=72°，
∴∠ACB=∠B，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形（第1个）。
2. 结合角平分线判断CD分割出的三角形：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=36°。
①在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD，△ACD是等腰三角形（第2个）；
②在△CDB中，∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB，△CDB是等腰三角形（第3个）。
3. 结合平行线性质判断DE分割出的三角形：
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠A=36°（同位角相等），∠CDE=∠ACD=36°（内错角相等）。
①在△DEB中，∠DEB=180°-∠EDB-∠B=72°，
∴∠DEB=∠B，
∴DE=DB，△DEB是等腰三角形（第4个）；
②在△CDE中，∠CDE=∠BCD=36°，
∴CE=DE，△CDE是等腰三角形（第5个）。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型习题，需要综合运用角的相关性质，按固定顺序排查即可避免漏数，能很好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要数图中的等腰三角形，需按“从大到小、逐个排查”的思路：①先利用三角形内角和算出△ABC的各个内角，判断是否为等腰三角形；②结合角平分线的性质得到相等的角，依次判断CD分割出的两个三角形是否为等腰；③再利用平行线的同位角、内错角相等的性质，判断DE分割出的两个小三角形是否为等腰，过程中注意不要漏数、多数。
【解析】
1. 先判断△ABC：
在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，则∠ACB=180°-∠A-∠B=72°，
∴∠ACB=∠B，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形（第1个）。
2. 结合角平分线判断CD分割出的三角形：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=36°。
①在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD，△ACD是等腰三角形（第2个）；
②在△CDB中，∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB，△CDB是等腰三角形（第3个）。
3. 结合平行线性质判断DE分割出的三角形：
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠A=36°（同位角相等），∠CDE=∠ACD=36°（内错角相等）。
①在△DEB中，∠DEB=180°-∠EDB-∠B=72°，
∴∠DEB=∠B，
∴DE=DB，△DEB是等腰三角形（第4个）；
②在△CDE中，∠CDE=∠BCD=36°，
∴CE=DE，△CDE是等腰三角形（第5个）。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型习题，需要综合运用角的相关性质，按固定顺序排查即可避免漏数，能很好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=BC,AB=12\ \mathrm{cm},F$是$AB$边上一点,过点$F$作$FE// BC$交$AC$于点$E$,过点$E$作$ED// AB$交$BC$于点$D$,则四边形$BDEF$的周长是________cm.
答案
8.24
解析
【分析】
解题时首先根据两组对边分别平行判定四边形BDEF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，可将周长转化为2(BF + EF)的形式；再结合已知AB=BC得到△ABC为等腰三角形，两底角∠A=∠C，结合FE//BC的平行线性质，可推出△AFE也为等腰三角形，得到EF=AF，进而将BF+EF转化为AB的长度，代入数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵FE//BC，ED//AB，
∴四边形BDEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴EF=BD，DE=BF，
∴四边形BDEF的周长$=BF + EF + DE + BD = 2(BF + EF)$。
∵AB=BC，
∴$∠ A = ∠ C$（等腰三角形两底角相等），
∵FE//BC，
∴$∠ AEF = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$∠ AEF = ∠ A$，
∴EF=AF（等角对等边），
∴$BF + EF = BF + AF = AB = 12\ \mathrm{cm}$，
∴四边形BDEF的周长$=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
24
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题侧重考查几何图形性质的综合应用，核心是通过等角对等边完成边长的转化，无需单独计算各边长度即可求出周长，巧妙运用了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据两组对边分别平行判定四边形BDEF是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，可将周长转化为2(BF + EF)的形式；再结合已知AB=BC得到△ABC为等腰三角形，两底角∠A=∠C，结合FE//BC的平行线性质，可推出△AFE也为等腰三角形，得到EF=AF，进而将BF+EF转化为AB的长度，代入数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵FE//BC，ED//AB，
∴四边形BDEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴EF=BD，DE=BF，
∴四边形BDEF的周长$=BF + EF + DE + BD = 2(BF + EF)$。
∵AB=BC，
∴$∠ A = ∠ C$（等腰三角形两底角相等），
∵FE//BC，
∴$∠ AEF = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$∠ AEF = ∠ A$，
∴EF=AF（等角对等边），
∴$BF + EF = BF + AF = AB = 12\ \mathrm{cm}$，
∴四边形BDEF的周长$=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
24
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题侧重考查几何图形性质的综合应用，核心是通过等角对等边完成边长的转化，无需单独计算各边长度即可求出周长，巧妙运用了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,AD$⊥$CD,垂足为D,DE$//$AB交AC于点E.求证:AE=CE.
答案
9.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC.
∵DE//AB,
∴∠EDA=∠BAD,
∴∠EAD=∠EDA,
∴AE=DE.
∵AD⊥CD,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠EDA+∠EDC=90°.
∵∠EDA=∠EAD,
∴∠EDC=∠ACD,
∴DE=CE,
∴AE=CE
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC.
∵DE//AB,
∴∠EDA=∠BAD,
∴∠EAD=∠EDA,
∴AE=DE.
∵AD⊥CD,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠EDA+∠EDC=90°.
∵∠EDA=∠EAD,
∴∠EDC=∠ACD,
∴DE=CE,
∴AE=CE
解析
【分析】
要证明AE=CE，可通过中间线段DE进行等量代换推导：首先利用AD平分∠BAC和DE//AB的条件，推导得出∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得AE=DE；再结合AD⊥CD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，推出∠EDC=∠ACD，再次利用等角对等边得到DE=CE，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠EDA+∠EDC=90°，
∵∠EDA=∠EAD，
∴∠EDC=∠ACD，
∴DE=CE，
∴AE=CE。
【答案】
AE=CE
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了角平分线、平行线和等腰三角形的相关性质，解题的核心是通过角的等量关系得到等腰三角形，借助中间线段DE完成等量代换，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
要证明AE=CE，可通过中间线段DE进行等量代换推导：首先利用AD平分∠BAC和DE//AB的条件，推导得出∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得AE=DE；再结合AD⊥CD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，推出∠EDC=∠ACD，再次利用等角对等边得到DE=CE，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
证明：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠EDA+∠EDC=90°，
∵∠EDA=∠EAD，
∴∠EDC=∠ACD，
∴DE=CE，
∴AE=CE。
【答案】
AE=CE
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了角平分线、平行线和等腰三角形的相关性质，解题的核心是通过角的等量关系得到等腰三角形，借助中间线段DE完成等量代换，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
10.如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC边的延长线上一点，$CE=CD$，$DM⊥BC$于点M.下列结论错误的是（
A.$BM=3CM$
B.$BM=EM$
C.$CM=\frac{1}{2}CE$
D.$DM=2CM$
D
）A.$BM=3CM$
B.$BM=EM$
C.$CM=\frac{1}{2}CE$
D.$DM=2CM$
答案
10.D
解析
【分析】
我们可以通过设等边三角形边长简化计算，结合等边三角形“三边相等、内角为60°”的性质、等腰三角形“等边对等角、外角性质”，以及直角三角形中“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，逐个验证选项的正误，最终选出错误结论。
【解析】
设等边△ABC的边长为2a：
1. 推导基础线段和角度：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC=2a。
∵D是AC中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=a；又
∵CE=CD，
∴CE=a。
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，结合∠ACB=∠E+∠CDE=60°，得∠E=30°。
2. 在Rt△DMC中，∠DMC=90°，∠DCM=60°，
∴∠CDM=30°，可得CM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$a。
3. 逐一判断选项：
A选项：BM=BC-CM=2a-$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{2}$a，CM=$\frac{1}{2}$a，故BM=3CM，结论正确。
B选项：EM=CE+CM=a+$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{2}$a，和BM长度相等，故BM=EM，结论正确。
C选项：CM=$\frac{1}{2}$a，CE=a，故CM=$\frac{1}{2}$CE，结论正确。
D选项：Rt△DMC中斜边CD=2CM，直角边DM长度小于斜边CD，故DM＜2CM，不可能等于2CM，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，通过设参数表示各线段长度的方法能降低解题复杂度，解题时注意结合直角三角形直角边小于斜边的隐含条件快速判断错误选项。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设等边三角形边长简化计算，结合等边三角形“三边相等、内角为60°”的性质、等腰三角形“等边对等角、外角性质”，以及直角三角形中“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，逐个验证选项的正误，最终选出错误结论。
【解析】
设等边△ABC的边长为2a：
1. 推导基础线段和角度：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC=2a。
∵D是AC中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=a；又
∵CE=CD，
∴CE=a。
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，结合∠ACB=∠E+∠CDE=60°，得∠E=30°。
2. 在Rt△DMC中，∠DMC=90°，∠DCM=60°，
∴∠CDM=30°，可得CM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$a。
3. 逐一判断选项：
A选项：BM=BC-CM=2a-$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{2}$a，CM=$\frac{1}{2}$a，故BM=3CM，结论正确。
B选项：EM=CE+CM=a+$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{2}$a，和BM长度相等，故BM=EM，结论正确。
C选项：CM=$\frac{1}{2}$a，CE=a，故CM=$\frac{1}{2}$CE，结论正确。
D选项：Rt△DMC中斜边CD=2CM，直角边DM长度小于斜边CD，故DM＜2CM，不可能等于2CM，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，通过设参数表示各线段长度的方法能降低解题复杂度，解题时注意结合直角三角形直角边小于斜边的隐含条件快速判断错误选项。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°,∠ B=30°$，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若$CD=5$，则$BC=$
15
。答案
11.15
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB的垂直平分线DE”入手，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°；再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，得到∠DAC=30°；最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度，即可计算BC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=60°-30°=30°，
∵在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，CD=5，
∴AD=2CD=10（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
又
∵AD=BD，
∴BD=10，
∴BC=BD+CD=10+5=15。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是几何基础计算题，将垂直平分线、等腰三角形、特殊直角三角形的性质结合考查，解题核心是通过线段相等推导角的数量关系，再利用特殊角的性质求线段长度，是轴对称章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“AB的垂直平分线DE”入手，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°；再结合直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，得到∠DAC=30°；最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD的长度，即可计算BC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=60°-30°=30°，
∵在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，CD=5，
∴AD=2CD=10（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
又
∵AD=BD，
∴BD=10，
∴BC=BD+CD=10+5=15。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是几何基础计算题，将垂直平分线、等腰三角形、特殊直角三角形的性质结合考查，解题核心是通过线段相等推导角的数量关系，再利用特殊角的性质求线段长度，是轴对称章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
12.如图,过等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC边于点D.
(1)求证:PD=DQ;
(2)若△ABC的边长为1,求DE的长.
(1)求证:PD=DQ;
(2)若△ABC的边长为1,求DE的长.
答案
12.(1)如图,过P作PF//BC交AC于点F,
∴∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠Q,∠PFD=∠QCD,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ACB=60°,
∴∠AFP=60°,
∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF,
∵AP=CQ,
∴PF=CQ,
∴△PFD≌△QCD(ASA),
∴PD=DQ
(2)
∵△APF是等边三角形,PE⊥AC,
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF,由(1)知△PFD≌△QCD,
∴CD=DF=$\frac{1}{2}$CF,
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$AF+$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$(AF+CF)=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 要证明PD=DQ，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知PA=CQ，结合等边△ABC的内角均为60°的性质，考虑过点P作PF//BC交AC于F，先利用平行线的性质和等边三角形的判定定理证明△APF是等边三角形，将PA转化为PF，得到PF=CQ，再找两组对应角相等即可证明△PFD和△QCD全等，进而得到PD=DQ。
(2) 求DE的长，可利用等边三角形三线合一的性质：PE是等边△APF的高，因此AE=EF；再结合(1)中全等三角形的性质可得CD=DF，由此可推出DE的长度为AC的一半，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：过P作PF//BC交AC于点F，
∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ FPD=∠ Q\\ PF=CQ\\ ∠ PFD=∠ QCD\end{array} $
∴△PFD≌△QCD(ASA)，
∴PD=DQ。
(2) 解：
∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，
根据等腰三角形三线合一的性质，得$AE=EF=\frac{1}{2}AF$，
由(1)知△PFD≌△QCD，
∴$CD=DF=\frac{1}{2}CF$，
∴$DE=EF+DF=\frac{1}{2}AF+\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}(AF+CF)=\frac{1}{2}AC$，
∵△ABC的边长为1，即AC=1，
∴$DE=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) PD=DQ得证，证明过程如上；
(2) DE的长为$\frac{1}{2}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题的关键是合理构造平行线作为辅助线，得到等边三角形和全等三角形，再结合相关性质推导结论，有效考查了几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明PD=DQ，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知PA=CQ，结合等边△ABC的内角均为60°的性质，考虑过点P作PF//BC交AC于F，先利用平行线的性质和等边三角形的判定定理证明△APF是等边三角形，将PA转化为PF，得到PF=CQ，再找两组对应角相等即可证明△PFD和△QCD全等，进而得到PD=DQ。
(2) 求DE的长，可利用等边三角形三线合一的性质：PE是等边△APF的高，因此AE=EF；再结合(1)中全等三角形的性质可得CD=DF，由此可推出DE的长度为AC的一半，代入AC的长度即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：过P作PF//BC交AC于点F，
∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中：
$\{\begin{array}{l}∠ FPD=∠ Q\\ PF=CQ\\ ∠ PFD=∠ QCD\end{array} $
∴△PFD≌△QCD(ASA)，
∴PD=DQ。
(2) 解：
∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，
根据等腰三角形三线合一的性质，得$AE=EF=\frac{1}{2}AF$，
由(1)知△PFD≌△QCD，
∴$CD=DF=\frac{1}{2}CF$，
∴$DE=EF+DF=\frac{1}{2}AF+\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}(AF+CF)=\frac{1}{2}AC$，
∵△ABC的边长为1，即AC=1，
∴$DE=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) PD=DQ得证，证明过程如上；
(2) DE的长为$\frac{1}{2}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题的关键是合理构造平行线作为辅助线，得到等边三角形和全等三角形，再结合相关性质推导结论，有效考查了几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
