1.下列四个图形，属于轴对称图形的是 （）
A C D

1.C

【分析】
解决本题首先要明确轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形，这条直线称为对称轴。解题时逐个判断四个选项是否存在符合要求的直线即可：首先看选项A的风车图案，任意直线折叠都无法让两侧完全重合，可排除；再看选项B的倾斜组合图形，找不到满足折叠后重合的直线，也排除；选项C的图形沿中间竖直线或水平线折叠，两侧都能完全重合，符合定义；最后看选项D的含平行四边形的组合图形，不存在能让折叠后两侧重合的直线，排除，最终确定答案为C。
【解析】
依据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A：属于中心对称图形，不存在对称轴，不是轴对称图形；
2. 选项B：无满足条件的对称轴，不是轴对称图形；
3. 选项C：存在竖直、水平两条对称轴，沿对称轴折叠后图形两侧完全重合，是轴对称图形；
4. 选项D：属于中心对称图形，不存在对称轴，不是轴对称图形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形定义、轴对称图形判定
【点评】
本题是轴对称图形判定的基础题，解题核心是抓住轴对称图形“沿某条直线对折后两侧完全重合”的特征，注意区分轴对称图形和中心对称图形，避免混淆概念，仔细观察图形就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2.在平面直角坐标系中，点A与点A₁关于x轴对称，点A与点A₂关于y轴对称.已知点A₁(1,2)，则点A₂的坐标是.

2.(-1,-2)

【分析】
解决本题的核心是先确定中间量点A的坐标，再推导点A₂的坐标。首先回忆平面直角坐标系中轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。我们先根据点A₁的坐标和x轴对称的规律求出点A的坐标，再结合y轴对称的规律求出点A₂的坐标即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
∵ 点A与点A₁关于x轴对称，关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，已知A₁(1,2)
∴ 点A的横坐标为1，纵坐标为2的相反数-2，即A(1,-2)
2. 求点A₂的坐标：
∵ 点A与点A₂关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数
∴ 点A₂的纵坐标为-2，横坐标为1的相反数-1，即A₂(-1,-2)
【答案】
(-1,-2)
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中轴对称坐标变换的基础题型，解题关键是准确区分两种轴对称对应的横、纵坐标变化规律，避免混淆规律导致出错。
【难度系数】
0.9

3.如图，$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(4,2),C(3,4)$.
（1）画出$△ ABC$关于$y$轴成轴对称的$△ A_1B_1C_1$，$△ A_1B_1C_1$三个顶点坐标分别为$A_1$，$B_1$，$C_1$；
（2）点$Q$在$y$轴上，且$S_{△ ACQ} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，点$Q$的坐标为；
（3）在$x$轴上求一点$P$，使$PA + PB$的值最小，请直接写出点$P$的坐标是.

3.(1)△A₁B₁C₁如图所示,A₁(-1,1),B₁(-4,2),C₁(-3,4)
(2)$(0,\frac{5}{4})$或$(0,-\frac{9}{4})$
(3)如图,作点B关于x轴的对称点B',连接AB'交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,此时P(2,0)

【分析】
（1）关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，依据该规律直接写出三个对称点的坐标，再顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$；
（2）先利用网格割补法求出$△ ABC$的面积，设Q点坐标为$(0,m)$，通过面积公式表示出$△ ACQ$的面积，令其等于$△ ABC$面积的$\frac{1}{2}$，解方程即可得到m的两个取值，对应两个Q点坐标；
（3）本题属于将军饮马最短路径问题，作点B关于x轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可知$PB=PB'$，因此$PA+PB=PA+PB'$，当A、P、$B'$三点共线时$PA+PB'$取得最小值，求出直线$AB'$的解析式，令$y=0$即可得到P点坐标。
【解析】
（1）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等：
已知$A(1,1)$，$B(4,2)$，$C(3,4)$，因此对称点坐标为$A_1(-1,1)$，$B_1(-4,2)$，$C_1(-3,4)$，顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$得到$△ A_1B_1C_1$，如图所示。
（2）①计算$△ ABC$的面积：用边长为3的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=3×3 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×2×3 = 9 - 1.5 -1 -3 = \frac{7}{2}$
因此$\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{7}{4}$。
②设Q点坐标为$(0,m)$，线段$AC$的长度为$AC=\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13}$，直线AC的解析式为$3x-2y-1=0$，点Q到直线AC的距离为$d=\frac{|2m+1|}{\sqrt{13}}$。
因此$S_{△ ACQ}=\frac{1}{2}× AC × d = \frac{1}{2}|2m+1|$，令$\frac{1}{2}|2m+1|=\frac{7}{4}$，解得$m=\frac{5}{4}$或$m=-\frac{9}{4}$，即Q点坐标为$(0,\frac{5}{4})$或$(0,-\frac{9}{4})$。
（3）作点B关于x轴的对称点$B'(4,-2)$，连接$AB'$交x轴于P，此时$PA+PB$最小。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，代入$A(1,1)$、$B'(4,-2)$得$\begin{cases} k+b=1 \\ 4k+b=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=2 \end{cases}$，即直线解析式为$y=-x+2$，令$y=0$得$x=2$，故P点坐标为$(2,0)$。
【答案】
(1)$△ A_1B_1C_1$如图所示，$A_1(-1,1)$，$B_1(-4,2)$，$C_1(-3,4)$
(2)$(0,\frac{5}{4})$或$(0,-\frac{9}{4})$
(3)$(2,0)$
【知识点】
轴对称的坐标特征；坐标系三角形面积计算；将军饮马模型
【点评】
本题综合考查了轴对称的性质、网格图形面积计算和最短路径模型的应用，是轴对称章节的典型综合题，解题时注意第二问不要漏解，第三问要熟练运用对称思想转化最短路径问题。
【难度系数】
0.7

4.(荆州中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40°$,点$D$,$P$分别是图中所作直线和射线与$AB$,$CD$的交点.根据图中尺规作图痕迹推断,以下结论错误的是 ()


A.$AD=CD$
B.$∠ ABP=∠ CBP$
C.$∠ BPC=115°$
D.$∠ PBC=∠ A$

4.D

【分析】
解题第一步先识别图中尺规作图的类型：①上方作图痕迹是作线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可推导AD=CD及对应角度；②下方作图痕迹是作∠ABC的角平分线，根据角平分线定义可推导∠ABP=∠CBP。再结合等腰△ABC的已知角度，先算出底角∠ABC、∠ACB的度数，依次验证各选项结论是否成立即可。
【解析】
已知在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=40°$，根据等腰三角形两底角相等可得：
$∠ABC=∠ACB=\frac{180°-40°}{2}=70°$
1. 验证A选项：上方作图为AC的垂直平分线，点D在AC的垂直平分线上，因此$AD=CD$，A选项结论正确；
由$AD=CD$可得$∠ACD=∠A=40°$，因此$∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°$。
2. 验证B选项：下方作图为∠ABC的角平分线，BP是∠ABC的平分线，因此$∠ABP=∠CBP$，B选项结论正确；
由角平分线性质可得$∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
3. 验证C选项：在△BPC中，根据三角形内角和为180°，可得$∠BPC=180°-∠PBC-∠BCD=180°-35°-30°=115°$，C选项结论正确。
4. 验证D选项：$∠PBC=35°$，$∠A=40°$，显然$∠PBC≠∠A$，D选项结论错误。
本题要求选结论错误的选项，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作图的识别，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先准确判断尺规作图得到的是垂直平分线和角平分线，再结合等腰三角形性质、三角形内角和定理逐步推导角度即可，需要注意题目要求选择错误结论，避免审题失误。
【难度系数】
0.7

5.(模型观念)如图所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=2AC$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$.求证:点$D$在线段$AB$的垂直平分线上.

5.过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°,
∵∠C=90°,
∴∠AED=∠C=90°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,在△AED和△ACD中,$\begin{cases} ∠AED=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,
∵AB=2AC,
∴AB=2AE,
∴BE=AE,又
∵DE⊥AB,
∴DE是线段AB的垂直平分线,
∴点D在线段AB的垂直平分线上

【分析】
要证明点D在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定思路，可先构造过D且垂直于AB的线段，证明该线段的垂足是AB的中点。已知AD是∠BAC的角平分线，且∠C为直角，因此我们过D作DE⊥AB于E，先利用角平分线条件证明△AED和△ACD全等，得到AE=AC，再结合AB=2AC的条件推出E是AB中点，即可证明DE是AB的垂直平分线，进而得到结论。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AED=∠C=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，
$\begin{cases} ∠AED=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS)，
∴AE=AC，
∵AB=2AC，
∴AB=2AE，即E为AB的中点，
又
∵DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴点D在线段AB的垂直平分线上。
【答案】
过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°,
∵∠C=90°,
∴∠AED=∠C=90°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,在△AED和△ACD中,$\begin{cases} ∠AED=∠C, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC,
∵AB=2AC,
∴AB=2AE,
∴BE=AE,又
∵DE⊥AB,
∴DE是线段AB的垂直平分线,
∴点D在线段AB的垂直平分线上
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形判定、垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合角平分线的特征构造辅助线，通过全等三角形得到线段等量关系，再结合垂直平分线的判定定理得出结论，能够有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

6.(新考向)如图,在$△ ABC$中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若$AB=5$,则$△ CMN$的周长为;
(2)若$∠ MFN=70°$,求$∠ MCN$的度数.

6.(1)5
(2)
∵∠MFN=70°,
∴∠FMN+∠FNM=180°-∠MFN=110°,
∴∠AMD+∠BNE=∠FMN+∠FNM=110°,
∴∠A+∠B=180°-(∠AMD+∠BNE)=70°,
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠A=∠MCA,∠B=∠NCB,
∴∠MCN=180°-(∠A+∠B+∠MCA+∠NCB)=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°

【分析】
(1) 要求△CMN的周长，首先观察已知条件：DM、EN分别是AC、BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得MA=MC、NB=NC，将△CMN的周长转化为MA+MN+NB，恰好等于AB的长度，代入AB=5即可直接求解。
(2) 要求∠MCN的度数，先从已知∠MFN=70°入手：先在△MFN中利用三角形内角和求出∠FMN+∠FNM的度数，结合对顶角相等得到∠AMD+∠BNE的度数；再根据DM⊥AC、EN⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠A+∠B的度数；最后结合MA=MC、NB=NC的等边对等角性质，得到∠A=∠MCA、∠B=∠NCB，利用三角形内角和定理即可算出∠MCN的度数。
【解析】
(1)
∵DM垂直平分AC，EN垂直平分BC
∴MA=MC，NB=NC
∴△CMN的周长=CM + MN + CN = MA + MN + NB = AB
∵AB=5
∴△CMN的周长为5
(2)
∵∠MFN=70°，
∴∠FMN+∠FNM=180°-∠MFN=110°，
∵∠AMD与∠FMN是对顶角，∠BNE与∠FNM是对顶角，
∴∠AMD+∠BNE=∠FMN+∠FNM=110°，
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠A=90°-∠AMD，∠B=90°-∠BNE，
∴∠A+∠B=180°-(∠AMD+∠BNE)=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠A=∠MCA，∠B=∠NCB，
∴∠MCN=180°-(∠A+∠B+∠MCA+∠NCB)=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°
【答案】
(1) 5；(2) 40°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是轴对称章节的典型综合题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质完成线段、角的等量转化，第二问需要理清多个角之间的数量关系，能较好地考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7