5.如图，AB//CD，AB＝CD，AD，BC交于点O，BE//CF，BE，CF分别交AD于点E，F.
（1）求证：△ABO≌△DCO；
（2）求证：BE＝CF.

证明：(1)
∵AB//CD,
∴∠A=∠D,∠ABO=∠DCO.在△ABO和△DCO中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DC, \\ ∠ABO=∠DCO, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(ASA).(2)
∵△ABO≌△DCO,
∴BO=CO.
∵BE//CF,
∴∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC.在△OBE和△OCF中,$\begin{cases} ∠OBE=∠OCF, \\ ∠OEB=∠OFC, \\ BO=CO, \end{cases}$
∴△OBE≌△OCF(AAS).
∴BE=CF.

【分析】
（1）要证明△ABO≌△DCO，先梳理已知条件：已知AB//CD、AB=CD。首先根据平行线的性质可得两组内错角相等：∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，结合已知的AB=CD，刚好满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明BE=CF，可通过证明BE、CF所在的△OBE和△OCF全等，利用全等三角形对应边相等的性质得到结论。首先由（1）的全等结论可推出BO=CO，再结合BE//CF的条件，根据平行线性质得到两组内错角相等：∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC，满足AAS全等判定条件，证明△OBE≌△OCF后即可推出BE=CF。
【解析】
(1)
∵AB//CD,
∴∠A=∠D,∠ABO=∠DCO.
在△ABO和△DCO中,
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DC, \\ ∠ABO=∠DCO, \end{cases}$
∴△ABO≌△DCO(ASA).
(2)
∵△ABO≌△DCO,
∴BO=CO.
∵BE//CF,
∴∠OBE=∠OCF,∠OEB=∠OFC.
在△OBE和△OCF中,
$\begin{cases} ∠OBE=∠OCF, \\ ∠OEB=∠OFC, \\ BO=CO, \end{cases}$
∴△OBE≌△OCF(AAS).
∴BE=CF.
【答案】
(1) 已证△ABO≌△DCO；(2) 已证BE=CF，证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题，解题核心是结合平行线性质得到相等的角，再匹配已知边的条件选择合适的全等判定定理完成证明，是全等三角形应用的典型题型，需要熟练掌握全等判定定理和平行线性质的结合运用。
【难度系数】
0.8

类型4 一线三等角模型
| 模型呈现 | 基本结论 |
| --- | --- |
| （图：△ABC与△CDE，点B、C、D共线，∠B=α，∠ACE=α，∠D=α，标注：(α可为锐角、直角或钝角)） | 已知:如图,$∠ B=∠ ACE=∠ D=α$,$AB=CD$ 或 $BC=$ 或 $AC=$. 结论:$△ ABC≌△ CDE$ |
| 图①（一线三垂直图形：△ABC，∠B=90°，AC与BE交于F，∠AFB=90°；△BDE，∠D=90°），图②（△ABE，∠B=90°，AE与BC交于E，∠BED=90°；△BCD，∠D=90°），标注：一线三垂直 | 已知:如图,$∠ ABC=∠ AFE=∠ D=90°$,$AB=BD$ 或 $BC=$ 或 $AC=$. 结论:$△ ABC≌△ BDE$; 已知:如图②,$∠ ABC=∠ AED=∠ D=90°$,$AB=BC$ 或 $BE=$ 或 $AE=$. 结论:$△ ABE≌△ BCD$ |

DE CE DE BE CD BD

【分析】
本题考查一线三等角全等模型的判定条件，解题思路如下：
1. 先利用平角定义和三角形内角和性质，推导两个三角形的另一组对应角相等：三个相等的角在同一直线上，可得两个三角形已有两组角对应相等，只需补充任意一组对应边相等即可判定全等。
2. 通用一线三等角模型：先证得∠A=∠ECD，结合已知∠B=∠D，要判定△ABC≌△CDE，除AB=CD外，还可补充夹边BC=对应边DE，或等边AC=对应边CE。
3. 一线三垂直是α=90°的特殊一线三等角：
图①：先证∠A=∠EBD，结合∠ABC=∠D=90°，要判定△ABC≌△BDE，除AB=BD外，还可补充BC=对应边DE，或AC=对应边BE。
图②：先证∠A=∠CBD，结合∠ABE=∠D=90°，要判定△ABE≌△BCD，除AB=BC外，还可补充BE=对应边CD，或AE=对应边BD。
【解析】
1. 第一个通用一线三等角模型：
已知$∠ B=∠ ACE=∠ D=α$，
∵$∠ ACB+∠ ACE+∠ ECD=180°$，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
∴$∠ A=∠ ECD$，结合$∠ B=∠ D$，要使$△ ABC≌△ CDE$，可补充$AB=CD$或$BC=DE$或$AC=CE$。
2. 图①一线三垂直模型：
已知$∠ ABC=∠ D=90°$，
∵$∠ A+∠ ACB=90°$，$∠ EBD+∠ ACB=90°$，
∴$∠ A=∠ EBD$，结合$∠ ABC=∠ D=90°$，要使$△ ABC≌△ BDE$，可补充$AB=BD$或$BC=DE$或$AC=BE$。
3. 图②一线三垂直模型：
已知$∠ ABC=∠ D=90°$，
∵$∠ A+∠ AEB=90°$，$∠ CBD+∠ AEB=90°$，
∴$∠ A=∠ CBD$，结合$∠ ABE=∠ D=90°$，要使$△ ABE≌△ BCD$，可补充$AB=BC$或$BE=CD$或$AE=BD$。
【答案】
DE CE DE BE CD BD
【知识点】
一线三等角模型；全等三角形判定
【点评】
一线三等角是全等三角形的常见几何模型，其中一线三垂直属于考试高频考点，熟练掌握该模型的角相等推导逻辑和全等判定条件，可快速解决同类几何证明题，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

6. 一题多变思维延伸 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$A$，$E$三点在直线$m$上，且$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$.若$DE=10$，$BD=3$，求$CE$的长.

解:
∵∠AEC=∠BAC=α,
∴∠ACE+∠CAE=∠BAD+∠CAE=180°-α.
∴∠BAD=∠ACE.在△BAD和△ACE中,
∵$\begin{cases} ∠BDA=∠AEC, \\ ∠BAD=∠ACE, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△BAD≌△ACE(AAS).
∴CE=AD,AE=BD=3.
∵DE=10,
∴CE=AD=DE-AE=7.

【分析】
本题要求CE的长度，已知AB=AC、多个等角及DE、BD的长度，解题思路如下：首先结合已知的等角条件，利用三角形内角和与平角的性质，推导得到△BAD和△ACE的两组对应角相等；其次结合已知的AB=AC，用AAS判定两个三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，将CE转化为AD，再结合DE和BD的长度计算AD的长度，即可得到CE的长。
【解析】
∵∠AEC=∠BAC=α，
在△ACE中，根据三角形内角和定理可得∠ACE+∠CAE=180°-α，
又
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°（平角的定义），即∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠BAD=∠ACE。
在△BAD和△ACE中，
$\begin{cases} ∠BDA=∠AEC, \\ ∠BAD=∠ACE, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△BAD≌△ACE（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，可得CE=AD，AE=BD=3。
∵DE=10，
∴CE=AD=DE-AE=10-3=7。
【答案】
7
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是“一线三等角”全等模型的典型应用，解题核心是通过角的和差关系推导得到相等的对应角，进而证明三角形全等，再通过全等的性质实现线段的等量转换求解，熟练掌握常见全等模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

【变式题】本质不变，一线三等角中的等角：
钝角→直角
在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，分别过点$B$，$C$向过点$A$的直线作垂线，垂足分别为$E$，$F$.
(1)如图①，若过点$A$的直线与斜边$BC$不相交，求证：$EF=BE+CF$；
(2)如图②，若过点$A$的直线与斜边$BC$相交，其他条件不变，且$BE=10$，$CF=3$，则线段$EF$的长为.

(1)证明:
∵BE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠BEA=∠AFC=90°=∠BAC.
∴∠BAE+∠CAF=∠ACF+∠CAF=90°.
∴∠BAE=∠ACF.在△ABE和△CAF中,$\begin{cases} ∠BEA=∠AFC, \\ ∠BAE=∠ACF, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(AAS).
∴AE=CF,BE=AF.
∴EF=AF+AE=BE+CF.(2)解:7

【分析】
(1) 要证明$EF=BE+CF$，观察可得$EF$可拆分为$AE+AF$，因此只需证明$BE=AF$、$CF=AE$即可。已知$BE$、$CF$均垂直于过$A$的直线，且$∠ BAC=90°$，可通过“同角的余角相等”得到$∠ BAE=∠ ACF$，结合$AB=AC$的条件证明$△ ABE≌△ CAF$，得到对应边相等后即可完成线段转化，证明结论。
(2) 图②的解题思路与图①一致，先证明$△ ABE≌△ CAF$，得到$BE=AF$、$AE=CF$，此时$EF=AF-AE$，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE⊥ EF,CF⊥ EF$，
$\therefore ∠ BEA=∠ AFC=90°=∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAE+∠ CAF=90°$，$∠ ACF+∠ CAF=90°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ ACF$。
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ BEA=∠ AFC \\∠ BAE=∠ ACF \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CAF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=CF,BE=AF$，
$\therefore EF=AF+AE=BE+CF$。
(2) 解：
$\because BE⊥ AF,CF⊥ AF$，
$\therefore ∠ BEA=∠ AFC=90°=∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAE+∠ CAF=90°$，$∠ ABE+∠ BAE=90°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ ABE$。
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ BEA=∠ AFC \\∠ ABE=∠ CAF \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CAF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=CF=3,BE=AF=10$，
$\therefore EF=AF-AE=10-3=7$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形的典型应用，属于一线三等角（直角型）模型，解题核心是利用直角的性质推导相等的角，证明三角形全等后将待求线段转化为已知线段的和或差，熟练掌握该模型可大幅提升同类几何题的解题效率。
【难度系数】
0.7