1. 如图，在$△ ABC$中，$D$为$AC$的中点，连接$BD$。若$AB=10$，$BC=6$，求$BD$长的取值范围。

1.解:延长BD至点E,使ED=BD,连接CE.
∵D为AC的中点,
∴AD=CD.在△ABD和△CED中,
∵$\begin{cases} BD=ED, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED(SAS).
∴CE=AB=10.在△BCE中,CE−BC＜BE＜CE+BC,即10−6＜BE＜10+6.
∴4＜BE＜16.
∴4＜2BD＜16.
∴2＜BD＜8.

【分析】
要求中线BD的取值范围，已知AB、BC的长度，但三条线段未在同一个三角形中，无法直接使用三角形三边关系求解。此时可采用倍长中线的辅助线作法：延长BD至E使DE=BD，构造全等三角形，将AB转化为与BC、BE同属一个三角形的边CE，再利用三角形三边关系求出BE的取值范围，最终推导得到BD的取值范围。
【解析】
解：延长BD至点E，使ED=BD，连接CE。
∵D为AC的中点，
∴AD=CD。
在△ABD和△CED中，
$\begin{cases} BD=ED, \\ ∠ADB=∠CDE, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CED(SAS)。
∴CE=AB=10。
在△BCE中，根据三角形三边关系可得：$CE-BC＜BE＜CE+BC$，即$10-6＜BE＜10+6$，
∴$4＜BE＜16$。
又
∵$BE=2BD$，
∴$4＜2BD＜16$，
解得$2＜BD＜8$。
【答案】
$2＜BD＜8$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是中线相关边长取值范围的典型题型，核心思路是通过倍长中线构造全等三角形，将分散的已知边转移到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握倍长中线的辅助线作法可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6

2. 一题多解 思维发散 如图，$AD // BC$，点E在线段AB上，$∠ ADE = ∠ CDE$，$∠ DCE = ∠ BCE$. 求证：$CD = AD + BC$.
证法一(截长法):在CD上取点F,使$FC=BC$,连接EF.(请将证明过程补充完整)
证法二(补短法):延长DA到点M,使$MD=CD$,连接EM.(请将证明过程补充完整)

2. 证法一:证明:在△BCE和△FCE中,
∵$\begin{cases} BC=FC, \\ ∠BCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△BCE≌△FCE(SAS).
∴∠B=∠CFE.
∵AD//BC,
∴∠A+∠B=180°.
∵∠CFE+∠DFE=180°,
∴∠A=∠DFE.在△ADE和△FDE中,
∵$\begin{cases} ∠A=∠DFE, \\ ∠ADE=∠FDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△ADE≌△FDE(AAS).
∴AD=FD.
∴CD=FD+FC=AD+BC. 证法二:证明:在△DME和△DCE中,
∵$\begin{cases} MD=CD, \\ ∠MDE=∠CDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△DME≌△DCE(SAS).
∴ME=CE,∠M=∠DCE.
∵∠DCE=∠BCE,
∴∠M=∠BCE.
∵AD//BC,
∴∠MAE=∠B.在△AME和△BCE中,
∵$\begin{cases} ∠M=∠BCE, \\ ∠MAE=∠B, \\ ME=CE, \end{cases}$
∴△AME≌△BCE(AAS).
∴AM=BC.
∴CD=MD=AD+AM=AD+BC.

【分析】
证明线段和差关系通常采用截长补短法：
1. 截长法思路：已知辅助线是在CD上取点F使FC=BC，先利用CE平分∠BCE、公共边CE，证△BCE和△FCE全等，得到角相等，再结合AD//BC的同旁内角互补性质，推导△ADE和△FDE的等角条件，证这两个三角形全等得到AD=FD，即可得CD=FD+FC=AD+BC。
2. 补短法思路：已知辅助线是延长DA到M使MD=CD，先利用DE平分∠ADE、公共边DE，证△DME和△DCE全等，得到边和角相等，再结合CE平分∠DCE、AD//BC的角相等性质，证△AME和△BCE全等得到AM=BC，即可得CD=MD=AD+AM=AD+BC。
【解析】
证法一（截长法）：
在△BCE和△FCE中，
∵$\begin{cases} BC=FC, \\ ∠BCE=∠FCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△BCE≌△FCE(SAS)，
∴∠B=∠CFE。
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
又
∵∠CFE+∠DFE=180°，
∴∠A=∠DFE。
在△ADE和△FDE中，
∵$\begin{cases} ∠A=∠DFE, \\ ∠ADE=∠FDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△ADE≌△FDE(AAS)，
∴AD=FD，
∴CD=FD+FC=AD+BC。
证法二（补短法）：
在△DME和△DCE中，
∵$\begin{cases} MD=CD, \\ ∠MDE=∠CDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴△DME≌△DCE(SAS)，
∴ME=CE，∠M=∠DCE。
∵∠DCE=∠BCE，
∴∠M=∠BCE。
∵AD//BC，
∴∠MAE=∠B。
在△AME和△BCE中，
∵$\begin{cases} ∠M=∠BCE, \\ ∠MAE=∠B, \\ ME=CE, \end{cases}$
∴△AME≌△BCE(AAS)，
∴AM=BC，
∴CD=MD=AD+AM=AD+BC。
【答案】
CD=AD+BC，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行线的性质、截长补短法
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，通过截长、补短两种思路构造全等三角形，将分散的线段关系转化为可直接推导的相等关系，有助于锻炼几何辅助线构造能力和全等证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.6