1[2026北京西城区期中，中]定义:等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.例如一个等腰三角形的腰长为2 cm，底边长为3 cm，则这个等腰三角形的“优美比”为$\frac{2}{3}$.若等腰三角形ABC的周长为13 cm，AB=5 cm，则它的“优美比”为.

1.$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{5}$
【解析】根据题意得,等腰三角形ABC的周长为13 cm,AB=5 cm. 当AB为腰时,另一腰长也为5 cm,底边长为13-2×5=3(cm),且3+5＞5,所以“优美比”为$\frac{5}{3}$. 当AB为底边时,腰长为$\frac{13-5}{2}=4$(cm),且4+4＞5,所以“优美比”为$\frac{4}{5}$. 故答案为$\frac{5}{3}$或$\frac{4}{5}$.

2[2026浙江杭州期中，中]等腰三角形中，一个内角比另一个内角的2倍还多10°，则该等腰三角形顶角的度数是。

2.32°或95°
【解析】设等腰三角形的底角度数为$α$,顶角度数为$β$. 当$β=2α+10°$时,则$2α+β=2α+(2α+10°)=180°$,解得$α=42.5°$,所以$β=95°$,此时顶角的度数为95°;当$α=2β+10°$时,则$2α+β=2(2β+10°)+β=180°$,解得$β=32°$,此时顶角的度数为32°. 综上所述,该等腰三角形顶角的度数为32°或95°,故答案为32°或95°.

3[中]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60°$,则等腰三角形底角的度数为 ()

A.$15°$
B.$30°$
C.$15°$或$75°$
D.$30°$或$150°$

3.C
【解析】由题意得在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,BD为腰AC上的高,$∠ ABD=60°$. 当BD在$△ ABC$内部时,如. 因为$BD⊥ AC$,所以$∠ ADB=90°$,所以$∠ BAD=90°-60°=30°$. 因为$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-30°)=75°$. 当BD在$△ ABC$外部时,如. 因为$BD⊥ AC$,所以$∠ ADB=90°$,所以$∠ BAD=90°-60°=30°$. 因为$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB$. 因为$∠ BAD=∠ ABC+∠ ACB$,所以$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ BAD=15°$. 综上所述,这个等腰三角形底角的度数为75°或15°. 故选C.

4[中]已知等腰三角形的底边长为10 cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 cm，那么这个三角形的腰长为 cm.

4.15
【解析】如,设等腰$△ ABC$的腰长是$AB=AC=x$ cm. 当$AD+AC-(BD+BC)=5$时,$\frac{1}{2}x+x-(\frac{1}{2}x+10)=5$,解得$x=15$. 长为15,15,10的线段能够组成三角形. 当$BC+BD-(AD+AC)=5$时,$10+\frac{1}{2}x-(\frac{1}{2}x+x)=5$,解得$x=5$. 长为5,5,10的线段不能组成三角形. 故这个三角形的腰长为15 cm. 故答案为15.

5[2026 黑龙江哈尔滨调研,中]在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,线段$AB$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$,交直线$AC$于点$E$,若$∠ DEA = 50°$,则$∠ BAC$的度数是.

5.40°或140°
【解析】①当点E在线段AC上时,如所示. 因为线段AB的垂直平分线DE交AB于点D,所以$∠ EDA=90°$. 又因为$∠ DEA=50°$,所以$∠ BAC=90°-∠ DEA=90°-50°=40°$. ②当点E在CA的延长线上时,如所示. 因为线段AB的垂直平分线DE交AB于点D,所以$∠ EDA=90°$. 因为$∠ DEA=50°$,所以$∠ BAC=∠ EDA+∠ DEA=90°+50°=140°$. ③当点E在AC的延长线上时,如所示,连结BE. 因为线段AB的垂直平分线DE交AB于点D,所以$∠ EDA=90°$. 又因为$∠ DEA=50°$,所以$∠ BAC=90°-∠ DEA=90°-50°=40°$. 因为$AB=AC$,所以$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-40°}{2}=70°$. 因为DE垂直平分AB,所以$EB=EA$,所以$∠ EBA=∠ EAB=40°$,这与$∠ EBA＞∠ ABC$矛盾,所以此种情况不存在. 综上所述,$∠ BAC$的度数是40°或140°. 故答案为40°或140°.

6[2025陕西西安期中,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=75°,∠ BAC=30°$.点$P$为直线$BC$上一动点,若以点$P$与$△ ABC$三个顶点中的两个顶点为顶点的三角形是等腰三角形,那么满足条件的点$P$的位置有 ()


A.4个
B.6个
C.8个
D.9个

6.C
【解析】因为在$△ ABC$中,$∠ ABC=75°$,$∠ BAC=30°$,所以$∠ ACB=180°-75°-30°=75°$. 如,当$∠ CAP_1=∠ CP_1A=\frac{1}{2}×75°=37.5°$时,$△ CAP_1$为等腰三角形. 当$∠ BAP_2=∠ BP_2A=\frac{1}{2}×(180°-75°)=52.5°$时,$△ BAP_2$为等腰三角形. 当$∠ P''AB=∠ P''BA=75°$时,$△ P''AB$为等腰三角形. 当$P_3$与C重合时,$△ ABP_3$为等腰三角形. 当$P_4$与B重合时,$△ ACP_4$为等腰三角形. 当$∠ P'AC=∠ P'CA=75°$时,$△ P'AC$为等腰三角形. 当$∠ CAP_5=∠ CP_5A=\frac{1}{2}×(180°-75°)=52.5°$时,$△ CAP_5$为等腰三角形. 当$∠ BAP_6=∠ BP_6A=\frac{1}{2}×75°=37.5°$时,$△ BAP_6$为等腰三角形. 综上,满足条件的点P的位置有8个. 故选C.

7[较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ ABC=100°$,边$BA$绕点$B$顺时针旋转$m°(0＜m＜180)$得到线段$BD$,连结$AD$,$DC$.若$△ ADC$为等腰三角形,则$m$所有可能的取值是.

7.130 或 100 或 160
【解析】由旋转的性质得$BD=AB=BC$. 因为$△ ADC$为等腰三角形,所以分三种情况:①当$DA=DC$时,易得$△ ABD≌△ CBD$,所以$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}(360°-∠ ABC)=130°$,所以$m=130$; ②当$AD=AC$时,易得$△ ABD≌△ ABC$,所以$∠ ABD=∠ ABC=100°$,所以$m=100$; ③当$CA=CD$时,易得$△ CBA≌△ CBD$,所以$∠ CBD=∠ ABC=100°$,所以$∠ ABD=360°-100°-100°=160°$,所以$m=160$. 综上所述,$m$所有可能的取值为130或100或160. 故答案为130或100或160.

8[2025贵州贵阳期末,中]如图,在$Rt△ ABC$中$(AB＞2BC)$,$∠ C = 90°$,以$BC$为边作等腰$△ BCD$,使点$D$落在$△ ABC$的边上,则点$D$的位置有 ()


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8.C
【解析】如,①以BC为腰时,以B为圆心、BC长为半径画圆,与AB有一个交点$D_1$;以C为圆心、BC长为半径画圆,与AB有一个交点,与AC有一个交点,分别为$D_2$,$D_3$. ②以BC为底时,作BC的垂直平分线,与AB有一个交点$D_4$. 综上可知,点D的位置有4个,故选C.

9[中]如图,有一个三角形纸片$ABC$,$BC$为最长边,$∠A=80°$,点$D$是$AC$边上一点,沿$BD$方向将三角形纸片剪开后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则$∠C$的度数可以是.

9.25°或40°
【解析】由题意知$△ ABD$与$△ DBC$均为等腰三角形,对于$△ ABD$可能有①$AB=BD$,此时$∠ ADB=∠ A=80°$,所以$∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-80°=100°$,所以$∠ C=\frac{1}{2}×(180°-100°)=40°$; ②$AB=AD$,此时$∠ ADB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$,所以$∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-50°=130°$,所以$∠ C=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$; ③$AD=BD$,此时$∠ ADB=180°-2×80°=20°$,所以$∠ BDC=180°-∠ ADB=180°-20°=160°$,所以$∠ C=\frac{1}{2}×(180°-160°)=10°$. 此时$∠ ABC=90°$,则AC为最长边,与BC为最长边矛盾,故舍去. 综上所述,$∠ C$的度数可以为25°或40°. 故答案为25°或40°.