1[较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$从点$B$出发沿线段$BA$移动,同时,点$Q$从点$C$出发沿线段$AC$的延长线移动,当点$P$到达点$A$时,两点同时停止移动.已知点$P,Q$移动的速度相同,$PQ$与直线$BC$相交于点$D$.
(1)如图(1),当点$P$为$AB$的中点时,试说明:$PD=QD$.
(2)如图(2),过点$P$作直线$BC$的垂线,垂足为$E$,点$P,Q$在移动的过程中,线段$BE,DE,CD$中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

1.【解】(1)过 P 点作 $PF// AC$ 交 $BC$ 于 $F$,如. 因为点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发,且速度相同,所以 $BP = CQ$. 因为 $PF// AQ$, 所以 $∠ PFB = ∠ ACB, ∠ DPF = ∠ DQC$. 因为 $AB = AC$, 所以 $∠ B=∠ ACB$, 所以 $∠ B=∠ PFB$, 所以 $BP=PF$, 所以 $PF = CQ$. 因为 $∠ PDF = ∠ QDC, ∠ DPF = ∠ DQC, PF = CQ$, 所以 $△ PFD ≌ △ QCD$, 所以 $PD=QD$.
(2)存在,$ED$ 的长度保持不变. 理由如下:
过点 $P$ 作 $PF// AQ$ 交 $BC$ 于点 $F$, 如. 同(1)可证 $PB=PF$.
因为 $PE⊥ BF$, 所以 $BE=EF$.
同(1)可证 $△ PFD≌ △ QCD$, 所以 $FD=DC$,
所以 $ED=EF+FD=BE+DC=\frac{1}{2}BC$, 所以 $ED$ 的长度为定值,即 $ED$ 的长度保持不变.

2[2025浙江衢州调研,中]如图,点D是△ABC的三个内角的平分线AD,BD,CD的交点,且AB+BD=AC.求证:∠ABC=2∠ACB.

2.【证明】如图, 在 $AC$ 上截取 $AE$, 使 $AE = AB$, 连结 $DE$, 如, 则 $AC = AE + CE = AB + CE = AB + BD$, 所以 $CE = BD$.
因为 $AD,BD,CD$ 分别平分 $∠ BAC, ∠ ABC, ∠ ACB$, 所以 $∠ DAB = ∠ DAE, ∠ ABC = 2∠ ABD, ∠ ACB = 2∠ ACD$.
又因为 $AD=AD$, 所以 $△ ABD ≌ △ AED$, 所以 $BD = DE, ∠ ABD = ∠ AED$, 所以 $DE = CE$, 所以 $∠ EDC = ∠ ECD$, 所以 $∠ ABD = ∠ AED = ∠ EDC + ∠ ECD = 2∠ ECD = ∠ ACB$, 所以 $∠ ABC = 2∠ ACB$.

3[2025河南郑州质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=3∠ C$,$AD$平分$∠ BAC$,$BE ⊥ AD$于$E$,求证:$BE=\dfrac{1}{2}(AC-AB)$.(提示:延长$BE$交$AC$于点$F$)

3.【证明】如图, 延长 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$. 因为 $BF ⊥ AD$, 所以 $∠ AEB = ∠ AEF = 90°$. 因为 $AD$ 平分 $∠ BAC$, 所以 $∠ BAE = ∠ FAE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ AFE$ 中, $\begin{cases}∠ AEB = ∠ AEF, \\ AE = AE, \\ ∠ BAE = ∠ FAE,\end{cases}$
所以 $△ ABE ≌ △ AFE$ (ASA), 所以 $∠ ABF = ∠ AFB, AB = AF, BE = EF$. 因为 $∠ C + ∠ CBF = ∠ AFB = ∠ ABF, ∠ ABF + ∠ CBF = ∠ ABC = 3∠ C$, 所以 $∠ C + 2∠ CBF = 3∠ C$, 所以 $∠ CBF = ∠ C$,
所以 $BF = CF$, 所以 $BE = \frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}CF$. 因为 $CF = AC - AF = AC - AB$, 所以 $BE = \frac{1}{2}(AC - AB)$. 如

4[2026浙江温州期中，中]如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD。若AC=9，BC=6，则BD的长为。

4.$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$ 【解析】如图, 延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$. 因为 $CD$ 平分 $∠ ACB, BD ⊥ CD$, 所以易得 $CE = BC = 6$, 所以 $△ BCE$ 为等腰三角形, 所以 $BD = DE$. 因为 $∠ A = ∠ ABD$, 所以 $AE = BE$. 因为 $AC = 9$, 所以 $AE = AC - CE = 3$, 所以 $BE = 3$, 所以 $BD = \frac{BE}{2} = \frac{3}{2}$, 故答案为 $\frac{3}{2}$. 如