1 下列命题的逆命题是真命题的是 ()

A.若 $ a = b $，则 $ |a| = |b| $
B.同位角相等，两直线平行
C.对顶角相等
D.若 $ a＞0, b＞0 $，则 $ a+b＞0 $

【解析】A选项，“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|，则a=b”，假设a=2,b=-2，则|a|=|b|，但a≠b，所以逆命题是假命题，故不符合题意；B选项，“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”，逆命题是真命题，故符合题意；C选项，“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，故不符合题意；D选项，“若a＞0,b＞0，则a+b＞0”的逆命题是“若a+b＞0，则a＞0,b＞0”，假设a=5,b=-2，则a+b=3＞0，但a＞0,b＜0，所以逆命题是假命题，故不符合题意. 故选B.

2[2026山东潍坊调研]下列说法中正确的个数是（）
①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；③假命题的逆命题是真命题；④每个定理都有逆定理；⑤每个定理一定有逆命题；⑥命题“若$a=b$，则$a^2=b^2$”的逆命题是假命题，可举反例$a=b=0$.

A.1
B.2
C.3
D.4

【解析】每个命题都有逆命题，所以①正确；真命题的逆命题不一定是真命题，所以②不正确；假命题的逆命题不一定是真命题，所以③不正确；每个定理都有逆命题，但不一定是真命题，所以④不正确，⑤正确；命题“若a=b，则$a^2=b^2$”的逆命题是“若$a^2=b^2$，则a=b”，是假命题，可举反例a=1,b=-1，则a≠b，所以⑥不正确. 所以正确的有2个. 故选B.

3[2026浙江绍兴期中]请写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：。

【解析】原命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，则交换条件和结论后，得到逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，故答案为有两个角相等的三角形是等腰三角形.
关键点拨
利用等量代换得出∠CBF=∠C是解题的关键.
易错警示
注意写逆命题时不是简单的条件和结论互换，本题很容易写成“两个底角相等的三角形是等腰三角形”，但这句话是错的，因为在条件里面出现了“底角”，但是底角是等腰三角形的特有称呼，所以一旦在条件里面涉及了底角，就已经承认它是等腰三角形了，结论就没有意义，所以这个题目的答案为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.

4[2025福建厦门期中]小明在学习等腰三角形的相关知识时,发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系.由此,爱动脑的小明进行了如下思考:“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题,即:
(1)等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线;(2)等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线;(3)……
由这些真命题,小明得到“互逆”之后的新命题,即:
Ⅰ.如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线,那么这个三角形是等腰三角形;Ⅱ.……
(1)请你根据前面的命题(2)写出小明猜想的命题Ⅱ:;
(2)小明认为如果这些新命题是真命题,那么就可以作为等腰三角形的判定方法,于是小明
对命题进行证明,他把命题Ⅰ根据图(1)写出了已知、求证.
命题Ⅰ:已知:在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,AD⊥BC.求证:$△ ABC$是等腰三角形.
命题Ⅱ:.
①请你根据图(2)写出命题Ⅱ的几何语言;
②命题Ⅰ、Ⅱ是否都为真命题?如果不是,请说明理由;如果是,请帮助小明进行证明.

(1)如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线,那么这个三角形是等腰三角形
【解】(2)①命题Ⅱ:已知:在△ABC中,AD是△ABC的中线,AD⊥BC. 求证:△ABC是等腰三角形.
②命题Ⅰ、Ⅱ都是真命题. 证明如下:命题Ⅰ:因为AD平分∠BAC,所以∠BAD = ∠CAD. 因为AD ⊥ BC, 所以 ∠ADB = ∠ADC = 90°. 因为∠BAD=∠CAD, AD = AD, ∠ADB = ∠ADC, 所以 △ABD ≌ △ACD (ASA), 所以 AB = AC, 所以△ABC是等腰三角形.
命题Ⅱ:因为AD是△ABC的中线,所以BD = CD. 因为AD ⊥ BC,所以∠ADB = ∠ADC = 90°. 因为AD=AD, ∠ADB = ∠ADC, BD = CD, 所以△ABD ≌ △ACD (SAS), 所以 AB = AC, 所以△ABC是等腰三角形.

5[2026江西南昌期中]如图，已知线段AB与线段AB上方一点C，分别以点A，B为圆心，AC，BC长为半径画弧，两弧在线段AB下方交于点D，连结AC，BC，AD，BD，CD，若AB=10，四边形ADBC的面积为65，则CD的长为（）

A.6.5
B.10
C.13
D.26

【解析】如图,设AB与CD交于点M. 由题可知 AC=AD,BC=BD,所以AB垂直平分CD,所以$CM=DM=\frac{1}{2}CD$,所以$S_{四边形ADBC}=S_{△ACB}+S_{△ADB}=\frac{1}{2}AB·CM+\frac{1}{2}AB·DM=AB·CM$. 因为AB = 10,四边形ADBC的面积为65,所以65 = 10 · CM,所以$CM=\frac{13}{2}$,所以$CD=2×\frac{13}{2}=13$. 故选C.

6 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，点E，F分别在AB，AC上，$AE=AF$，连结DE，DF，请判断线段AD所在直线是否为线段EF的垂直平分线，如果是，给予证明；如果不是，请说明理由。

【解】线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线. 证明如下:
因为AD为∠BAC的平分线,所以∠EAD=∠FAD.
在△AED与△AFD中,
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
所以△AED≌△AFD(SAS),所以DE=DF,所以点D在线段EF的垂直平分线上.
又因为AE=AF,所以点A在线段EF的垂直平分线上,所以线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线.