1[2026 浙江衢州期中]如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°, ∠ B=28°$, 根据尺规作图的痕迹,得 $∠ ADE$ 的度数是 ()

A.$52°$
B.$62°$
C.$59°$
D.$57°$

（第1题图）
（第3题图）

1.C 【解析】因为在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,所以∠BAC=90°-∠B=62°.由尺规作图的痕迹可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,所以∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=31°,∠AED=90°,所以∠ADE=90°-∠BAD=59°.故选C.

2[2025湖北武汉期中]在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B=30°$，则$∠ A=$。

2.60° 【解析】在△ABC中,∠C=90°,所以∠A+∠B=90°.又因为∠A-∠B=30°,所以∠A=60°,∠B=30°,故答案为60°.

3 [2025 浙江杭州期中]如图，$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ BCD=36°$，$∠ CEA=70°$，则$∠ EAB=$$°$。

3.16 【解析】因为∠ACB=90°,∠BCD=36°,所以∠ACD=90°-36°=54°.因为CD⊥AB于点D,所以∠ADC=90°,所以∠CAD=90°-54°=36°.因为∠CEA=70°,所以∠CAE=90°-70°=20°,所以∠EAB=∠CAD-∠CAE=36°-20°=16°.故答案为16.

4 如图,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中,OP长度的变化情况是 ()

A.不断增大
B.不断减小
C.先减小后增大
D.不变

(第4题图) (第5题图)

4.D 【解析】因为∠AOB=90°,P为AB的中点,所以$OP=\frac{1}{2}AB$,即在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中,OP的长度始终保持不变.故选D.

5 如图,四边形$ABCD$中,$∠ABC=∠ADC=90°$,点$E$是$AC$的中点,连结$BE$,$BD$,$DE$.当$∠BAD=$$°$时,$△BED$是等腰直角三角形.

5.45 【解析】在△ABC中,∠ABC=90°,点E是AC的中点,所以$AE=BE=\frac{1}{2}AC$. 同理,$DE=\frac{1}{2}AC$,所以$AE=BE=DE$,所以$∠DAE=∠EDA$,$∠EAB=∠EBA$. 因为$∠DAE+∠EDA=∠DEC$,$∠EAB+∠EBA=∠BEC$,所以$∠DAB=\frac{1}{2}∠DEB$. 因为△BED是等腰直角三角形,所以$∠DEB=90°$,所以$∠BAD=45°$.故答案为45.

6[2026江苏淮安调研]如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为点D、点E,点F为AB中点,连结EF,FD,DE.
(1)求证:EF=FD.
(2)已知∠BAC=50°,求∠ABC,∠FED的度数.

6.(1)【证明】因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,所以△ABD是直角三角形.
因为点F为AB中点,所以$FD=\frac{1}{2}AB$.
因为BE⊥AC,所以∠AEB=90°,所以△ABE是直角三角形.
因为点F为AB中点,所以$EF=\frac{1}{2}AB$,
所以EF=FD.
(2)【解】因为∠BAC=50°,AB=AC,AD⊥BC,所以$∠ABC=\frac{1}{2}×(180°-∠BAC)=65°$,BD=CD,所以∠FBE+∠DBE=65°.
因为$EF=\frac{1}{2}AB=BF$,所以∠FBE=∠FEB.
因为BE⊥AC,所以∠CEB=90°,所以△CBE是直角三角形.
因为点D为BC中点,所以$DE=\frac{1}{2}BC=BD=CD$,
所以∠DBE=∠DEB,所以∠FED=∠FEB+∠DEB=∠FBE+∠DBE=∠ABC=65°.

7 新考向 开放性试题 [2025 浙江杭州期中]同学们在做题时,经常用到“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理,下面是两种添加辅助线的证明方法,请你选择一种进行证明.
定理:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°.
求证:$BC=\frac{1}{2}AB$

方法一
证明:如图(2),延长BC至点D,使CD=BC,连结AD
方法二
证明:如图(3),在AB上截取BE=BC,连结CE

7.【解】(选择一种回答即可)选择方法一.
证明:如图(1),延长BC至点D,使CD=BC,连结AD.
因为∠ACB=90°,∠BAC=30°,所以∠B=90°-∠BAC=60°,∠ACD=180°-∠ACB=90°,所以∠ACD=∠ACB=90°. 又因为AC=AC,所以△BCA≌△DCA(SAS),所以AD=AB,所以△ABD是等边三角形,所以AB=BD. 因为$BC=CD=\frac{1}{2}BD$,所以$BC=\frac{1}{2}AB$.
选择方法二. 如图(2),在AB上截取BE=BC,连结CE.
因为∠ACB=90°,∠A=30°,所以∠B=90°-∠A=60°,所以△BCE是等边三角形,所以BC=BE=EC,∠BCE=60°,所以∠ECA=∠ACB-∠BCE=30°,所以∠ECA=∠A=30°,所以EC=EA,所以$BC=EC=BE=EA=\frac{1}{2}AB$,即$BC=\frac{1}{2}AB$.