1[2026上海静安区期末，中]如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，如果$CH$，$CM$分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（）


A.$∠ BCH=∠ ACM$
B.$∠ ACH=∠ B$
C.$∠ ACH=∠ BCM$
D.$∠ ACH=∠ MCH$

1.D 【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°.因为CH⊥AB,所以∠AHC=∠BHC=90°,所以∠B+∠BCH=90°,∠A+∠ACH=90°,所以∠A=∠BCH,∠B=∠ACH,故B选项正确. 因为CM是Rt△ABC中斜边上的中线,所以$CM=\frac{1}{2}AB=AM=BM$,所以∠A=∠ACM,∠B=∠BCM,所以∠BCH=∠ACM,故A选项正确. 因为∠B=∠BCM,∠B=∠ACH,所以∠ACH=∠BCM,故C选项正确. 因为∠A,∠AMC不一定相等,∠ACH=90°-∠A,∠MCH=90°-∠AMC,所以∠ACH=∠MCH不一定成立,故D选项错误. 故选D.

2[2025浙江宁波期中,中]在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB$的垂直平分线交直线$BC$于点$D$,若$∠ BAD - ∠ DAC=22.5°$,则$∠ B=$ ()

A.$37.5°$
B.$67.5°$
C.$37.5°$或$67.5°$
D.$30°$或$60°$

2.C 【解析】如图(1),当AB的垂直平分线交BC的延长线于点D时,连结DA. 因为D在线段AB的垂直平分线上,所以DA=DB,所以∠DBA=∠DAB. 因为∠BAD-∠DAC=22.5°,所以∠BAC=22.5°. 又因为∠ACB=90°,所以∠BAC+∠B=90°,即22.5°+∠B=90°,所以∠B=67.5°.
如图(2),当AB的垂直平分线交线段BC于点D时,连结DA. 因为D在线段AB的垂直平分线上,所以DA=DB,所以∠B=∠BAD. 因为∠BAD-∠DAC=22.5°,所以∠DAC=∠B-22.5°. 又因为∠CDA=∠BAD+∠B=2∠B,∠DAC+∠CDA=90°,所以∠B-22.5°+2∠B=90°,所以∠B=37.5°. 综上可知,∠B=37.5°或67.5°,故选C.

3[2026上海闵行区期末,中]如图,在某探究课上,老师带领同学们做了一个习题:拿两块含$45°$角的直角三角板($△ ABC,△ DEF$),将$△ DEF$的直角顶点$E$放在$△ ABC$的斜边$AB$的中点处,边$DE,FE$分别与边$AC,BC$交于点$M,N$,设$AC=BC=m$,则此时重叠的部分四边形$CMEN$的面积为.(用含$m$的代数式表示)

3.$\frac{1}{4}m^2$ 【解析】连结CE,如图所示. 因为BC=AC,∠ACB=90°,点E是斜边AB的中点,所以$CE=\frac{1}{2}AB=BE$,∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°=∠B,CE⊥AB,所以∠CEM+∠AEM=90°. 因为∠DEF=90°,所以∠AEM+∠BEN=90°,所以∠CEM=∠BEN,所以△CEM≌△BEN(ASA),所以$S_{△CEM}=S_{△BEN}$. 因为四边形CMEN的面积为△CEM和△CEN的面积和,所以$S_{四边形CMEN}=S_{△CEM}+S_{△CEN}=S_{△BEN}+S_{△CEN}=S_{△BCE}=\frac{1}{2}S_{△ACB}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{4}m^2$. 故答案为$\frac{1}{4}m^2$.

4[2026 浙江金华期中,中]在等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$是$AC$的中点，要求用尺规作图的方法在$BC$上找一点$E$，连结$DE$，使得$DE = \frac{1}{2}AC$. 现有甲、乙、丙三位同学的作法如下：

甲 乙 丙 备用图
(1)①作法正确的同学有.
②请选择你认为正确的一种作法给出证明.
(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的作法.
刷素养 走向重高

4.【解】(1)①作法正确的同学有甲、丙. 故答案为甲、丙.
②(选择其中一种作法证明即可)甲的作法证明如下:
由作图痕迹可知AE平分∠BAC. 因为AB=AC,所以AE⊥BC. 又因为点D为AC的中点,所以$DE=\frac{1}{2}AC$.
丙的作法证明如下:
如图(1),连结BF,CF. 由作图痕迹可知BF=CF,所以点F在线段BC的垂直平分线上. 因为AB=AC,所以点A在线段BC的垂直平分线上,所以AE所在的直线是BC的垂直平分线,即AE⊥BC. 又因为点D为AC的中点,所以$DE=\frac{1}{2}AC$.
(2)如图(2),以点D为圆心,AC为直径画圆,交BC于点E,则$DE=AD=CD=\frac{1}{2}AC$.

5 核心素养 模型观念 [较难]如图(1),已知锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE的中点.
(1)求证:MN⊥DE.
(2)连结DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并证明你的猜想.
(3)当∠BAC变为钝角时,如图(2),上述(1)(2)中的结论是否都成立?若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由.

5.(1)【证明】如图,连结DM,ME. 因为CD,BE分别是AB,AC边上的高,M是BC的中点,所以$DM=\frac{1}{2}BC$,$ME=\frac{1}{2}BC$,所以DM=ME.
又因为N为DE的中点,所以MN⊥DE.
(2)【解】∠DME=180°-2∠A. 证明如下:
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
因为DM=ME=BM=MC,所以∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A,
所以∠DME=180°-(∠BMD+∠CME)=180°-2∠A.
(3)(1)中的结论成立,(2)中的结论不成立. 理由如下:因为DM=ME=BM=MC,所以∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC,所以∠DME=180°-(∠BME+∠CMD)=2∠BAC-180°.