1[2026河北廊坊期中,中]如图是六个不完整的三角形的碎片,每两个碎片恰好可拼成一个完整的三角形,若拼成的三角形恰好是一个轴对称图形,则应选择 ()


A.①⑥
B.②④
C.③⑤
D.④⑥

B
【解析】与碎片②能拼成完整三角形的碎片的内角的度数为 180°-(30°+75°)=75°,碎片④中的一个角是 75°,所以碎片②和④可以拼成一个三角形,且这个三角形是等腰三角形,是轴对称图形,故②④符合题意. 与碎片⑤能拼成完整三角形的碎片的内角的度数为 180°-( 30°+ 35°)= 115°,碎片③中的一个角是 115°,所以碎片③和⑤可以拼成一个三角形,这个三角形三个角都不相等,故不是轴对称图形. 与碎片⑥能拼成完整三角形的碎片的内角的度数为 180°-(90°+63°)= 27°,碎片①中的一个角是 27°,所以碎片①和⑥可以拼成一个三角形,这个三角形三个角都不相等,故不是轴对称图形. 故选 B.

2[较难]如图所示,在$△ ABC$中,$AB=8$,点$M$是$BC$的中点,$AD$是$∠ BAC$的平分线,作$MF // AD$交$AC$于$F$,已知$CF=10$,则$AC$的长为 ()

A.12
B.11
C.10
D.9

(第2题图)
(第3题图)

A
【解析】如图,延长 FM 到 N,使 MN = MF,连结 BN,延长 MF 交 BA 的延长线于 E.
因为 M 是 BC 的中点, 所以 BM = CM. 在△BMN 和△CMF 中,
$\begin{cases} BM=CM, \\ ∠BMN=∠CMF, \\ MN=MF, \end{cases}$
所以△BMN≌△CMF(SAS),所以 BN = CF,∠N = ∠MFC. 又因为 AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD. 又因为 MF // AD, 所以∠E = ∠BAD = ∠CAD = ∠CFM = ∠AFE = ∠N, 所以 AE = AF, BN = BE, 所以 AB+AC = AB+AF+FC = AB+AE+FC = BE+FC = BN+FC = 2FC. 因为 AB = 8, CF = 10, 所以 AC = 2FC-AB = 20-8 = 12. 故选 A.

3[2025浙江杭州期末,较难]如图,$∠AOB=α$,点P是$∠AOB$内任意一点,$OP=4$ cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若$△PMN$周长的最小值是4 cm,则$α=$.

30°
【解析】如图,分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 C,D,连结 CD,分别交 OA,OB 于点 M,N,连结 OC,OD.
因为点 P 关于 OA 的对称点为 C, 所以 PM = CM, OP = OC,∠COA = ∠POA. 因为点 P 关于 OB 的对称点为 D, 所以 PN = DN, OP = OD,∠DOB = ∠POB, 所以 OC = OD = OP = 4 cm. 因为△PMN 的周长的最小值为 4 cm,PM+MN+PN = CM+MN+DN ≥ CD, 所以 OC = OD = CD = 4 cm, 所以△COD 是等边三角形, 所以∠COD = ∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB = 2∠POA+2∠POB = 2∠AOB = 60°, 所以 α = 30°. 故答案为 30°.

4[2026江苏苏州调研,较难]如图,在△ABC中,AB＞AC,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE//BC交AB于点D,交AC于点E,过点F作FH⊥BC于点H,且FH=m,△ABC的周长是n.有下列结论:
①$DE=BD+CE$;
②$AD=AE$;
③$BF=CF$;
④$∠BFC=90°+\frac{∠A}{2}$;
⑤$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}mn$.

其中正确的有.(填序号)

①④⑤
【解析】如图,
因为 DE//BC,所以∠2 = ∠5,∠4 = ∠6. 因为∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 F, 所以∠1 = ∠2,∠4 = ∠3, 所以∠5 = ∠1,∠6 = ∠3, 所以 BD = DF, FE = CE, 所以 DE = DF+FE = BD+CE, 故①正确. 因为 AB＞AC,DE // BC, 所以∠ABC ≠ ∠ACB,∠ADE ≠ ∠AED, 所以 AD ≠ AE, 故②错误. 因为∠ABC ≠ ∠ACB, 所以∠2 ≠ ∠4, 所以 BF ≠ CF, 故③错误. 因为∠BFC = 180°-( ∠2+∠4 ), 所以∠BFC = $180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB) = 180°-\frac{1}{2}(180°-∠A) = 180°-90°+\frac{∠A}{2}$, 所以∠BFC = $90°+\frac{∠A}{2}$, 故④正确. 因为∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 F,FH ⊥ BC,FH = m, 所以点 F 到边 AB,AC,BC 的距离都等于 m. 又因为△ABC 的周长是 n, 所以△ABC 的面积 = $\frac{1}{2}AB·m+\frac{1}{2}AC·m+\frac{1}{2}BC·m = \frac{1}{2}(AB+AC+BC)·m = \frac{1}{2}mn$, 故⑤正确. 故答案为①④⑤.

5[2025 浙江宁波校级期末,中]如图(1),P为∠AOB的平分线OC上一点,过点P作PD//OB交OA于点D,易得△POD为等腰三角形.
(1)【基本运用】如图(2),把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,AB'交CD于点E,△ACE是等腰三角形吗?为什么?
(2)【类比探究】如图(3),△ABC中,内角∠ABC与外角∠ACG的平分线交于点O,过点O作DO//BC分别交AB,AC于点D,E,试探究线段BD,DE,CE之间的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展提升】如图(4),四边形ABCD中,AD//BC,E为CD边的中点,AE平分∠BAD,连结BE,求证:AE⊥BE.

(1)【解】△ACE 是等腰三角形. 理由:在长方形 ABCD 中,因为 DC//AB,所以∠ACD = ∠BAC. 由折叠的性质可得∠BAC = ∠B'AC,所以∠ACD = ∠B'AC,所以 AE = CE,所以△ACE 是等腰三角形.
(2)【解】BD = DE+CE. 理由:同(1)可证△BDO 为等腰三角形, 则 BD = OD. 因为 CO 平分∠ACG,DO//BC, 所以∠OCG = ∠ECO = ∠EOC, 所以 CE = OE, 所以 BD = DO = DE+EO = DE+CE.
(3)【证明】如图,延长 AE 交 BC 的延长线于 F.
因为 AD // BC, 所以∠F = ∠DAE, ∠D = ∠ECF. 因为 AE 平分∠BAD, 所以∠BAF = ∠DAF, 所以∠BAF = ∠F, 所以 BA = BF. 因为 E 是 CD 的中点,所以 DE = CE. 在△ADE 和△FCE 中, $\begin{cases} ∠DAE=∠CFE, \\ ∠ADE=∠FCE, \\ DE=CE, \end{cases}$ 所以△ADE≌△FCE( AAS ), 所以 AE = EF, 所以点 E 是 AF 的中点,所以 BE ⊥ AE.