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17. 如图，把$△ ABC$先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到$△ A'B'C'$.
(1)画出平移后的$△ A'B'C'$，并写出点$A',B',C'$的坐标；
(2)若点$P$在$y$轴上，且$△ BCP$与$△ ABC$的面积相等，求点$P$的坐标.
(1)画出平移后的$△ A'B'C'$，并写出点$A',B',C'$的坐标；
(2)若点$P$在$y$轴上，且$△ BCP$与$△ ABC$的面积相等，求点$P$的坐标.
答案
17. (1)画图略. $A'(0,4),B'(-1,1),C'(3,1)$.
(2)点$P$的坐标为$(0,1)$或$(0,-5)$.
(2)点$P$的坐标为$(0,1)$或$(0,-5)$.
解析
【分析】
(1)解决平移类问题首先要确定原三角形三个顶点的坐标，再根据平移规则“横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减”计算平移后对应点的坐标，最后顺次连接各点即可画出平移后的图形。
(2)求点P坐标时，先计算△ABC的面积，再利用△BCP和△ABC面积相等的条件，结合点P在y轴上的特征，用坐标表示出△BCP的高，列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)首先确定原△ABC各点坐标：$A(-2,1)$，$B(-3,-2)$，$C(1,-2)$。
根据平移规则：向上平移3个单位即纵坐标加3，向右平移2个单位即横坐标加2，因此：
$A'$的坐标为$(-2+2,1+3)=(0,4)$；
$B'$的坐标为$(-3+2,-2+3)=(-1,1)$；
$C'$的坐标为$(1+2,-2+3)=(3,1)$；
顺次连接$A'$、$B'$、$C'$即可得到平移后的$△ A'B'C'$。
(2)先计算$△ ABC$的面积：
观察可得$BC$边在直线$y=-2$上，$BC$的长度$=1-(-3)=4$，点$A$到$BC$边的距离$=1-(-2)=3$，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
设点$P$坐标为$(0,y)$，$△ BCP$的底$BC$长度仍为4，点$P$到直线$BC$（$y=-2$）的距离为$|y-(-2)|=|y+2|$。
因为$S_{△ BCP}=S_{△ ABC}=6$，所以$\frac{1}{2} × 4 × |y+2|=6$，
化简得$|y+2|=3$，即$y+2=3$或$y+2=-3$，解得$y=1$或$y=-5$。
【答案】
(1)画图略，$A'(0,4),B'(-1,1),C'(3,1)$；
(2)点$P$的坐标为$(0,1)$或$(0,-5)$。
【知识点】
坐标与图形平移；三角形面积计算；平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移规则和三角形面积的计算，解题时要注意平移规则的正确应用，涉及距离计算时要注意绝对值的使用，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)解决平移类问题首先要确定原三角形三个顶点的坐标，再根据平移规则“横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减”计算平移后对应点的坐标，最后顺次连接各点即可画出平移后的图形。
(2)求点P坐标时，先计算△ABC的面积，再利用△BCP和△ABC面积相等的条件，结合点P在y轴上的特征，用坐标表示出△BCP的高，列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)首先确定原△ABC各点坐标：$A(-2,1)$，$B(-3,-2)$，$C(1,-2)$。
根据平移规则：向上平移3个单位即纵坐标加3，向右平移2个单位即横坐标加2，因此：
$A'$的坐标为$(-2+2,1+3)=(0,4)$；
$B'$的坐标为$(-3+2,-2+3)=(-1,1)$；
$C'$的坐标为$(1+2,-2+3)=(3,1)$；
顺次连接$A'$、$B'$、$C'$即可得到平移后的$△ A'B'C'$。
(2)先计算$△ ABC$的面积：
观察可得$BC$边在直线$y=-2$上，$BC$的长度$=1-(-3)=4$，点$A$到$BC$边的距离$=1-(-2)=3$，因此
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
设点$P$坐标为$(0,y)$，$△ BCP$的底$BC$长度仍为4，点$P$到直线$BC$（$y=-2$）的距离为$|y-(-2)|=|y+2|$。
因为$S_{△ BCP}=S_{△ ABC}=6$，所以$\frac{1}{2} × 4 × |y+2|=6$，
化简得$|y+2|=3$，即$y+2=3$或$y+2=-3$，解得$y=1$或$y=-5$。
【答案】
(1)画图略，$A'(0,4),B'(-1,1),C'(3,1)$；
(2)点$P$的坐标为$(0,1)$或$(0,-5)$。
【知识点】
坐标与图形平移；三角形面积计算；平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移规则和三角形面积的计算，解题时要注意平移规则的正确应用，涉及距离计算时要注意绝对值的使用，避免漏解。
【难度系数】
0.7
18. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA₁B₁,第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂,第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃.
(1)观察每次变换前后三角形的变化规律,若将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄,则点A₄的坐标是
(2)若按(1)找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAₙBₙ,则点Aₙ的坐标是
(1)观察每次变换前后三角形的变化规律,若将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄,则点A₄的坐标是
$(16,3)$
,点B₄的坐标是$(32,0)$
;(2)若按(1)找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAₙBₙ,则点Aₙ的坐标是
$(2^n,3)$
,点Bₙ的坐标是$(2^{n+1},0)$
.答案
18. (1)$(16,3)\quad (32,0)$
(2)$(2^n,3)\quad (2^{n+1},0)$
(2)$(2^n,3)\quad (2^{n+1},0)$
解析
【分析】
解决此类规律题可先从已知点的坐标入手，分别观察A系列点、B系列点的横、纵坐标变化规律：①先写出A、A₁、A₂、A₃的坐标，发现纵坐标始终不变，横坐标是2的幂次；②再写出B、B₁、B₂、B₃的坐标，发现纵坐标始终为0，横坐标也是2的幂次，最后按照规律推导A₄、B₄以及第n次变换后的点坐标即可。
【解析】
首先整理已知点的坐标：
点A系列坐标：$A(1,3)$，$A_1(2,3)$，$A_2(4,3)$，$A_3(8,3)$
观察可得：纵坐标恒为3，横坐标依次为$2^0$、$2^1$、$2^2$、$2^3$，即第$k$个A类点$A_k$的横坐标为$2^k$。
点B系列坐标：$B(2,0)$，$B_1(4,0)$，$B_2(8,0)$，$B_3(16,0)$
观察可得：纵坐标恒为0，横坐标依次为$2^1$、$2^2$、$2^3$、$2^4$，即第$k$个B类点$B_k$的横坐标为$2^{k+1}$。
(1) 当$k=4$时，$A_4$的横坐标为$2^4=16$，纵坐标为3，故$A_4(16,3)$；
$B_4$的横坐标为$2^{4+1}=32$，纵坐标为0，故$B_4(32,0)$。
(2) 变换$n$次时，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为3，故$A_n(2^n,3)$；
$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标为0，故$B_n(2^{n+1},0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(16,3)}$；$\boldsymbol{(32,0)}$
(2) $\boldsymbol{(2^n,3)}$；$\boldsymbol{(2^{n+1},0)}$
【知识点】
平面直角坐标系找规律、点的坐标特征
【点评】
本题是坐标规律探究类的典型题，解题时将横、纵坐标分开分析可大幅降低难度，重点考查学生的观察能力和归纳总结能力，掌握从特殊到一般的推导思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
解决此类规律题可先从已知点的坐标入手，分别观察A系列点、B系列点的横、纵坐标变化规律：①先写出A、A₁、A₂、A₃的坐标，发现纵坐标始终不变，横坐标是2的幂次；②再写出B、B₁、B₂、B₃的坐标，发现纵坐标始终为0，横坐标也是2的幂次，最后按照规律推导A₄、B₄以及第n次变换后的点坐标即可。
【解析】
首先整理已知点的坐标：
点A系列坐标：$A(1,3)$，$A_1(2,3)$，$A_2(4,3)$，$A_3(8,3)$
观察可得：纵坐标恒为3，横坐标依次为$2^0$、$2^1$、$2^2$、$2^3$，即第$k$个A类点$A_k$的横坐标为$2^k$。
点B系列坐标：$B(2,0)$，$B_1(4,0)$，$B_2(8,0)$，$B_3(16,0)$
观察可得：纵坐标恒为0，横坐标依次为$2^1$、$2^2$、$2^3$、$2^4$，即第$k$个B类点$B_k$的横坐标为$2^{k+1}$。
(1) 当$k=4$时，$A_4$的横坐标为$2^4=16$，纵坐标为3，故$A_4(16,3)$；
$B_4$的横坐标为$2^{4+1}=32$，纵坐标为0，故$B_4(32,0)$。
(2) 变换$n$次时，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标为3，故$A_n(2^n,3)$；
$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标为0，故$B_n(2^{n+1},0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(16,3)}$；$\boldsymbol{(32,0)}$
(2) $\boldsymbol{(2^n,3)}$；$\boldsymbol{(2^{n+1},0)}$
【知识点】
平面直角坐标系找规律、点的坐标特征
【点评】
本题是坐标规律探究类的典型题，解题时将横、纵坐标分开分析可大幅降低难度，重点考查学生的观察能力和归纳总结能力，掌握从特殊到一般的推导思路是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
