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13. 已知线段$AB=4$，$AB// x$轴，若点$A$的坐标为$(-1,2)$，且点$B$在第一象限，则点$B$的坐标为
$(3,2)$
。答案
13. $(3,2)$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据AB平行于x轴的性质，可知平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此先确定点B的纵坐标与点A相同；第二步，根据线段AB的长度为4，结合平行于x轴的两点距离等于横坐标差的绝对值，计算出点B横坐标的可能取值；第三步，结合点B在第一象限的限制条件（第一象限内点的横、纵坐标均为正数），筛选出符合要求的横坐标，最终得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵$AB// x$轴，点A的坐标为$(-1,2)$
∴点B的纵坐标与点A相等，即点B的纵坐标为2
设点B的横坐标为$x$
∵$AB=4$，平行于x轴的两点距离为横坐标差的绝对值
∴$|x - (-1)| = 4$，即$|x+1|=4$
解得$x=3$或$x=-5$
又
∵点B在第一象限，第一象限内点的横坐标＞0，纵坐标＞0
∴$x=-5$不符合要求，舍去
∴点B的坐标为$(3,2)$
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 象限内点的坐标符号
3. 平行坐标轴的两点距离计算
【点评】
本题侧重考察平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，解题时需注意题干给出的限制条件，对计算出的多解情况进行筛选，避免因忽略限制条件出现错解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据AB平行于x轴的性质，可知平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此先确定点B的纵坐标与点A相同；第二步，根据线段AB的长度为4，结合平行于x轴的两点距离等于横坐标差的绝对值，计算出点B横坐标的可能取值；第三步，结合点B在第一象限的限制条件（第一象限内点的横、纵坐标均为正数），筛选出符合要求的横坐标，最终得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵$AB// x$轴，点A的坐标为$(-1,2)$
∴点B的纵坐标与点A相等，即点B的纵坐标为2
设点B的横坐标为$x$
∵$AB=4$，平行于x轴的两点距离为横坐标差的绝对值
∴$|x - (-1)| = 4$，即$|x+1|=4$
解得$x=3$或$x=-5$
又
∵点B在第一象限，第一象限内点的横坐标＞0，纵坐标＞0
∴$x=-5$不符合要求，舍去
∴点B的坐标为$(3,2)$
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 象限内点的坐标符号
3. 平行坐标轴的两点距离计算
【点评】
本题侧重考察平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律，解题时需注意题干给出的限制条件，对计算出的多解情况进行筛选，避免因忽略限制条件出现错解。
【难度系数】
0.8
14. 在平面直角坐标系中，若$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点所连线段$AB$的中点是$M$，则点$M$的坐标为$( \dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} )$，例如：点$A(1,2),B(3,6)$，则线段$AB$的中点$M$的坐标为$( \dfrac{1+3}{2}, \dfrac{2+6}{2} )$，即$M(2,4)$。请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点$E(a-1,a),F(b,a-b)$，线段$EF$的中点$G$恰好位于$x$轴上，且到$y$轴的距离是$2$，则$2a+b$的值等于
$\dfrac{20}{3}$或$-4$
。答案
14. $\dfrac{20}{3}$或$-4$
解析
【分析】
首先利用题干给出的中点坐标公式，用含a、b的代数式表示出线段EF的中点G的坐标；再根据G在x轴上的特征（x轴上的点纵坐标为0）得到第一个关于a、b的关系式；接着根据G到y轴的距离是2，即横坐标的绝对值为2，得到第二个关系式，分两种情况求解，最后代入计算2a+b的值即可。
【解析】
根据中点坐标公式，计算线段EF的中点G的坐标：
横坐标为$\dfrac{(a-1)+b}{2}$，纵坐标为$\dfrac{a+(a-b)}{2}$
∵ 点G位于x轴上，x轴上的点纵坐标为0
∴ $\dfrac{a+(a-b)}{2}=0$，化简得$2a - b = 0$，即$b=2a$ ①
又
∵ 点G到y轴的距离是2，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值
∴ $\left|\dfrac{(a-1)+b}{2}\right|=2$，即$\dfrac{a+b-1}{2}=2$ 或 $\dfrac{a+b-1}{2}=-2$
化简得：$a+b=5$ ② 或 $a+b=-3$ ③
将①分别代入②和③求解：
情况1：代入②得$a+2a=5$，解得$a=\dfrac{5}{3}$，则$b=2×\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{3}$
此时$2a+b=2×\dfrac{5}{3}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{20}{3}$
情况2：代入③得$a+2a=-3$，解得$a=-1$，则$b=2×(-1)=-2$
此时$2a+b=2×(-1)+(-2)=-4$
【答案】
$\dfrac{20}{3}$或$-4$
【知识点】
中点坐标公式；坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于新定义结合平面直角坐标系的题型，解题关键是准确理解中点坐标公式，掌握x轴上点纵坐标为0、点到y轴的距离等于横坐标绝对值的性质，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先利用题干给出的中点坐标公式，用含a、b的代数式表示出线段EF的中点G的坐标；再根据G在x轴上的特征（x轴上的点纵坐标为0）得到第一个关于a、b的关系式；接着根据G到y轴的距离是2，即横坐标的绝对值为2，得到第二个关系式，分两种情况求解，最后代入计算2a+b的值即可。
【解析】
根据中点坐标公式，计算线段EF的中点G的坐标：
横坐标为$\dfrac{(a-1)+b}{2}$，纵坐标为$\dfrac{a+(a-b)}{2}$
∵ 点G位于x轴上，x轴上的点纵坐标为0
∴ $\dfrac{a+(a-b)}{2}=0$，化简得$2a - b = 0$，即$b=2a$ ①
又
∵ 点G到y轴的距离是2，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值
∴ $\left|\dfrac{(a-1)+b}{2}\right|=2$，即$\dfrac{a+b-1}{2}=2$ 或 $\dfrac{a+b-1}{2}=-2$
化简得：$a+b=5$ ② 或 $a+b=-3$ ③
将①分别代入②和③求解：
情况1：代入②得$a+2a=5$，解得$a=\dfrac{5}{3}$，则$b=2×\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{3}$
此时$2a+b=2×\dfrac{5}{3}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{20}{3}$
情况2：代入③得$a+2a=-3$，解得$a=-1$，则$b=2×(-1)=-2$
此时$2a+b=2×(-1)+(-2)=-4$
【答案】
$\dfrac{20}{3}$或$-4$
【知识点】
中点坐标公式；坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于新定义结合平面直角坐标系的题型，解题关键是准确理解中点坐标公式，掌握x轴上点纵坐标为0、点到y轴的距离等于横坐标绝对值的性质，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
15. 你玩过五子棋吗？它的比赛规则是:两人各拥有一种颜色的棋子,每人每次在正方形网格的格点处下一棋子,两人轮流下,只要连续的同色5个棋子先成一条直线就算胜.如图是两人玩的一盘棋,若棋盘上白棋①的坐标为$(-2,-2)$,黑棋②的坐标为$(0,0)$.
(1)请你根据题意,画出相应的平面直角坐标系；
(2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)现轮到黑棋下,要使黑棋这一步要赢,请写出这一步黑棋落子处的坐标.
15. 你玩过五子棋吗？它的比赛规则是:两人各拥有一种颜色的棋子,每人每次在正方形网格的格点处下一棋子,两人轮流下,只要连续的同色5个棋子先成一条直线就算胜.如图是两人玩的一盘棋,若棋盘上白棋①的坐标为$(-2,-2)$,黑棋②的坐标为$(0,0)$.
(1)请你根据题意,画出相应的平面直角坐标系；
(2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)现轮到黑棋下,要使黑棋这一步要赢,请写出这一步黑棋落子处的坐标.
答案
15. (1)相应的平面直角坐标系如图所示.
(2)黑棋③的坐标为$(0,2)$,白棋④的坐标为$(3,2)$.
(3)这一步黑棋落子处的坐标为$(-1,3)$或$(4,-2)$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 建立平面直角坐标系：已知黑棋②坐标为$(0,0)$，可知该点为坐标原点，结合白棋①坐标$(-2,-2)$，可确定x轴为水平向右、y轴为竖直向上，每个网格边长为1个单位长度，即可画出坐标系；2. 求点的坐标：在建立好的坐标系中，根据点所在的横、纵轴对应位置，读取横纵坐标即可得到黑棋③、白棋④的坐标；3. 确定落子位置：根据五子棋“连续5个同色棋子成一条直线即获胜”的规则，观察现有黑棋的排列，找到已有4个黑棋共线的直线，补全该直线上缺少的端点位置，即为获胜落子点。
【解析】
(1) 以黑棋②的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格的边长为1个单位长度，画出平面直角坐标系即可。
(2) 观察坐标系可得：黑棋③在原点正上方2个单位处，横坐标为0，纵坐标为2，坐标为$(0,2)$；白棋④在原点右侧3个单位、上方2个单位处，横坐标为3，纵坐标为2，坐标为$(3,2)$。
(3) 观察黑棋的分布，可发现有4个黑棋已在同一条斜线上，若要凑成连续5个同色棋子，只需在这条斜线的两个空缺端点处落子即可，对应的坐标为$(-1,3)$和$(4,-2)$，二者任选其一即可获胜。
【答案】
(1) 相应的平面直角坐标系如图所示：
(2) 黑棋③的坐标为$(0,2)$，白棋④的坐标为$(3,2)$。
(3) 这一步黑棋落子处的坐标为$(-1,3)$或$(4,-2)$。
【知识点】
平面直角坐标系的建立，点的坐标，坐标的实际应用
【点评】
本题结合五子棋的游戏场景考查平面直角坐标系的相关知识，将数学知识和生活娱乐结合，既考查了基础知识点的掌握情况，也锻炼了学生的观察能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 建立平面直角坐标系：已知黑棋②坐标为$(0,0)$，可知该点为坐标原点，结合白棋①坐标$(-2,-2)$，可确定x轴为水平向右、y轴为竖直向上，每个网格边长为1个单位长度，即可画出坐标系；2. 求点的坐标：在建立好的坐标系中，根据点所在的横、纵轴对应位置，读取横纵坐标即可得到黑棋③、白棋④的坐标；3. 确定落子位置：根据五子棋“连续5个同色棋子成一条直线即获胜”的规则，观察现有黑棋的排列，找到已有4个黑棋共线的直线，补全该直线上缺少的端点位置，即为获胜落子点。
【解析】
(1) 以黑棋②的位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格的边长为1个单位长度，画出平面直角坐标系即可。
(2) 观察坐标系可得：黑棋③在原点正上方2个单位处，横坐标为0，纵坐标为2，坐标为$(0,2)$；白棋④在原点右侧3个单位、上方2个单位处，横坐标为3，纵坐标为2，坐标为$(3,2)$。
(3) 观察黑棋的分布，可发现有4个黑棋已在同一条斜线上，若要凑成连续5个同色棋子，只需在这条斜线的两个空缺端点处落子即可，对应的坐标为$(-1,3)$和$(4,-2)$，二者任选其一即可获胜。
【答案】
(1) 相应的平面直角坐标系如图所示：
(2) 黑棋③的坐标为$(0,2)$，白棋④的坐标为$(3,2)$。
(3) 这一步黑棋落子处的坐标为$(-1,3)$或$(4,-2)$。
【知识点】
平面直角坐标系的建立，点的坐标，坐标的实际应用
【点评】
本题结合五子棋的游戏场景考查平面直角坐标系的相关知识，将数学知识和生活娱乐结合，既考查了基础知识点的掌握情况，也锻炼了学生的观察能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图，$△ A'B'C'$是$△ ABC$经过平移得到的，点$A(-4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3),△ ABC$中任意一点$P(x_1,y_1)$平移后的对应点为$P'(x_1+6,y_1+4)$。
(1)写出$△ ABC$平移的过程；
(2)写出点$A',B',C'$的坐标；
(3)求$△ A'B'C'$的面积。
(1)写出$△ ABC$平移的过程；
(2)写出点$A',B',C'$的坐标；
(3)求$△ A'B'C'$的面积。
答案
16. (1)将$△ ABC$先向右平移6个单位长度,再向上平移4个单位长度得到$△ A'B'C'$(或将$△ ABC$先向上平移4个单位长度,再向右平移6个单位长度得到$△ A'B'C'$).
(2)$A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1)$.
(3)$S_{△ A'B'C'} =\dfrac{11}{2}$.
(2)$A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1)$.
(3)$S_{△ A'B'C'} =\dfrac{11}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要确定平移过程，可根据点平移前后的坐标变化规律判断：横坐标增加对应向右平移，纵坐标增加对应向上平移，结合P到P'的坐标变化即可得出平移方式。
(2) 求平移后点的坐标，只需将A、B、C各点的横坐标加6、纵坐标加4，代入计算即可得到对应点坐标。
(3) 平移前后图形的面积不变，因此△A'B'C'的面积和△ABC的面积相等，采用割补法计算：将三角形放入刚好覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到三角形的面积。
【解析】
(1) 已知△ABC内任意一点$P(x_1,y_1)$平移后对应点为$P'(x_1+6,y_1+4)$，横坐标增加6，说明向右平移6个单位长度；纵坐标增加4，说明向上平移4个单位长度，平移顺序可互换，因此平移过程为：先将△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到△A'B'C'（或先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度）。
(2) 根据平移的坐标变化规律，各点平移后横坐标加6，纵坐标加4：
点A(-4,-1)平移后：横坐标$-4+6=2$，纵坐标$-1+4=3$，即$A'(2,3)$；
点B(-5,-4)平移后：横坐标$-5+6=1$，纵坐标$-4+4=0$，即$B'(1,0)$；
点C(-1,-3)平移后：横坐标$-1+6=5$，纵坐标$-3+4=1$，即$C'(5,1)$。
(3) 因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△A'B'C'}=S_{△ABC}$。
用割补法计算△ABC的面积：
选取覆盖△ABC的矩形，横坐标范围为-5到-1，长为$|-1-(-5)|=4$，纵坐标范围为-4到-1，宽为$|-1-(-4)|=3$，矩形面积为$4×3=12$。
矩形内除△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
① 以A、B和点(-4,-4)为顶点的三角形：底为1，高为3，面积$=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
② 以B、C和点(-1,-4)为顶点的三角形：底为4，高为1，面积$=\frac{1}{2}×4×1=2$；
③ 以A、C和点(-1,-1)为顶点的三角形：底为3，高为2，面积$=\frac{1}{2}×3×2=3$。
因此$S_{△ABC}=12-\frac{3}{2}-2-3=\frac{11}{2}$，即$S_{△A'B'C'}=\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) 将$△ ABC$先向右平移6个单位长度,再向上平移4个单位长度得到$△ A'B'C'$(或将$△ ABC$先向上平移4个单位长度,再向右平移6个单位长度得到$△ A'B'C'$)。
(2)$A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1)$。
(3)$S_{△ A'B'C'} =\dfrac{11}{2}$。
【知识点】
坐标与平移变换；点的坐标计算；割补法求面积
【点评】
本题综合考查了平移的坐标变化规律和平面直角坐标系中图形面积的计算，解题关键是掌握平移前后点的坐标变化规律，以及割补法求不规则图形面积的技巧，利用平移前后面积不变的性质可简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定平移过程，可根据点平移前后的坐标变化规律判断：横坐标增加对应向右平移，纵坐标增加对应向上平移，结合P到P'的坐标变化即可得出平移方式。
(2) 求平移后点的坐标，只需将A、B、C各点的横坐标加6、纵坐标加4，代入计算即可得到对应点坐标。
(3) 平移前后图形的面积不变，因此△A'B'C'的面积和△ABC的面积相等，采用割补法计算：将三角形放入刚好覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到三角形的面积。
【解析】
(1) 已知△ABC内任意一点$P(x_1,y_1)$平移后对应点为$P'(x_1+6,y_1+4)$，横坐标增加6，说明向右平移6个单位长度；纵坐标增加4，说明向上平移4个单位长度，平移顺序可互换，因此平移过程为：先将△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到△A'B'C'（或先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度）。
(2) 根据平移的坐标变化规律，各点平移后横坐标加6，纵坐标加4：
点A(-4,-1)平移后：横坐标$-4+6=2$，纵坐标$-1+4=3$，即$A'(2,3)$；
点B(-5,-4)平移后：横坐标$-5+6=1$，纵坐标$-4+4=0$，即$B'(1,0)$；
点C(-1,-3)平移后：横坐标$-1+6=5$，纵坐标$-3+4=1$，即$C'(5,1)$。
(3) 因为平移不改变图形的面积，所以$S_{△A'B'C'}=S_{△ABC}$。
用割补法计算△ABC的面积：
选取覆盖△ABC的矩形，横坐标范围为-5到-1，长为$|-1-(-5)|=4$，纵坐标范围为-4到-1，宽为$|-1-(-4)|=3$，矩形面积为$4×3=12$。
矩形内除△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
① 以A、B和点(-4,-4)为顶点的三角形：底为1，高为3，面积$=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
② 以B、C和点(-1,-4)为顶点的三角形：底为4，高为1，面积$=\frac{1}{2}×4×1=2$；
③ 以A、C和点(-1,-1)为顶点的三角形：底为3，高为2，面积$=\frac{1}{2}×3×2=3$。
因此$S_{△ABC}=12-\frac{3}{2}-2-3=\frac{11}{2}$，即$S_{△A'B'C'}=\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) 将$△ ABC$先向右平移6个单位长度,再向上平移4个单位长度得到$△ A'B'C'$(或将$△ ABC$先向上平移4个单位长度,再向右平移6个单位长度得到$△ A'B'C'$)。
(2)$A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1)$。
(3)$S_{△ A'B'C'} =\dfrac{11}{2}$。
【知识点】
坐标与平移变换；点的坐标计算；割补法求面积
【点评】
本题综合考查了平移的坐标变化规律和平面直角坐标系中图形面积的计算，解题关键是掌握平移前后点的坐标变化规律，以及割补法求不规则图形面积的技巧，利用平移前后面积不变的性质可简化计算。
【难度系数】
0.7
