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4.【问题初探】
（1）如图①，射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝4∠AOB，∠AOC＋2∠AOB＝180°，求∠AOC的度数.
【操作探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转9°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转4°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动.设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，求t的值.
【拓展延伸】
（3）如图③，∠AOC＝120°，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，当OP到达OC时，停止运动，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP.设OP旋转的时间为t秒，求运动过程中∠MON的度数.
说明：本题中的角都是大于0°而小于180°的角.
（1）如图①，射线OB在∠AOC内部，∠AOC＝4∠AOB，∠AOC＋2∠AOB＝180°，求∠AOC的度数.
【操作探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转9°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转4°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动.设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，求t的值.
【拓展延伸】
（3）如图③，∠AOC＝120°，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，当OP到达OC时，停止运动，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP.设OP旋转的时间为t秒，求运动过程中∠MON的度数.
说明：本题中的角都是大于0°而小于180°的角.
答案
（1）因为$∠AOC=4∠AOB$，$∠AOC+2∠AOB=180°$，所以$4∠AOB+2∠AOB=180°$. 所以$∠AOB=30°$. 所以$∠AOC=4×30°=120°$. 所以$∠AOC$的度数是$120°$.
（2）因为射线$OB$在$∠AOC$内部，$∠AOC=120°$，$∠AOB=30°$，所以$∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-30°=90°$. 若$OP$与$OC$重合，则$9t=120$，解得$t=\frac{40}{3}$，若$OQ$与$OC$重合，则$4t=90$，解得$t=\frac{45}{2}$. 当$∠POQ=10°$时，$30+4t=9t+10$或$30+4t=9t-10$，解得$t=4$或$t=8$.
（3）因为$OM$平分$∠AOP$，$ON$平分$∠COP$，所以$∠POM=∠AOM=\frac{1}{2}∠AOP$，$∠PON=∠CON=\frac{1}{2}∠COP$. 当$OP$与$OC$重合时，$15t=120$，解得$t=8$. 所以当$0＜t≤8$时，$∠MON=∠POM+∠PON=\frac{1}{2}(∠AOP+∠COP)=\frac{1}{2}∠AOC=60°$.
（2）因为射线$OB$在$∠AOC$内部，$∠AOC=120°$，$∠AOB=30°$，所以$∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-30°=90°$. 若$OP$与$OC$重合，则$9t=120$，解得$t=\frac{40}{3}$，若$OQ$与$OC$重合，则$4t=90$，解得$t=\frac{45}{2}$. 当$∠POQ=10°$时，$30+4t=9t+10$或$30+4t=9t-10$，解得$t=4$或$t=8$.
（3）因为$OM$平分$∠AOP$，$ON$平分$∠COP$，所以$∠POM=∠AOM=\frac{1}{2}∠AOP$，$∠PON=∠CON=\frac{1}{2}∠COP$. 当$OP$与$OC$重合时，$15t=120$，解得$t=8$. 所以当$0＜t≤8$时，$∠MON=∠POM+∠PON=\frac{1}{2}(∠AOP+∠COP)=\frac{1}{2}∠AOC=60°$.
