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1. 如图，线段$AB=14$，动点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线$AB$运动，$M$为$AP$的中点.
（1）出发多少秒后，$PB=2AM$？
（2）当点$P$在线段$AB$上运动时，试说明：$2BM-BP$为定值.
（3）当点$P$在$AB$的延长线上运动时，$N$为$BP$的中点，有下列两个结论：① $MN$的长度不变；② $MA+PN$的值不变. 选择一个正确的结论，并求出其值.
（第1题）
（1）出发多少秒后，$PB=2AM$？
（2）当点$P$在线段$AB$上运动时，试说明：$2BM-BP$为定值.
（3）当点$P$在$AB$的延长线上运动时，$N$为$BP$的中点，有下列两个结论：① $MN$的长度不变；② $MA+PN$的值不变. 选择一个正确的结论，并求出其值.
（第1题）答案
（1）设出发$x$秒后，$PB=2AM$. 因为$M$为$AP$的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AP$. 当点$P$在点$B$左边时，$PA=2x$，$PB=14-2x$，$AM=x$. 由题意，得$14-2x=2x$，解得$x=3.5$；当点$P$在点$B$右边时，$PA=2x$，$PB=2x-14$，$AM=x$. 由题意，得$2x-14=2x$，无解. 综上所述，出发3.5秒后，$PB=2AM$.
（2）设点$P$出发$x$秒. 因为$AM=x$，$BM=14-x$，$PB=14-2x$，所以$2BM-BP=2(14-x)-(14-2x)=14$，为定值.
（3）选①，设点$P$运动$x$秒，则$PA=2x$，$PB=2x-14$. 因为$M$为$AP$的中点，$N$为$BP$的中点，所以$PM=\frac{1}{2}PA=x$，$PN=\frac{1}{2}PB=x-7$. 所以$MN=PM-PN=x-(x-7)=7$，即$MN$的长度不变.
（2）设点$P$出发$x$秒. 因为$AM=x$，$BM=14-x$，$PB=14-2x$，所以$2BM-BP=2(14-x)-(14-2x)=14$，为定值.
（3）选①，设点$P$运动$x$秒，则$PA=2x$，$PB=2x-14$. 因为$M$为$AP$的中点，$N$为$BP$的中点，所以$PM=\frac{1}{2}PA=x$，$PN=\frac{1}{2}PB=x-7$. 所以$MN=PM-PN=x-(x-7)=7$，即$MN$的长度不变.
2. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，线段DE在线段AB上运动(点D，E不与点A，B重合，且点D在点E的左侧)，AB=15，DE=6.
(1) 当E为BC的三等分点时，求线段AD的长.
(2) 点F在线段AB上(不与点A，B，C重合)，且AF=3AD，CF=3，求线段AE的长.
(1) 当E为BC的三等分点时，求线段AD的长.
(2) 点F在线段AB上(不与点A，B，C重合)，且AF=3AD，CF=3，求线段AE的长.
答案
（1）因为$AB=15$，$AC=2BC$，所以$AC=10$，$BC=5$. 因为$E$为$BC$的三等分点，所以$CE=\frac{1}{3}BC=\frac{5}{3}$或$CE=\frac{2}{3}BC=\frac{10}{3}$. 所以$AD=AC+CE-DE=10+\frac{5}{3}-6=\frac{17}{3}$或$AD=AC+CE-DE=10+\frac{10}{3}-6=\frac{22}{3}$. 综上所述，$AD$的长为$\frac{17}{3}$或$\frac{22}{3}$.
（2）分两种情况：① 如图①，当点$F$在点$C$右侧时，因为$AC=10$，$CF=3$，所以$AF=AC+CF=10+3=13$. 因为$AF=3AD$，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$. 因为$DE=6$，所以$AE=AD+DE=\frac{31}{3}$. ② 如图②，当点$F$在点$C$左侧时，因为$AC=10$，$CF=3$，所以$AF=AC-CF=10-3=7$. 因为$AF=3AD$，所以$AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$. 所以$AE=AD+DE=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}$. 综上所述，$AE$的长为$\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$.
3. 问题情境:数学活动课上,同学们以一个固定$120°$的角$∠ AOB$和一个直角三角板为背景,探究有关角的问题,将直角三角板的$60°$角的顶点与$∠ AOB$的顶点$O$重合,$60°$角的两边记为$OC$,$OD$,其中$OE$是$∠ DOB$的平分线.
特例分析:
(1) 如图①,$∠ DOC$在$∠ AOB$的内部,若$∠ AOD=40°$,则$∠ COE$的度数为
拓展探究:
(2) 在图①的基础上,将三角板绕点$O$顺时针旋转,使得$OC$在$∠ AOB$的外部,$OD$在$∠ AOB$的内部,其余条件不变,如图②所示,蔡蔡提出如下问题,请你解答:判断$∠ AOD$和$∠ COE$之间的数量关系,并说明理由.
特例分析:
(1) 如图①,$∠ DOC$在$∠ AOB$的内部,若$∠ AOD=40°$,则$∠ COE$的度数为
20°
.拓展探究:
(2) 在图①的基础上,将三角板绕点$O$顺时针旋转,使得$OC$在$∠ AOB$的外部,$OD$在$∠ AOB$的内部,其余条件不变,如图②所示,蔡蔡提出如下问题,请你解答:判断$∠ AOD$和$∠ COE$之间的数量关系,并说明理由.
答案
（1）$20°$. 因为$∠AOB=120°$，$∠AOD=40°$，所以$∠DOB=∠AOB-∠AOD=120°-40°=80°$. 因为$OE$平分$∠DOB$，所以$∠DOE=\frac{1}{2}∠DOB=\frac{1}{2}×80°=40°$. 因为$∠DOC=60°$，所以$∠COE=∠DOC-∠DOE=60°-40°=20°$.
（2）$∠COE=\frac{1}{2}∠AOD$. 理由：设$∠AOD=α$，则$∠DOB=120°-α$. 因为$OE$平分$∠DOB$，所以$∠DOE=\frac{1}{2}∠DOB=\frac{1}{2}(120°-α)=60°-\frac{1}{2}α$. 因为$∠DOC=60°$，所以$∠COE=∠DOC-∠DOE=60°-(60°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$. 所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOD$.
（2）$∠COE=\frac{1}{2}∠AOD$. 理由：设$∠AOD=α$，则$∠DOB=120°-α$. 因为$OE$平分$∠DOB$，所以$∠DOE=\frac{1}{2}∠DOB=\frac{1}{2}(120°-α)=60°-\frac{1}{2}α$. 因为$∠DOC=60°$，所以$∠COE=∠DOC-∠DOE=60°-(60°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$. 所以$∠COE=\frac{1}{2}∠AOD$.
