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1.「2025云南中考」如图,在$△ ABC$中,已知$D,E$分别是$AB,AC$边上的点,且$DE// BC$.若$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,则$\frac{DE}{BC}=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
1.A $\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC,$
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}.$故选 A.
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}.$故选 A.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，由DE//BC可联想到平行线判定相似三角形的结论，先判断△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的$\frac{AD}{AB}$的比值，就能直接求出$\frac{DE}{BC}$的结果。
【解析】
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
又
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础题型，考查典型的A型相似模型的应用，只要掌握平行线判定相似、相似三角形对应边成比例的知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件，由DE//BC可联想到平行线判定相似三角形的结论，先判断△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的$\frac{AD}{AB}$的比值，就能直接求出$\frac{DE}{BC}$的结果。
【解析】
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
又
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础题型，考查典型的A型相似模型的应用，只要掌握平行线判定相似、相似三角形对应边成比例的知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.「2026广东高州期中」如图，$△ ABC$中，$P$为$AB$上的一点.下列四个条件：①$∠ ACP=∠ B$；②$∠ APC=∠ ACB$；③$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$；④$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$.其中添加后能判定$△ APC ∽ △ ACB$的有（
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
D
）A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
答案
2.D ①$∠ ACP=∠ B, ∠ A=∠ A,$可证$△ APC∽ △ ACB,$故①符合题意；
②$∠ APC=∠ ACB, ∠ A=∠ A,$可证$△ APC∽ △ ACB,$故②符合题意；
③$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC},∠ A=∠ A,$可证$△ APC∽ △ ACB,$故③符合题意；
④$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP},∠ A=∠ A,$不能证明$△ APC∽ △ ACB,$故④不符合题意.故选 D.
②$∠ APC=∠ ACB, ∠ A=∠ A,$可证$△ APC∽ △ ACB,$故②符合题意；
③$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC},∠ A=∠ A,$可证$△ APC∽ △ ACB,$故③符合题意；
④$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP},∠ A=∠ A,$不能证明$△ APC∽ △ ACB,$故④不符合题意.故选 D.
解析
【分析】
要判定△APC与△ACB相似，首先观察到两个三角形存在公共角∠A，结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐个验证给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析四个条件：
①已知∠ACP=∠B，又∠A是△APC和△ACB的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，故①符合题意；
②已知∠APC=∠ACB，又∠A是公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，故②符合题意；
③已知$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，且两组边的夹角∠A是公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，故③符合题意；
④已知$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$，虽然∠A是公共角，但∠A不是成比例的两组边AB、BC和AC、CP的夹角，无法证明△APC∽△ACB，故④不符合题意。
综上，①②③符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，对应边识别，公共角应用
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先找到两个三角形的公共角这个隐含条件，再结合判定定理验证给出的条件，要特别注意“两边对应成比例且夹角相等”的判定中，角必须是两组对应边的夹角，避免误用判定定理。
【难度系数】
0.7
要判定△APC与△ACB相似，首先观察到两个三角形存在公共角∠A，结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐个验证给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析四个条件：
①已知∠ACP=∠B，又∠A是△APC和△ACB的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，故①符合题意；
②已知∠APC=∠ACB，又∠A是公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，故②符合题意；
③已知$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，且两组边的夹角∠A是公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，故③符合题意；
④已知$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CP}$，虽然∠A是公共角，但∠A不是成比例的两组边AB、BC和AC、CP的夹角，无法证明△APC∽△ACB，故④不符合题意。
综上，①②③符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，对应边识别，公共角应用
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先找到两个三角形的公共角这个隐含条件，再结合判定定理验证给出的条件，要特别注意“两边对应成比例且夹角相等”的判定中，角必须是两组对应边的夹角，避免误用判定定理。
【难度系数】
0.7
3.「2026陕西西安交大附中期中」如图,已知点E和点D分别是△ABC的边CA和边BA的延长线上的点,连接ED,则添加下列条件:①∠B=∠D;②∠C=∠E;③$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$;④$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$.其中能够判定△ABC∽△ADE的有 (
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.C $\because ∠ B=∠ D,∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ABC∽ △ ADE,$故①符合题意；
$\because ∠ C=∠ E,∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ABC∽ △ ADE,$故②符合题意；
添加③不能判定$△ ABC∽ △ ADE;\because \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD},∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ABC∽ △ ADE,$故④符合题意.
综上,能够判定$△ ABC∽ △ ADE$的条件有3个,故选 C.
$\because ∠ C=∠ E,∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ABC∽ △ ADE,$故②符合题意；
添加③不能判定$△ ABC∽ △ ADE;\because \frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD},∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ABC∽ △ ADE,$故④符合题意.
综上,能够判定$△ ABC∽ △ ADE$的条件有3个,故选 C.
解析
【分析】
首先明确△ABC和△ADE中，∠BAC与∠DAE是对顶角，天然相等。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一验证4个条件：①添加∠B=∠D，结合已有的对顶角相等，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定相似；②添加∠C=∠E，同理满足AA判定，可证相似；③添加$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$时，相等的角不是这两组成比例边的夹角，不满足SAS判定，无法证明相似；④添加$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$时，成比例边的夹角正好是相等的对顶角，满足SAS判定，可证相似。最后统计符合条件的个数即可。
【解析】
由图可得∠BAC与∠DAE是对顶角，因此$\boldsymbol{∠BAC=∠DAE}$。
① 添加∠B=∠D时，两角分别相等，根据AA相似判定定理，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故①符合题意；
② 添加∠C=∠E时，两角分别相等，根据AA相似判定定理，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故②符合题意；
③ 添加$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$时，相等的∠BAC和∠DAE不是这两组成比例边的夹角，不满足相似三角形的SAS判定条件，无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$，故③不符合题意；
④ 添加$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$时，成比例的两组边的夹角为相等的∠BAC和∠DAE，根据SAS相似判定定理，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故④符合题意。
综上，能够判定$△ ABC ∽ △ ADE$的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先找到两个三角形已有的相等角，再结合给出的边角条件对应判定规则逐一验证，尤其要注意使用两边成比例判定相似时，必须保证相等的角是两组成比例边的夹角，避免混淆判定条件出现误判。
【难度系数】
0.7
首先明确△ABC和△ADE中，∠BAC与∠DAE是对顶角，天然相等。接下来结合相似三角形的判定定理，逐一验证4个条件：①添加∠B=∠D，结合已有的对顶角相等，满足“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定相似；②添加∠C=∠E，同理满足AA判定，可证相似；③添加$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$时，相等的角不是这两组成比例边的夹角，不满足SAS判定，无法证明相似；④添加$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$时，成比例边的夹角正好是相等的对顶角，满足SAS判定，可证相似。最后统计符合条件的个数即可。
【解析】
由图可得∠BAC与∠DAE是对顶角，因此$\boldsymbol{∠BAC=∠DAE}$。
① 添加∠B=∠D时，两角分别相等，根据AA相似判定定理，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故①符合题意；
② 添加∠C=∠E时，两角分别相等，根据AA相似判定定理，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故②符合题意；
③ 添加$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$时，相等的∠BAC和∠DAE不是这两组成比例边的夹角，不满足相似三角形的SAS判定条件，无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$，故③不符合题意；
④ 添加$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$时，成比例的两组边的夹角为相等的∠BAC和∠DAE，根据SAS相似判定定理，可得$△ ABC ∽ △ ADE$，故④符合题意。
综上，能够判定$△ ABC ∽ △ ADE$的条件有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先找到两个三角形已有的相等角，再结合给出的边角条件对应判定规则逐一验证，尤其要注意使用两边成比例判定相似时，必须保证相等的角是两组成比例边的夹角，避免混淆判定条件出现误判。
【难度系数】
0.7
