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1.「2026江苏无锡月考」如图，$△ ABC$中，点$D$在线段$AC$上，连接$BD$，要使$△ ABD$与$△ ABC$相似，只需添加一个条件即可，这个条件不能是 (
A.$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$
B.$∠ ADB=∠ ABC$
C.$∠ ABD=∠ C$
D.$AB^2=AD· AC$
A
)A.$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$
B.$∠ ADB=∠ ABC$
C.$∠ ABD=∠ C$
D.$AB^2=AD· AC$
答案
在△ABD与△ABC中,由于∠A=∠A,所以若添加B中条件“∠ADB = ∠ABC”或 C 中条件“∠ABD = ∠C”,则满足“两角分别相等的两个三角形相似”,可证△ABD与△ABC相似,故可添加选项 B 或 C 中的条件.
在△ABD与△ABC中,由于∠A = ∠A,所以若添加$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$,则满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,可证△ABD与△ABC相似,故可添加选项 D 中的条件.
在△ABD与△ABC中,若添加$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$,由于不能说明∠ADB=∠ABC,也不能说明三边成比例,则不能证△ABD与△ABC相似.
故不能添加选项 A 中的条件.
故选 A.
在△ABD与△ABC中,由于∠A = ∠A,所以若添加$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$,则满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,可证△ABD与△ABC相似,故可添加选项 D 中的条件.
在△ABD与△ABC中,若添加$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$,由于不能说明∠ADB=∠ABC,也不能说明三边成比例,则不能证△ABD与△ABC相似.
故不能添加选项 A 中的条件.
故选 A.
解析
【分析】
要判断哪个条件无法使△ABD与△ABC相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐一验证每个选项的条件是否符合判定要求，不符合判定规则的即为所求答案。
【解析】
解：△ABD和△ABC中，∠A是公共角，即∠A=∠A。
1. 若添加选项B的条件$∠ ADB=∠ ABC$：结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ ABD ∽ △ ACB$，不符合题意；
2. 若添加选项C的条件$∠ ABD=∠ C$：结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ ABD ∽ △ ACB$，不符合题意；
3. 若添加选项D的条件$AB^2=AD·AC$，变形可得比例式$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即公共角$∠ A$的两组夹边对应成比例，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证$△ ABD ∽ △ ACB$，不符合题意；
4. 若添加选项A的条件$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$：该比例式对应的相等角不是成比例两边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法证明△ABD与△ABC相似，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，比例式变形
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先挖掘出两个三角形共有的公共角这一隐含条件，再结合判定规则逐一排查选项，需特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，夹角必须是成比例的两条边的夹角，否则无法判定相似。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件无法使△ABD与△ABC相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐一验证每个选项的条件是否符合判定要求，不符合判定规则的即为所求答案。
【解析】
解：△ABD和△ABC中，∠A是公共角，即∠A=∠A。
1. 若添加选项B的条件$∠ ADB=∠ ABC$：结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ ABD ∽ △ ACB$，不符合题意；
2. 若添加选项C的条件$∠ ABD=∠ C$：结合公共角$∠ A=∠ A$，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可证$△ ABD ∽ △ ACB$，不符合题意；
3. 若添加选项D的条件$AB^2=AD·AC$，变形可得比例式$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即公共角$∠ A$的两组夹边对应成比例，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证$△ ABD ∽ △ ACB$，不符合题意；
4. 若添加选项A的条件$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{BC}$：该比例式对应的相等角不是成比例两边的夹角，不满足相似三角形的判定条件，无法证明△ABD与△ABC相似，符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，比例式变形
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题的关键是先挖掘出两个三角形共有的公共角这一隐含条件，再结合判定规则逐一排查选项，需特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，夹角必须是成比例的两条边的夹角，否则无法判定相似。
【难度系数】
0.7
2.「2026河南新郑期中」如图所示的是由三个边长均为1的小正方形组成的网格,连接AC,AD,AE.
(1)求证:$△ ACD ∽ △ ECA$.
(2)小华说:“$∠ ADB$与$∠ AEB$的和为$45°$.”请判断他的说法是否正确,并说明理由.
(1)求证:$△ ACD ∽ △ ECA$.
(2)小华说:“$∠ ADB$与$∠ AEB$的和为$45°$.”请判断他的说法是否正确,并说明理由.
答案
(1)证明:
∵ 四边形ABCH,四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形,
∴ AB=BC=CH=CD=DG=DE,∠B=∠BCH=∠HCD=∠CDG=∠GDE=90°,
∴ ∠BCH+∠HCD=180°,∠CDG+∠GDE=180°,
∴ B,C,D,E 四点在同一条直线上,
设 AB = BC = CD = DE = m, 则 CE = 2m, $CA = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+m^2}=\sqrt{2}m$,
∵ $\frac{CD}{CA}=\frac{m}{\sqrt{2}m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}m}{2m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$,
∵ ∠ACD=∠ECA,
∴ △ACD∽△ECA.
(2)正确.
理由:
∵ AB=BC,∠B=90°,
∴ ∠ACB=∠BAC=45°,
∵ ∠ACB=∠ADB+∠DAC,
∴ ∠ADB+∠DAC=45°,
∵ △ACD∽△ECA,
∴ ∠DAC=∠AEB,
∴ ∠ADB+∠AEB=45°,即∠ADB与∠AEB的和为45°.
∵ 四边形ABCH,四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形,
∴ AB=BC=CH=CD=DG=DE,∠B=∠BCH=∠HCD=∠CDG=∠GDE=90°,
∴ ∠BCH+∠HCD=180°,∠CDG+∠GDE=180°,
∴ B,C,D,E 四点在同一条直线上,
设 AB = BC = CD = DE = m, 则 CE = 2m, $CA = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+m^2}=\sqrt{2}m$,
∵ $\frac{CD}{CA}=\frac{m}{\sqrt{2}m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}m}{2m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$,
∵ ∠ACD=∠ECA,
∴ △ACD∽△ECA.
(2)正确.
理由:
∵ AB=BC,∠B=90°,
∴ ∠ACB=∠BAC=45°,
∵ ∠ACB=∠ADB+∠DAC,
∴ ∠ADB+∠DAC=45°,
∵ △ACD∽△ECA,
∴ ∠DAC=∠AEB,
∴ ∠ADB+∠AEB=45°,即∠ADB与∠AEB的和为45°.
解析
【分析】
(1)要证明△ACD∽△ECA，观察发现两个三角形有公共角∠ACD=∠ECA，根据相似三角形判定定理，只需证明夹公共角的两组对应边成比例即可。先设小正方形边长为m，用勾股定理求出AC的长度，再计算两组对应边的比值，验证相等即可完成证明。
(2)要判断∠ADB与∠AEB的和是否为45°，首先由正方形性质可得△ABC是等腰直角三角形，推出∠ACB=45°，再结合三角形外角性质可知∠ACB=∠ADB+∠DAC，只需借助第一问的相似结论得到∠DAC=∠AEB，即可完成角度转化，验证结论是否正确。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形，
∴ AB=BC=CH=CD=DG=DE，∠B=∠BCH=∠HCD=∠CDG=∠GDE=90°，
∴ ∠BCH+∠HCD=180°，∠CDG+∠GDE=180°，即B、C、D、E四点在同一条直线上。
设AB = BC = CD = DE = m，则CE = 2m，
由勾股定理得：$CA = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+m^2}=\sqrt{2}m$，
∴ $\frac{CD}{CA}=\frac{m}{\sqrt{2}m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}m}{2m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$，
又
∵ ∠ACD=∠ECA，
∴ △ACD∽△ECA。
(2)小华的说法正确，理由如下：
∵ AB=BC，∠B=90°，
∴ ∠ACB=∠BAC=45°，
∵ ∠ACB=∠ADB+∠DAC，
∴ ∠ADB+∠DAC=45°，
∵ △ACD∽△ECA，
∴ ∠DAC=∠AEB，
∴ ∠ADB+∠AEB=45°，即∠ADB与∠AEB的和为45°。
【答案】
(1)△ACD∽△ECA，证明成立；
(2)小华的说法正确，∠ADB与∠AEB的和为45°。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以网格为背景考查相似三角形的综合应用，第一问是基础的相似判定应用，第二问需要结合前一问的结论完成角度转化，体现了几何递进式题目的命题特点，熟练掌握相似的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ACD∽△ECA，观察发现两个三角形有公共角∠ACD=∠ECA，根据相似三角形判定定理，只需证明夹公共角的两组对应边成比例即可。先设小正方形边长为m，用勾股定理求出AC的长度，再计算两组对应边的比值，验证相等即可完成证明。
(2)要判断∠ADB与∠AEB的和是否为45°，首先由正方形性质可得△ABC是等腰直角三角形，推出∠ACB=45°，再结合三角形外角性质可知∠ACB=∠ADB+∠DAC，只需借助第一问的相似结论得到∠DAC=∠AEB，即可完成角度转化，验证结论是否正确。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形，
∴ AB=BC=CH=CD=DG=DE，∠B=∠BCH=∠HCD=∠CDG=∠GDE=90°，
∴ ∠BCH+∠HCD=180°，∠CDG+∠GDE=180°，即B、C、D、E四点在同一条直线上。
设AB = BC = CD = DE = m，则CE = 2m，
由勾股定理得：$CA = \sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+m^2}=\sqrt{2}m$，
∴ $\frac{CD}{CA}=\frac{m}{\sqrt{2}m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CA}{CE}=\frac{\sqrt{2}m}{2m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CE}$，
又
∵ ∠ACD=∠ECA，
∴ △ACD∽△ECA。
(2)小华的说法正确，理由如下：
∵ AB=BC，∠B=90°，
∴ ∠ACB=∠BAC=45°，
∵ ∠ACB=∠ADB+∠DAC，
∴ ∠ADB+∠DAC=45°，
∵ △ACD∽△ECA，
∴ ∠DAC=∠AEB，
∴ ∠ADB+∠AEB=45°，即∠ADB与∠AEB的和为45°。
【答案】
(1)△ACD∽△ECA，证明成立；
(2)小华的说法正确，∠ADB与∠AEB的和为45°。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以网格为背景考查相似三角形的综合应用，第一问是基础的相似判定应用，第二问需要结合前一问的结论完成角度转化，体现了几何递进式题目的命题特点，熟练掌握相似的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3.我们可以借助两个直角三角形全等的条件,探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对于两个直角三角形,满足一边、一锐角分别相等或两直角边分别相等,这两个直角三角形全等.”类似地,可以得到“满足
(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”类似地,可以得到“满足
(3)如图,在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中,$∠ C=∠ C'=90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.求证:$Rt△ ABC ∽ Rt△ A'B'C'$.
(1)“对于两个直角三角形,满足一边、一锐角分别相等或两直角边分别相等,这两个直角三角形全等.”类似地,可以得到“满足
一个锐角相等
或两直角边成比例
的两个直角三角形相似.”(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”类似地,可以得到“满足
斜边和一条直角边成比例
的两个直角三角形相似.”(3)如图,在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中,$∠ C=∠ C'=90°$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.求证:$Rt△ ABC ∽ Rt△ A'B'C'$.
答案
(1)一个锐角相等;两直角边成比例.
(2)斜边和一条直角边成比例.
(3)证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,
则$AB=kA'B',AC=kA'C'$.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
(2)斜边和一条直角边成比例.
(3)证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,
则$AB=kA'B',AC=kA'C'$.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
解析
【分析】
本题采用类比直角三角形全等判定的方法推导直角三角形相似的判定条件，解题思路如下：
1. （1）（2）小问：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，因此将直角三角形全等判定中“边相等”的条件替换为“边成比例”，“角相等”的条件直接保留，即可得到对应的相似判定条件。
2. （3）小问：已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，我们先设比例系数为$k$，用含$k$的式子表示两个三角形的对应边，再通过勾股定理计算第三条边的比值，证明三边对应成比例，即可根据相似三角形判定定理完成证明。
【解析】
(1) 两个直角三角形自带一组相等的直角，若再有一个锐角相等，则满足“两角分别相等的两个三角形相似”；若两直角边成比例，结合相等的直角，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，因此对应填“一个锐角相等”“两直角边成比例”。
(2) 类比“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，将“相等”替换为“成比例”，即可得到对应相似判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
(3) 证明：
设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$，
则$AB=kA'B',AC=kA'C'$。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$，
∴ $\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，满足三边对应成比例，
∴ $Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'$。
【答案】
(1)一个锐角相等；两直角边成比例
(2)斜边和一条直角边成比例
(3)证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,
则$AB=kA'B',AC=kA'C'$.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
【知识点】
相似三角形判定、勾股定理、类比思想
【点评】
本题将全等三角形和相似三角形的判定结合考查，帮助大家理解全等和相似的关联，需要熟练掌握直角三角形相似的特殊判定方法，能灵活运用勾股定理解决边长比例相关的证明问题。
【难度系数】
0.7
本题采用类比直角三角形全等判定的方法推导直角三角形相似的判定条件，解题思路如下：
1. （1）（2）小问：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，因此将直角三角形全等判定中“边相等”的条件替换为“边成比例”，“角相等”的条件直接保留，即可得到对应的相似判定条件。
2. （3）小问：已知两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，我们先设比例系数为$k$，用含$k$的式子表示两个三角形的对应边，再通过勾股定理计算第三条边的比值，证明三边对应成比例，即可根据相似三角形判定定理完成证明。
【解析】
(1) 两个直角三角形自带一组相等的直角，若再有一个锐角相等，则满足“两角分别相等的两个三角形相似”；若两直角边成比例，结合相等的直角，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，因此对应填“一个锐角相等”“两直角边成比例”。
(2) 类比“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，将“相等”替换为“成比例”，即可得到对应相似判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
(3) 证明：
设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$，
则$AB=kA'B',AC=kA'C'$。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$，$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$，
∴ $\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，满足三边对应成比例，
∴ $Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'$。
【答案】
(1)一个锐角相等；两直角边成比例
(2)斜边和一条直角边成比例
(3)证明:设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,
则$AB=kA'B',AC=kA'C'$.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中,$\frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$,
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,
∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
【知识点】
相似三角形判定、勾股定理、类比思想
【点评】
本题将全等三角形和相似三角形的判定结合考查，帮助大家理解全等和相似的关联，需要熟练掌握直角三角形相似的特殊判定方法，能灵活运用勾股定理解决边长比例相关的证明问题。
【难度系数】
0.7
4. 学科特色教材变式「2026 山东济南十二中月考，★☆」
如图所示,在$△ AOB$中,$∠ AOB = 90°$,$OA = 12\ \mathrm{cm}$,$AB = 6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,点$P$从$O$开始沿$OA$边向点$A$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动;点$Q$从$B$开始沿$BO$边向点$O$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,如果$P,Q$同时出发,运动$x\ \mathrm{s}(0 ≤ x ≤ 6)$.
(1)当$x=$
(2)当$x=$
如图所示,在$△ AOB$中,$∠ AOB = 90°$,$OA = 12\ \mathrm{cm}$,$AB = 6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,点$P$从$O$开始沿$OA$边向点$A$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动;点$Q$从$B$开始沿$BO$边向点$O$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,如果$P,Q$同时出发,运动$x\ \mathrm{s}(0 ≤ x ≤ 6)$.
(1)当$x=$
2或4
时,$△ POQ$的面积是$8\ \mathrm{cm}^2$.(2)当$x=$
3或$\frac{6}{5}$
时,以$P,O,Q$为顶点的三角形与$△ AOB$相似.答案
(1)2或4 (2)3或$\frac{6}{5}$
解析 (1)根据题意得 $OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=6\ \mathrm{cm}$,
∵ 动点 P 的速度为 2 cm/s,动点 Q 的速度为 1 cm/s,运动时间为 x s,
∴ $BQ=x\ \mathrm{cm},OQ=OB-BQ=(6-x)\ \mathrm{cm},OP=2x\ \mathrm{cm}$,
故 $\frac{1}{2}OQ· OP=\frac{1}{2}×2x×(6-x)=8$,
整理,得 $x^2-6x+8=0$,解得 $x=2$ 或 $x=4$,
故答案为 2 或 4.
(2)当△AOB∽△QOP 时,$\frac{OA}{OQ}=\frac{OB}{OP}$,
∴ $\frac{12}{6-x}=\frac{6}{2x}$,解得 $x=\frac{6}{5}$;
当△AOB∽△POQ 时,$\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}$,
∴ $\frac{12}{2x}=\frac{6}{6-x}$,解得 $x=3$.
故答案为 3 或 $\frac{6}{5}$.
解析 (1)根据题意得 $OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=6\ \mathrm{cm}$,
∵ 动点 P 的速度为 2 cm/s,动点 Q 的速度为 1 cm/s,运动时间为 x s,
∴ $BQ=x\ \mathrm{cm},OQ=OB-BQ=(6-x)\ \mathrm{cm},OP=2x\ \mathrm{cm}$,
故 $\frac{1}{2}OQ· OP=\frac{1}{2}×2x×(6-x)=8$,
整理,得 $x^2-6x+8=0$,解得 $x=2$ 或 $x=4$,
故答案为 2 或 4.
(2)当△AOB∽△QOP 时,$\frac{OA}{OQ}=\frac{OB}{OP}$,
∴ $\frac{12}{6-x}=\frac{6}{2x}$,解得 $x=\frac{6}{5}$;
当△AOB∽△POQ 时,$\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}$,
∴ $\frac{12}{2x}=\frac{6}{6-x}$,解得 $x=3$.
故答案为 3 或 $\frac{6}{5}$.
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出OB的长度，作为后续计算的基础。
(1) 根据P、Q的运动速度和运动时间x，用含x的代数式分别表示出OP、OQ的长度，再结合直角三角形面积公式列出关于x的一元二次方程，解方程后验证解是否在$0≤x≤6$的范围内即可。
(2) △POQ和△AOB均为直角三角形，直角为公共对应角，因此相似存在两种对应情况，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，同样要验证解是否符合运动范围要求。
【解析】
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-12^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$
由运动规律得：运动$x\ \mathrm{s}$时，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，$OP=2x\ \mathrm{cm}$，因此$OQ=OB-BQ=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
(1) 当$△ POQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$时，由面积公式得：
$\frac{1}{2}· OP· OQ=8$
代入得：$\frac{1}{2}× 2x × (6-x)=8$
整理得$x^2-6x+8=0$，解得$x=2$或$x=4$，两个解均满足$0≤x≤6$，符合题意。
(2) 分两种情况讨论相似：
① 当$△ AOB ∽ △ QOP$时，$\frac{OA}{OQ}=\frac{OB}{OP}$，代入得：
$\frac{12}{6-x}=\frac{6}{2x}$，解得$x=\frac{6}{5}$，符合$0≤x≤6$的要求；
② 当$△ AOB ∽ △ POQ$时，$\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}$，代入得：
$\frac{12}{2x}=\frac{6}{6-x}$，解得$x=3$，符合$0≤x≤6$的要求。
【答案】
(1)2或4
(2)3或$\frac{6}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，动点问题
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，既考查了一元二次方程的应用，也考查了相似三角形分类讨论的思想，解题时需注意相似对应关系不唯一时不要漏解，同时要验证所求解是否符合动点的实际运动范围。
【难度系数】
0.7
首先利用勾股定理求出OB的长度，作为后续计算的基础。
(1) 根据P、Q的运动速度和运动时间x，用含x的代数式分别表示出OP、OQ的长度，再结合直角三角形面积公式列出关于x的一元二次方程，解方程后验证解是否在$0≤x≤6$的范围内即可。
(2) △POQ和△AOB均为直角三角形，直角为公共对应角，因此相似存在两种对应情况，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，同样要验证解是否符合运动范围要求。
【解析】
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{(6\sqrt{5})^2-12^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$
由运动规律得：运动$x\ \mathrm{s}$时，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，$OP=2x\ \mathrm{cm}$，因此$OQ=OB-BQ=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
(1) 当$△ POQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$时，由面积公式得：
$\frac{1}{2}· OP· OQ=8$
代入得：$\frac{1}{2}× 2x × (6-x)=8$
整理得$x^2-6x+8=0$，解得$x=2$或$x=4$，两个解均满足$0≤x≤6$，符合题意。
(2) 分两种情况讨论相似：
① 当$△ AOB ∽ △ QOP$时，$\frac{OA}{OQ}=\frac{OB}{OP}$，代入得：
$\frac{12}{6-x}=\frac{6}{2x}$，解得$x=\frac{6}{5}$，符合$0≤x≤6$的要求；
② 当$△ AOB ∽ △ POQ$时，$\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}$，代入得：
$\frac{12}{2x}=\frac{6}{6-x}$，解得$x=3$，符合$0≤x≤6$的要求。
【答案】
(1)2或4
(2)3或$\frac{6}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形判定，动点问题
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，既考查了一元二次方程的应用，也考查了相似三角形分类讨论的思想，解题时需注意相似对应关系不唯一时不要漏解，同时要验证所求解是否符合动点的实际运动范围。
【难度系数】
0.7
