4.「2025陕西中考」如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（）

A.10
B.8
C.5
D.4

4.C $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,且边长为 4,$\therefore AB=BC=4,∠ A=∠ B=90°,$
$\because$ 点 $E$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=2,$
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中, 由勾股定理得 $CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5},$
$\because ∠ A=∠ B=90°,EF⊥ EC,$
$\therefore ∠ BCE+∠ BEC=90°,∠ AEF+∠ BEC=90°,$
$\therefore ∠ BCE=∠ AEF,\therefore △ BCE∽ △ AEF,$
$\therefore \frac{EF}{CE}=\frac{AE}{BC},$
$\therefore EF=\frac{CE· AE}{BC}=\frac{2\sqrt{5}× 2}{4}=\sqrt{5},$
$\therefore △ CEF$ 的面积为 $\frac{1}{2}CE· EF=\frac{1}{2}× 2\sqrt{5}× \sqrt{5}=5.$
故选 C.

【分析】
首先结合正方形的性质，确定已知边的长度以及直角条件，先通过勾股定理求出CE的长度；再根据EF⊥EC的垂直关系，利用同角的余角相等推导角相等，证明△BCE和△AEF相似，借助相似三角形对应边成比例求出EF的长度；最后因为△CEF是直角三角形，直接用直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB=BC=4，∠A=∠B=90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∵EF⊥EC，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEF+∠BEC=180°-∠CEF=90°，
又
∵在Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BCE=∠AEF，
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△BCE∽△AEF，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{AE}{BC}$，
代入数据得：$EF=\frac{CE·AE}{BC}=\frac{2\sqrt{5}×2}{4}=\sqrt{5}$，
∴△CEF的面积为$\frac{1}{2}×CE×EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过角的互余关系证明三角形相似，进而求出未知直角边的长度，对基础几何性质的综合运用能力有一定要求，解题逻辑清晰，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

5. 如图，AB = 9，AC = 8，P为AB上一点，∠A = ∠CPD = ∠B，连接CD.
(1)若AP=3，求BD的长.
(2)若CP平分∠ACD，求证：$PD^2 = CD · BD$.

5.解析 (1)$\because AB=9,AP=3,$
$\therefore BP=AB-AP=9-3=6,$
$\because ∠ A=∠ CPD,∠ ACP+∠ APC=180°-∠ A,∠ APC+∠ BPD=180°-∠ CPD,$
$\therefore ∠ ACP=∠ BPD,$
$\because ∠ A=∠ B,$
$\therefore △ ACP∽ △ BPD,$
$\therefore \frac{AC}{BP}=\frac{AP}{BD},$
$\therefore \frac{8}{6}=\frac{3}{BD},$
$\therefore BD=\frac{9}{4},$
$\therefore BD$ 的长为 $\frac{9}{4}.$
(2)证明:$\because CP$ 平分 $∠ ACD,\therefore ∠ PCD=∠ ACP,$
易证$∠ ACP=∠ DPB,$
$\therefore ∠ PCD=∠ DPB,$
$\because ∠ CPD=∠ B,\therefore △ CPD∽ △ PBD,$
$\therefore \frac{PD}{BD}=\frac{CD}{PD},\therefore PD^2=CD· BD.$

【分析】
(1) 第(1)问符合“一线三等角”的相似模型特征，解题时先求出BP的长度，再通过平角和三角形内角和的性质推导一组对应角相等，结合已知的等角条件证明△ACP∽△BPD，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解BD即可。
(2) 第(2)问为等积式证明，需先转化为比例式，通过证明三角形相似得到。首先结合角平分线的性质进行角的等量代换，结合第(1)问推导的角相等的结论，得到△CPD和△PBD的两组对应角相等，证明两个三角形相似后将比例式交叉相乘即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) $\because AB=9,AP=3,$
$\therefore BP=AB-AP=9-3=6,$
$\because ∠ A=∠ CPD,∠ ACP+∠ APC=180°-∠ A,∠ APC+∠ BPD=180°-∠ CPD,$
$\therefore ∠ ACP=∠ BPD,$
$\because ∠ A=∠ B,$
$\therefore △ ACP∽ △ BPD,$
$\therefore \frac{AC}{BP}=\frac{AP}{BD},$
代入$AC=8,BP=6,AP=3$得$\frac{8}{6}=\frac{3}{BD},$
解得$BD=\frac{9}{4}.$
(2) 证明:$\because CP$ 平分 $∠ ACD,\therefore ∠ PCD=∠ ACP,$
由(1)的推导可得$∠ ACP=∠ DPB,$
$\therefore ∠ PCD=∠ DPB,$
$\because ∠ CPD=∠ B,\therefore △ CPD∽ △ PBD,$
$\therefore \frac{PD}{BD}=\frac{CD}{PD},\therefore PD^2=CD· BD.$
【答案】
(1) $BD$的长为$\frac{9}{4}$；
(2) 已证$PD^2=CD·BD$。
【知识点】
一线三等角相似模型、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题，围绕一线三等角模型展开，既考查了相似三角形相关性质的应用，也考查了等积式的常规证明思路，解题的核心是通过角的等量代换找到相似三角形的判定条件，熟练掌握相似的相关知识即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC = ∠ ADC = 90°$.若$AD=3,BD=2$,则$CD$的长为 ()


A.2
B.3
C.$\frac{9}{2}$
D.$\frac{4}{3}$

6.C $\because ∠ ADC=90°,$
$\therefore ∠ ADB=180°-∠ ADC=90°,$
$\therefore ∠ B+∠ BAD=90°.$
$\because ∠ BAC=90°,\therefore ∠ B+∠ C=90°,$
$\therefore ∠ C=∠ BAD.$
又$\because ∠ ADC=∠ ADB,\therefore △ DAC∽ △ DBA,$
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD},\because AD=3,BD=2,\therefore CD=\frac{9}{2}.$

【分析】
遇到此类含多个直角的三角形求边长问题，可先从角的关系入手：首先根据直角三角形两锐角和为90°，利用同角的余角相等推导得到相等的角，证明两个三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度建立比例式，即可求解未知线段CD的长。
【解析】
∵ ∠ADC=90°，
∴ ∠ADB=180°-∠ADC=90°，
∴ ∠B+∠BAD=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠B+∠C=90°，
∴ ∠C=∠BAD。
又
∵ ∠ADC=∠ADB=90°，
∴ △DAC∽△DBA，
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
将AD=3，BD=2代入得$\frac{3}{2}=\frac{CD}{3}$，
解得$CD=\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
余角的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型基础题型，对应双垂直相似模型，解题核心是利用直角的性质找到相等的角证明三角形相似，再借助相似三角形对应边成比例的性质计算未知边长，掌握相似三角形的判定和性质即可轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.7

7. 聚焦中考项目式学习「2026广东广大附中月考」在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°,AB=nBC,P$为$AB$上的一点(不与端点重合),过点$P$作$PM⊥ AB$交$AC$于点$M$,得到$△ APM$.
(1)【问题发现】如图1,当$n=1,P$为$AB$的中点时,$CM$与$BP$的数量关系为.
(2)【类比探究】如图2,当$n=2$时,$△ APM$绕点$A$顺时针旋转,连接$CM,BP$,则在旋转过程中,$CM$与$BP$之间的数量关系是否发生变化?请说明理由.
(3)【拓展延伸】在(2)的条件下,已知$AB=4$,$AP=2$,当$△ APM$绕点$A$顺时针旋转至$B,P,M$三点共线时,请直接写出线段$BM$的长.

7.解析 (1)当 $n=1$ 时,$AB=BC,$
$\because ∠ ABC=90°,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2},$
$\because P$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AP=BP=\frac{1}{2}AB,$
$\because PM⊥ AB,\therefore ∠ APM=90°,$
$\therefore ∠ APM=∠ ABC,\therefore PM// BC,$
$\therefore △ APM∽ △ ABC,\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2},\therefore CM=\frac{1}{2}AC,$
$\therefore \frac{CM}{BP}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}AB}=\sqrt{2},\therefore CM=\sqrt{2}BP.$
故答案为 $CM=\sqrt{2}BP.$
(2)$CM$ 与 $BP$ 之间的数量关系不发生变化,始终为$CM=\frac{\sqrt{5}}{2}BP.$理由如下:
当 $n=2$ 时,$AB=2BC$,则$\frac{PM}{AP}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2},$
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB,PM=\frac{1}{2}AP,$
由勾股定理可得 $AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}AB)^2+AB^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}AB,AM=\sqrt{PM^2+AP^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}AP)^2+AP^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}AP,$
$\therefore \frac{AM}{AP}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2},$
由旋转得 $∠ BAP=∠ CAM,\therefore △ ABP∽ △ ACM,$
$\therefore \frac{CM}{BP}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2},\therefore CM=\frac{\sqrt{5}}{2}BP.$
(3)线段 $BM$ 的长为 $2\sqrt{3}+1$ 或 $2\sqrt{3}-1.$
详解:$\because AB=4,AP=2,$
$\therefore BC=2,PM=1,$
由勾股定理可得 $AC=2\sqrt{5},AM=\sqrt{5},$
$\because △ APM$ 绕点 $A$ 顺时针旋转至 $B,P,M$ 三点共线,$∠ APM=90°,$
$\therefore ∠ APB=90°,\therefore BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},$
当$△ APM$旋转至直线$AB$上方时,如图,
则 $BM=BP+PM=2\sqrt{3}+1;$
当$△ APM$旋转至直线$AB$下方时,如图,
则 $BM=BP-PM=2\sqrt{3}-1.$
综上所述,线段 $BM$ 的长为 $2\sqrt{3}+1$ 或 $2\sqrt{3}-1.$

【分析】
(1) 当n=1时，△ABC为等腰直角三角形，先由PM⊥AB推出PM//BC，得到△APM∽△ABC，结合P是AB中点得到CM与AC、BP与AB的关系，再结合等腰直角三角形斜边与直角边的比例，即可推导CM与BP的数量关系。
(2) 旋转过程中对应旋转角相等，先计算Rt△ABC和Rt△APM的斜边与对应直角边的比值，得到两组对应边成比例且夹角相等，证明△ABP∽△ACM，即可得到CM与BP的比值固定，数量关系不随旋转改变。
(3) 当B、P、M共线时，由∠APM=90°可得∠APB=90°，先用勾股定理求出BP的长度，再分△APM旋转到AB上方、下方两种情况，分别计算BM的长度即可。
【解析】
(1) 当$n=1$时，$AB=BC$，
$\because ∠ ABC=90°,\therefore AC=\sqrt{2}AB$，即$\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$，
$\because P$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore AP=BP=\frac{1}{2}AB$，
$\because PM⊥ AB,\therefore ∠ APM=90°=∠ABC,\therefore PM// BC$，
$\therefore △ APM∽ △ ABC,\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2},\therefore CM=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \frac{CM}{BP}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}AB}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2},\therefore CM=\sqrt{2}BP$。
(2)$CM$ 与 $BP$ 之间的数量关系不发生变化，始终为$CM=\frac{\sqrt{5}}{2}BP$。理由如下：
当 $n=2$ 时，$AB=2BC$，在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△APM$中，$∠ ABC=∠ APM=90°$，
$\therefore \frac{PM}{AP}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，即$BC=\frac{1}{2}AB,PM=\frac{1}{2}AP$，
由勾股定理可得 $AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}AB)^2+AB^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}AB$，$AM=\sqrt{PM^2+AP^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}AP)^2+AP^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}AP$，
$\therefore \frac{AM}{AP}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由旋转的性质得 $∠ BAP=∠ CAM$，
$\therefore △ ABP∽ △ ACM$，
$\therefore \frac{CM}{BP}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2},\therefore CM=\frac{\sqrt{5}}{2}BP$，故数量关系不变。
(3)$\because AB=4,AP=2$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=2,PM=\frac{1}{2}AP=1$，
由勾股定理可得 $AM=\sqrt{AP^2+PM^2}=\sqrt{5}$，
当$△ APM$绕点$A$顺时针旋转至$B,P,M$三点共线时，$∠ APM=90°$，故$∠ APB=180°-∠ APM=90°$，
在$\mathrm{Rt}△APB$中，$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
分两种情况：
①当$△ APM$旋转至直线$AB$上方时，如图，$BM=BP+PM=2\sqrt{3}+1$；
②当$△ APM$旋转至直线$AB$下方时，如图，$BM=BP-PM=2\sqrt{3}-1$。
综上所述，线段$BM$的长为$2\sqrt{3}+1$或$2\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CM=\sqrt{2}BP}$
(2) 数量关系不变，$\boldsymbol{CM=\frac{\sqrt{5}}{2}BP}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{2\sqrt{3}+1}$或$\boldsymbol{2\sqrt{3}-1}$，对应图示：
【知识点】
相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何探究类综合题，按照“特殊到一般”的逻辑设置问题，前两问依托相似三角形探究旋转过程中固定的线段比例，第三问需要结合三点共线的条件分类讨论，既考查了基础几何性质的运用，也渗透了分类讨论的数学思想，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4