6.(2025·丹徒区模拟)如图,AB为$\odot O$的一条直径,以AB为边在其右侧作正方形ABCD,E为边BC上的一个动点(不与点B,C重合),连接DE,将正方形ABCD沿DE折叠,点C的对应点$C'$恰好落在$\odot O$上.
(1)求证:$DC'$是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为6,求BE的长.

6.(1)证明:如答图,连接OD,OC'.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠ABC=∠C=90°,AB=AD=BC=CD.
∵正方形沿DE折叠,使得点C恰好落在⊙O上,
∴DC'=DC,EC'=EC,∠DC'E=∠C=90°,
∴DA=DC'.
在△DOC'和△DOA中,$\begin{cases} OC'=OA, \\ DO=DO, \\ DC'=DA, \end{cases}$
∴△DOC'≌△DOA(SSS),
∴∠DC'O=∠DAO=90°,
∴OC'⊥DC'.
∵OC'为⊙O的半径,
∴DC'为⊙O的切线.
(2)解:
∵⊙O的半径为6,
∴AB=BC=12,由(1)得∠DC'E=∠DC'O=90°,
∴点O,C',E共线.
设BE=x,则CE=12-x,
∴EC'=12-x.
∵OB=OC'=6,
∴OE=OC'+C'E=6+12-x=18-x.
在Rt△OBE中,$6^2+x^2=(18-x)^2$,
解得x=8,即线段BE的长为8.

7.如图，在平面直角坐标系中，C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上，且OA=OB. P为$\odot C$上的动点，$∠ APB=90°$，则AB长度的最大值为.

7.16

8.(2025·清江浦区模拟)如图,在△ABC的边BC上取一点O,以点O为圆心,OC的长为半径画⊙O与边AC相切于点C,若⊙O与边AB交于点D,且AC=AD.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若AB=5,BC=3,求⊙O的半径.

8.(1)证明:如答图,连接OD.
∵⊙O与边AC相切于点C,
∴∠ACO=90°.
在△ACO与△ADO中,$\begin{cases} AC=AD, \\ OC=OD, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴△ACO≌△ADO(SSS),
∴∠ADO=∠ACO=90°.
∵OD是⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△ACB中,
∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=4$.
∵AD=AC=4,
∴BD=1.
∵∠BDO=90°,
∴OB²=OD²+BD²,
∴$(3-OD)^2=OD^2+1^2$,
∴OD=$\frac{4}{3}$,
∴⊙O的半径为$\frac{4}{3}$.

9. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，P为AB延长线上一点，连接CP，$∠ BCP=∠ BAC$，$∠ ACB$的平分线与直径AB交于点E，交$\odot O$于点D.
(1)求证：CP是$\odot O$的切线；
(2)求证：$PC=PE$；
(3)探究$AC+BC$与$CD$之间的数量关系，并说明理由.

9.(1)证明:如答图①,连接OC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
又
∵∠BCP=∠A,
∴∠ACO=∠BCP.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠PCB+∠BCO=90°,即∠OCP=90°.
又
∵OC是⊙O的半径,
∴CP是⊙O的切线.
(2)证明:
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠PCE=∠PCB+∠BCE,∠PEC=∠ACD+∠A,
∴∠PCE=∠PEC,
∴PC=PE.
(3)解:$AC+BC=\sqrt{2}CD$.理由如下:
如答图②,连接AD,BD,过点D作DM⊥AC于点M,过点D作DN⊥CB交CB的延长线于点N.
∵CD平分∠ACB,DM⊥AC,DN⊥CB,
∴DM=DN,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴AD=BD,
∴Rt△AMD≌Rt△BND,
∴AM=BN.
易证四边形CMDN为正方形,
∴CD=$\sqrt{2}CN$.
∵AC+BC=CM+AM+CB=CM+CB+BN=CM+CN=2CN,
∴$AC+BC=\sqrt{2}CD$.