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1.(2025·通州区期末)如图,AB是$\odot O$的直径,点D在AB的延长线上,DC与$\odot O$相切于点C,如果$∠ A=30°,OD=4$,那么DC的长是 (
A.6
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.3
C
)A.6
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.3
答案
1.C
2.(2025·台州模拟)如图，$\odot O$的弦CD与直径AB交于点M，过点D的切线与AB的延长线交于点E，连接CA，若$∠ DEA=42°$，$∠ A=27°$，则$∠ MDE$的度数是
51°
。答案
2.$51°$
3.(2025·宿豫区模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{3}{4}x+3$与x轴,y轴分别相交于点A,B,$\odot M$的圆心M的坐标为$(3,4)$,半径为1,P是直线AB上的一个动点,直线PQ与$\odot M$相切于点Q,则线段PQ长度的最小值为
$\frac{12}{5}$
.答案
3.$\frac{12}{5}$
4.(2025·天津)已知AB与$\odot O$相切于点C，$OA=OB$，$∠ AOB=80°$，OB与$\odot O$相交于点D，E为$\odot O$上一点.
(1)如图①，求$∠ CED$的大小；
(2)如图②，当$EC// OA$时，EC与OB相交于点F，延长BO与$\odot O$相交于点G，若$\odot O$的半径为3，求ED和EG的长.
(1)如图①，求$∠ CED$的大小；
(2)如图②，当$EC// OA$时，EC与OB相交于点F，延长BO与$\odot O$相交于点G，若$\odot O$的半径为3，求ED和EG的长.
答案
4.解:(1)如答图①,连接OC.
∵AB与⊙O相切于点C,
∴OC⊥AB.
∵OA=OB,∠AOB=80°,
∴∠COB=∠COA=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°,
∴∠CED=$\frac{1}{2}$∠COB=20°.
(2)如答图②,连接OC.
∵DG是⊙O的直径,⊙O的半径为3,
∴∠DEG=90°,DG=6.
∵EC//OA,
∴∠EFG=∠AOB=80°.
由(1)得∠CED=20°,
∴∠EDG=∠EFG-∠CED=60°,
∴∠G=90°-∠EDG=30°,
∴ED=$\frac{1}{2}$DG=3,
∴EG=$\sqrt{DG^2-ED^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
5.(2025·山东)如图,在△OAB中,点A在⊙O上,边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
答案
5.(1)证明:
∵AD⊥OB于点D,
∴∠ADB=90°.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC,
∠OCA=∠B+∠BAC,
∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC,
∴∠OAD=∠B,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°.
∵OA是⊙O的半径,且AB⊥OA,
∴AB为⊙O的切线.
(2)解:
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2}$OA=$2\sqrt{2}$,
∴CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.
∵AD⊥OB于点D,
∴∠ADB=90°.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC,
∠OCA=∠B+∠BAC,
∴∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC,
∴∠OAD=∠B,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°.
∵OA是⊙O的半径,且AB⊥OA,
∴AB为⊙O的切线.
(2)解:
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=\sqrt{2}$OA=$2\sqrt{2}$,
∴CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.
