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13 是否存在正整数$a$、$b(a ＞ b)$，使其满足$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{108}$。若存在，请求出$a$、$b$的值；若不存在，请说明理由。
答案
存在正整数$a、b(a ＞ b)$,使其满足$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{108}$。理由如下:因为 $\sqrt{a} + \sqrt{b} =\sqrt{108}=6\sqrt{3}$,所以$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$与$6\sqrt{3}$是同类二次根式.因为$a、b$为正整数且$a ＞ b$,所以$\sqrt{a} ＞ \sqrt{b}$。所以$\sqrt{a}=5\sqrt{3}$,$\sqrt{b}=\sqrt{3}$ 或$\sqrt{a}=4\sqrt{3}$,$\sqrt{b}=2\sqrt{3}$。所以$a=75$,$b=3$或$a=48$,$b=12$。
解析
【分析】
解题时首先应将等式右侧的$\sqrt{108}$化简为最简二次根式，根据二次根式加减法的运算规则，只有同类二次根式才能合并，因此$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$与化简后的$\sqrt{108}$一定是同类二次根式，可设$\sqrt{a}=m\sqrt{3}$、$\sqrt{b}=n\sqrt{3}$（$m、n$均为正整数），结合$a＞b$以及$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6\sqrt{3}$可得$m+n=6$且$m＞n≥1$，最后枚举符合条件的$m、n$值，即可求出对应的$a、b$。
【解析】
首先化简等式右侧：$\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6\sqrt{3}$，且$a、b$为正整数，所以$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$与$6\sqrt{3}$是同类二次根式（只有同类二次根式才能合并为一个二次根式）。
又因为$a＞b$，所以$\sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$，因此可设$\sqrt{a}=m\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=n\sqrt{3}$，其中$m、n$均为正整数，且$m+n=6$，$m＞n≥1$。
枚举符合条件的正整数对：
①当$m=5，n=1$时，$\sqrt{a}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=\sqrt{3}$，解得$a=(5\sqrt{3})^2=75$，$b=(\sqrt{3})^2=3$；
②当$m=4，n=2$时，$\sqrt{a}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=2\sqrt{3}$，解得$a=(4\sqrt{3})^2=48$，$b=(2\sqrt{3})^2=12$；
当$m=3，n=3$时，$a=b$，不符合$a＞b$的要求，舍去。
因此存在符合条件的正整数$a、b$。
【答案】
存在，$a=75，b=3$或$a=48，b=12$。
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；二次根式加减运算
【点评】
本题核心考察二次根式加减运算的本质，即同类二次根式的合并，解题的突破口是先将已知的非最简二次根式化为最简形式，再结合正整数、$a＞b$的限制条件拆分系数，解题时需注意$b$为正整数，因此$\sqrt{b}$不能为0，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先应将等式右侧的$\sqrt{108}$化简为最简二次根式，根据二次根式加减法的运算规则，只有同类二次根式才能合并，因此$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$与化简后的$\sqrt{108}$一定是同类二次根式，可设$\sqrt{a}=m\sqrt{3}$、$\sqrt{b}=n\sqrt{3}$（$m、n$均为正整数），结合$a＞b$以及$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6\sqrt{3}$可得$m+n=6$且$m＞n≥1$，最后枚举符合条件的$m、n$值，即可求出对应的$a、b$。
【解析】
首先化简等式右侧：$\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6\sqrt{3}$，且$a、b$为正整数，所以$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$与$6\sqrt{3}$是同类二次根式（只有同类二次根式才能合并为一个二次根式）。
又因为$a＞b$，所以$\sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$，因此可设$\sqrt{a}=m\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=n\sqrt{3}$，其中$m、n$均为正整数，且$m+n=6$，$m＞n≥1$。
枚举符合条件的正整数对：
①当$m=5，n=1$时，$\sqrt{a}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=\sqrt{3}$，解得$a=(5\sqrt{3})^2=75$，$b=(\sqrt{3})^2=3$；
②当$m=4，n=2$时，$\sqrt{a}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=2\sqrt{3}$，解得$a=(4\sqrt{3})^2=48$，$b=(2\sqrt{3})^2=12$；
当$m=3，n=3$时，$a=b$，不符合$a＞b$的要求，舍去。
因此存在符合条件的正整数$a、b$。
【答案】
存在，$a=75，b=3$或$a=48，b=12$。
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；二次根式加减运算
【点评】
本题核心考察二次根式加减运算的本质，即同类二次根式的合并，解题的突破口是先将已知的非最简二次根式化为最简形式，再结合正整数、$a＞b$的限制条件拆分系数，解题时需注意$b$为正整数，因此$\sqrt{b}$不能为0，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
14 阅读以下材料:已知a为正整数,且$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{7}$是同类二次根式,试写出三个满足条件的a的值。因为$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{7}$是同类二次根式,所以$\sqrt{2a + 1}=m\sqrt{7}$(m为正整数),所以$2a + 1=7m^2$,所以$a=\frac{7m^2 -1}{2}$。又因为a为正整数,所以$7m^2 -1$为偶数,所以m为奇数,当$m=1$时,$a=3$;当$m=3$时,$a=31$;当$m=5$时,$a=87$。所以满足条件的a的值可以为3、31、87(m也可取其他正奇数,得出不同的答案)。
请根据上面的信息,回答问题:
已知a为正整数,且$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式,试写出三个满足条件的a的值。
请根据上面的信息,回答问题:
已知a为正整数,且$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式,试写出三个满足条件的a的值。
答案
因为$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式,所以$\sqrt{2a + 3}=m\sqrt{5}$($m$ 为正整数),所以$2a + 3=5m^2$,所以$a=\dfrac{5m^2 - 3}{2}$。又因为$a$ 为正整数,所以$5m^2 - 3$为偶数,所以$m$ 为奇数。所以当$m=1$时,$a=1$;当$m=3$时,$a=21$;当$m=5$时,$a=61$。所以满足条件的$a$的值可以为1、21、61($m$ 也可取其他正奇数,得出不同的答案)。
解析
【分析】
解题首先要明确同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式。因此$\sqrt{2a+3}$和$\sqrt{5}$是同类二次根式，说明$\sqrt{2a+3}$化简后被开方数为5，可设$\sqrt{2a+3}=m\sqrt{5}$（m为正整数，因为根号结果非负，且a为正整数，故m不能为0）。随后两边平方可推导得到a关于m的表达式，再结合a为正整数的条件，判断m的取值特征：$5m^2-3$需为偶数，5和3都是奇数，因此$m^2$需为奇数，即m为正奇数，最后代入不同的正奇数m即可求出对应的a值。
【解析】
因为$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式，所以设$\sqrt{2a + 3}=m\sqrt{5}$（$m$ 为正整数），
两边平方可得：$2a + 3=5m^2$，
整理得：$a=\dfrac{5m^2 - 3}{2}$。
又因为$a$为正整数，所以$5m^2 - 3$必须为偶数，
由于5是奇数、3是奇数，因此$5m^2$需为奇数，即$m^2$为奇数，可得$m$为正奇数。
当$m=1$时，$a=\dfrac{5×1^2 -3}{2}=1$；
当$m=3$时，$a=\dfrac{5×3^2 -3}{2}=21$；
当$m=5$时，$a=\dfrac{5×5^2 -3}{2}=61$。
（m也可取其他正奇数，得到不同的a值）
【答案】
1、21、61（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
同类二次根式；二次根式性质；奇偶性判定
【点评】
本题考查同类二次根式的应用，解题关键是根据同类二次根式的定义建立参数关系式，再结合正整数的约束条件确定参数的取值特征，代入计算即可得到结果，解题时需注意不要遗漏m为正奇数的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式。因此$\sqrt{2a+3}$和$\sqrt{5}$是同类二次根式，说明$\sqrt{2a+3}$化简后被开方数为5，可设$\sqrt{2a+3}=m\sqrt{5}$（m为正整数，因为根号结果非负，且a为正整数，故m不能为0）。随后两边平方可推导得到a关于m的表达式，再结合a为正整数的条件，判断m的取值特征：$5m^2-3$需为偶数，5和3都是奇数，因此$m^2$需为奇数，即m为正奇数，最后代入不同的正奇数m即可求出对应的a值。
【解析】
因为$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$是同类二次根式，所以设$\sqrt{2a + 3}=m\sqrt{5}$（$m$ 为正整数），
两边平方可得：$2a + 3=5m^2$，
整理得：$a=\dfrac{5m^2 - 3}{2}$。
又因为$a$为正整数，所以$5m^2 - 3$必须为偶数，
由于5是奇数、3是奇数，因此$5m^2$需为奇数，即$m^2$为奇数，可得$m$为正奇数。
当$m=1$时，$a=\dfrac{5×1^2 -3}{2}=1$；
当$m=3$时，$a=\dfrac{5×3^2 -3}{2}=21$；
当$m=5$时，$a=\dfrac{5×5^2 -3}{2}=61$。
（m也可取其他正奇数，得到不同的a值）
【答案】
1、21、61（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
同类二次根式；二次根式性质；奇偶性判定
【点评】
本题考查同类二次根式的应用，解题关键是根据同类二次根式的定义建立参数关系式，再结合正整数的约束条件确定参数的取值特征，代入计算即可得到结果，解题时需注意不要遗漏m为正奇数的限制条件。
【难度系数】
0.7
