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1 下列等式中，成立的是(
A.$3 + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{3} ÷ \frac{1}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{(-3)^2} = 3$
D
)。A.$3 + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{3} ÷ \frac{1}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{(-3)^2} = 3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算与性质，解题思路是逐一验证每个选项是否符合二次根式的运算法则：1. 只有同类二次根式才能合并；2. 二次根式乘除运算遵循根号内被开方数对应乘除，结果再开方；3. 算术平方根的非负性，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项依次判断：
A选项：$3$是有理数，$4\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，无法直接合并相加，因此$3+4\sqrt{2}≠7\sqrt{2}$，A错误。
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，B错误。
C选项：除以一个数等于乘这个数的倒数，因此$\sqrt{3}÷\frac{1}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，C错误。
D选项：先计算根号内的平方：$(-3)^2=9$，再计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{(-3)^2}=3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，做题时只要牢记运算规则逐一验证即可，注意不要混淆乘除运算中根号内的计算规则，也不要随意合并非同类二次根式。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算与性质，解题思路是逐一验证每个选项是否符合二次根式的运算法则：1. 只有同类二次根式才能合并；2. 二次根式乘除运算遵循根号内被开方数对应乘除，结果再开方；3. 算术平方根的非负性，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项依次判断：
A选项：$3$是有理数，$4\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，无法直接合并相加，因此$3+4\sqrt{2}≠7\sqrt{2}$，A错误。
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，B错误。
C选项：除以一个数等于乘这个数的倒数，因此$\sqrt{3}÷\frac{1}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{3×6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}≠2\sqrt{3}$，C错误。
D选项：先计算根号内的平方：$(-3)^2=9$，再计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{(-3)^2}=3$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，做题时只要牢记运算规则逐一验证即可，注意不要混淆乘除运算中根号内的计算规则，也不要随意合并非同类二次根式。
【难度系数】
0.8
② 若$a=2\sqrt{2}+3$，$b=2\sqrt{2}-3$，则下列等式成立的是（
A.$ab=1$
B.$ab=-1$
C.$a=b$
D.$a=-b$
B
）。A.$ab=1$
B.$ab=-1$
C.$a=b$
D.$a=-b$
答案
B
解析
【分析】
本题可通过计算各选项中等式两边的值判断正误，观察a、b的形式，二者分别是两数的和与差，计算乘积时可利用平方差公式简化运算，优先计算出现两次的ab可快速锁定答案。
【解析】
先计算ab的值：
已知$a=2\sqrt{2}+3$，$b=2\sqrt{2}-3$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，令$m=2\sqrt{2}$，$n=3$，则：
$\begin{aligned}ab&=(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)\\&=(2\sqrt{2})^2 - 3^2\\&=8 - 9\\&=-1\end{aligned}$
由此可知选项A错误，选项B正确。
再验证剩余选项：
选项C：$a=2\sqrt{2}+3＞0$，$b=2\sqrt{2}-3＜0$，显然$a≠ b$，C错误；
选项D：$-b=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}$，与$a=2\sqrt{2}+3$不相等，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，熟练运用平方差公式可简化计算过程，避免直接计算的繁琐，是二次根式混合运算中需要掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.8
本题可通过计算各选项中等式两边的值判断正误，观察a、b的形式，二者分别是两数的和与差，计算乘积时可利用平方差公式简化运算，优先计算出现两次的ab可快速锁定答案。
【解析】
先计算ab的值：
已知$a=2\sqrt{2}+3$，$b=2\sqrt{2}-3$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，令$m=2\sqrt{2}$，$n=3$，则：
$\begin{aligned}ab&=(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)\\&=(2\sqrt{2})^2 - 3^2\\&=8 - 9\\&=-1\end{aligned}$
由此可知选项A错误，选项B正确。
再验证剩余选项：
选项C：$a=2\sqrt{2}+3＞0$，$b=2\sqrt{2}-3＜0$，显然$a≠ b$，C错误；
选项D：$-b=-(2\sqrt{2}-3)=3-2\sqrt{2}$，与$a=2\sqrt{2}+3$不相等，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，熟练运用平方差公式可简化计算过程，避免直接计算的繁琐，是二次根式混合运算中需要掌握的常用技巧。
【难度系数】
0.8
3 设$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，用含$a$、$b$的式子表示$\sqrt{0.54}$，则下列表示正确的是（
A.$0.3ab$
B.$3ab$
C.$0.1ab^2$
D.$0.1a^2b$
A
）。A.$0.3ab$
B.$3ab$
C.$0.1ab^2$
D.$0.1a^2b$
答案
A
解析
【分析】
要将$\sqrt{0.54}$用含$a$、$b$的式子表示，首先需要对$\sqrt{0.54}$进行化简：先把被开方数0.54转化为分数形式，再利用二次根式的乘除性质拆分，将被开方数分解为完全平方数、因数2和因数3的乘积，最后代入$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$替换，化简后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：$\sqrt{0.54}=\sqrt{\frac{54}{100}}$
根据二次根式的除法法则，得：$\sqrt{\frac{54}{100}}=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{54}}{10}$
拆分$\sqrt{54}$的被开方数：$\sqrt{54}=\sqrt{9×2×3}$
根据二次根式的乘法法则，得：$\sqrt{9×2×3}=\sqrt{9}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=3\sqrt{2}\sqrt{3}$
将$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$代入，得：$\sqrt{54}=3ab$
因此$\sqrt{0.54}=\frac{3ab}{10}=0.3ab$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘除法则
【点评】
本题重点考查二次根式的变形运算，解题关键是合理拆分被开方数，使其包含已知条件中对应的$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的因数，熟练掌握二次根式的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要将$\sqrt{0.54}$用含$a$、$b$的式子表示，首先需要对$\sqrt{0.54}$进行化简：先把被开方数0.54转化为分数形式，再利用二次根式的乘除性质拆分，将被开方数分解为完全平方数、因数2和因数3的乘积，最后代入$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$替换，化简后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：$\sqrt{0.54}=\sqrt{\frac{54}{100}}$
根据二次根式的除法法则，得：$\sqrt{\frac{54}{100}}=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{54}}{10}$
拆分$\sqrt{54}$的被开方数：$\sqrt{54}=\sqrt{9×2×3}$
根据二次根式的乘法法则，得：$\sqrt{9×2×3}=\sqrt{9}×\sqrt{2}×\sqrt{3}=3\sqrt{2}\sqrt{3}$
将$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$代入，得：$\sqrt{54}=3ab$
因此$\sqrt{0.54}=\frac{3ab}{10}=0.3ab$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘除法则
【点评】
本题重点考查二次根式的变形运算，解题关键是合理拆分被开方数，使其包含已知条件中对应的$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的因数，熟练掌握二次根式的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
4 计算：$(-\sqrt{18}) ÷ \dfrac{\sqrt{6}}{2} · \dfrac{\sqrt{3}}{6} =$
-1
。答案
-1
解析
【分析】
本题是二次根式的乘除混合运算，属于同级运算，需按照从左到右的顺序计算：第一步先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），第二步分别计算系数的乘积和二次根式部分的乘积，第三步将结果化简为最简形式即可，运算过程中注意不要遗漏负号。
【解析】
解：原式$=-\sqrt{18} × \dfrac{2}{\sqrt{6}} × \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
将系数与二次根式部分分别合并计算：
$=(-1 × \dfrac{2}{6}) × \sqrt{18 ÷ 6 × 3}$
计算系数部分：$-1×\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}$
计算二次根式部分：$\sqrt{3×3}=\sqrt{9}=3$
两部分相乘得：$-\dfrac{1}{3} × 3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式乘除运算，同级运算顺序，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，运算时先统一为乘法运算，分开计算系数和被开方数可以简化计算过程，需注意运算顺序和符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的乘除混合运算，属于同级运算，需按照从左到右的顺序计算：第一步先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），第二步分别计算系数的乘积和二次根式部分的乘积，第三步将结果化简为最简形式即可，运算过程中注意不要遗漏负号。
【解析】
解：原式$=-\sqrt{18} × \dfrac{2}{\sqrt{6}} × \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
将系数与二次根式部分分别合并计算：
$=(-1 × \dfrac{2}{6}) × \sqrt{18 ÷ 6 × 3}$
计算系数部分：$-1×\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}$
计算二次根式部分：$\sqrt{3×3}=\sqrt{9}=3$
两部分相乘得：$-\dfrac{1}{3} × 3 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式乘除运算，同级运算顺序，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，运算时先统一为乘法运算，分开计算系数和被开方数可以简化计算过程，需注意运算顺序和符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
5 已知$x=\sqrt{5}+2$，$y=\sqrt{5}-2$，求下列各式的值：(1)$x+y=$
$2\sqrt{5}$
，(2)$x^2 -2xy + y^2=$$16$
，(3)$x^2 - y^2=$$8\sqrt{5}$
。答案
(1) $2\sqrt{5}$ (2) 16 (3) $8\sqrt{5}$
解析
【分析】
解决此类二次根式的代值计算问题，优先考虑利用整式乘法公式对所求式子进行化简，再代入数值计算，可减少计算量、降低出错率。
第(1)问直接将x、y代入，合并同类二次根式即可；
第(2)观察式子符合完全平方差公式的结构，先将式子变形为$(x-y)^2$，再计算x-y的值后代入平方即可；
第(3)观察式子符合平方差公式的结构，先将式子变形为$(x+y)(x-y)$，利用前两问已经算出的$x+y$和$x-y$的值直接相乘即可。
【解析】
(1) 将$x=\sqrt{5}+2$，$y=\sqrt{5}-2$代入得：
$x+y=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$；
(2) 由完全平方差公式可得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，
先计算$x-y$：$x-y=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4$，
则$(x-y)^2=4^2=16$；
(3) 由平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
结合前两问结果，$x+y=2\sqrt{5}$，$x-y=4$，
代入得：$(x+y)(x-y)=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{5}$ (2) 16 (3) $8\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的计算与整式乘法公式的结合应用，通过公式对原式先化简再计算，比直接代入计算更简便，能有效提升计算效率和准确率，是二次根式运算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解决此类二次根式的代值计算问题，优先考虑利用整式乘法公式对所求式子进行化简，再代入数值计算，可减少计算量、降低出错率。
第(1)问直接将x、y代入，合并同类二次根式即可；
第(2)观察式子符合完全平方差公式的结构，先将式子变形为$(x-y)^2$，再计算x-y的值后代入平方即可；
第(3)观察式子符合平方差公式的结构，先将式子变形为$(x+y)(x-y)$，利用前两问已经算出的$x+y$和$x-y$的值直接相乘即可。
【解析】
(1) 将$x=\sqrt{5}+2$，$y=\sqrt{5}-2$代入得：
$x+y=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2=2\sqrt{5}$；
(2) 由完全平方差公式可得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，
先计算$x-y$：$x-y=(\sqrt{5}+2)-(\sqrt{5}-2)=\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2=4$，
则$(x-y)^2=4^2=16$；
(3) 由平方差公式可得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，
结合前两问结果，$x+y=2\sqrt{5}$，$x-y=4$，
代入得：$(x+y)(x-y)=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{5}$ (2) 16 (3) $8\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的计算与整式乘法公式的结合应用，通过公式对原式先化简再计算，比直接代入计算更简便，能有效提升计算效率和准确率，是二次根式运算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
6 按如图所示的程序计算，若开始输入的$n$的值为$\sqrt{2}$，则输出的结果是
$8+5\sqrt{2}$
。答案
$8+5\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确程序的运算逻辑：输入数值n后，先计算n(n+1)的结果，若结果大于15则直接输出；若结果不大于15，就将该结果作为新的n重新代入n(n+1)计算，重复上述判断步骤，直到结果大于15后输出即可。我们按照这个逻辑，从初始值n=√2开始逐步计算，计算时遵守二次根式的运算规则即可。
【解析】
第1次计算：初始输入n=√2，
$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×1=2+\sqrt{2}$，
∵$2+\sqrt{2}≈2+1.414=3.414＜15$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n代入计算；
第2次计算：此时$n=2+\sqrt{2}$，
$n(n+1)=(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
$=2×3 + 2×\sqrt{2} + \sqrt{2}×3 + \sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2$
$=8+5\sqrt{2}$，
∵$8+5\sqrt{2}≈8+7.07=15.07＞15$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算、程序流程图运算、多项式乘多项式
【点评】
本题结合程序逻辑考查二次根式的相关运算，难度不大，只要读懂程序的运行规则，正确运用二次根式乘法法则计算即可，解题时需注意多次代入的逻辑不要混淆，保证运算准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确程序的运算逻辑：输入数值n后，先计算n(n+1)的结果，若结果大于15则直接输出；若结果不大于15，就将该结果作为新的n重新代入n(n+1)计算，重复上述判断步骤，直到结果大于15后输出即可。我们按照这个逻辑，从初始值n=√2开始逐步计算，计算时遵守二次根式的运算规则即可。
【解析】
第1次计算：初始输入n=√2，
$n(n+1)=\sqrt{2}×(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×1=2+\sqrt{2}$，
∵$2+\sqrt{2}≈2+1.414=3.414＜15$，不满足输出条件，将$2+\sqrt{2}$作为新的n代入计算；
第2次计算：此时$n=2+\sqrt{2}$，
$n(n+1)=(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2}+1)=(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$
$=2×3 + 2×\sqrt{2} + \sqrt{2}×3 + \sqrt{2}×\sqrt{2}$
$=6 + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2$
$=8+5\sqrt{2}$，
∵$8+5\sqrt{2}≈8+7.07=15.07＞15$，满足输出条件。
【答案】
$8+5\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算、程序流程图运算、多项式乘多项式
【点评】
本题结合程序逻辑考查二次根式的相关运算，难度不大，只要读懂程序的运行规则，正确运用二次根式乘法法则计算即可，解题时需注意多次代入的逻辑不要混淆，保证运算准确性。
【难度系数】
0.7
⑧ 如图，若幻方中各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中a、b、c三个实数的积为
18
。答案
18
解析
【分析】
本题为三阶积幻方问题，解题核心是利用“各行、各列、对角线上三个实数的乘积相等”的性质。首先可通过数值完整的第一列计算出公共的乘积值，再根据该公共乘积分别求出a、b、c的值，最后计算三者的乘积即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算公共乘积
观察第一列三个数均已知，可得公共乘积为：
$k=2\sqrt{3} × 3 × \sqrt{2}=6\sqrt{6}$
步骤2：求a的值
第二行三个数的乘积等于公共乘积，因此：
$3 × a × 2 = 6\sqrt{6}$
化简得$6a=6\sqrt{6}$，解得$a=\sqrt{6}$
步骤3：求b的值
第一行三个数的乘积等于公共乘积，因此：
$2\sqrt{3} × 1 × b = 6\sqrt{6}$
解得$b=\frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{2}$
步骤4：求c的值
第三行三个数的乘积等于公共乘积，因此：
$\sqrt{2} × 6 × c = 6\sqrt{6}$
解得$c=\frac{6\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\sqrt{3}$
步骤5：计算a、b、c的积
$a × b × c = \sqrt{6} × 3\sqrt{2} × \sqrt{3} = 3 × \sqrt{6 × 2 × 3} = 3 × \sqrt{36} = 3 × 6 = 18$
【答案】
18
【知识点】
二次根式的乘法运算，积幻方的性质，二次根式的化简
【点评】
本题将幻方规律和二次根式运算结合，难度适中，解题关键是先确定公共乘积，运算过程中注意二次根式乘除法则的正确使用，避免化简错误。
【难度系数】
0.7
本题为三阶积幻方问题，解题核心是利用“各行、各列、对角线上三个实数的乘积相等”的性质。首先可通过数值完整的第一列计算出公共的乘积值，再根据该公共乘积分别求出a、b、c的值，最后计算三者的乘积即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算公共乘积
观察第一列三个数均已知，可得公共乘积为：
$k=2\sqrt{3} × 3 × \sqrt{2}=6\sqrt{6}$
步骤2：求a的值
第二行三个数的乘积等于公共乘积，因此：
$3 × a × 2 = 6\sqrt{6}$
化简得$6a=6\sqrt{6}$，解得$a=\sqrt{6}$
步骤3：求b的值
第一行三个数的乘积等于公共乘积，因此：
$2\sqrt{3} × 1 × b = 6\sqrt{6}$
解得$b=\frac{6\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{2}$
步骤4：求c的值
第三行三个数的乘积等于公共乘积，因此：
$\sqrt{2} × 6 × c = 6\sqrt{6}$
解得$c=\frac{6\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\sqrt{3}$
步骤5：计算a、b、c的积
$a × b × c = \sqrt{6} × 3\sqrt{2} × \sqrt{3} = 3 × \sqrt{6 × 2 × 3} = 3 × \sqrt{36} = 3 × 6 = 18$
【答案】
18
【知识点】
二次根式的乘法运算，积幻方的性质，二次根式的化简
【点评】
本题将幻方规律和二次根式运算结合，难度适中，解题关键是先确定公共乘积，运算过程中注意二次根式乘除法则的正确使用，避免化简错误。
【难度系数】
0.7
9 已知实数m、n、p满足等式$\sqrt{m-3+n} · \sqrt{3-m-n} = \sqrt{3m+5n-2-p} + \sqrt{m-n-p}$，则$p=$
5
。答案
5 ［提示:由题意得，$m-3+n ≥ 0$且$3-m-n ≥ 0$,解得$m+n ≥ 3$且$m+n ≤ 3$,所以$m + n = 3$。等式可化为$\sqrt{3m+5n-2-p} + \sqrt{m-n-p} = 0$,由非负数的性质得，$\begin{cases}3m + 5n - 2 - p = 0, \\ m - n - p = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}n = -1, \\ m = 4, \\ p = 5。\end{cases}$ 故$p$的值为5。］
解析
【分析】
解题时首先从二次根式有意义的条件切入，观察等号左侧两个二次根式的被开方数，发现二者互为相反数，结合被开方数非负的要求可推出m+n的值，进而得到左侧式子的结果为0；再根据算术平方根的非负性，可知等号右侧两个二次根式的被开方数均为0，由此列出方程组，结合已得的m+n的关系求解即可得到p的值。
【解析】
解：要使$\sqrt{m-3+n}$和$\sqrt{3-m-n}$有意义，需满足：
$\begin{cases} m-3+n ≥ 0 \\ 3-m-n ≥ 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} m+n ≥ 3 \\ m+n ≤ 3 \end{cases}$
因此可得$m+n=3$，此时等号左侧$\sqrt{0} × \sqrt{0}=0$，原等式可化为：
$\sqrt{3m+5n-2-p} + \sqrt{m-n-p} = 0$
∵算术平方根为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$\begin{cases} 3m+5n-2-p=0 ① \\ m-n-p=0 ② \end{cases}$
用①-②消去p，得：$2m+6n-2=0$，化简为$m+3n=1$ ③
联立$\begin{cases} m+n=3 \\ m+3n=1 \end{cases}$，用③减去$m+n=3$，得：$2n=-2$，解得$n=-1$
将$n=-1$代入$m+n=3$，得$m=3 - (-1)=4$
将$m=4$，$n=-1$代入②，得$4 - (-1) - p=0$，解得$p=5$
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是二次根式部分的典型综合题，解题的突破口是通过二次根式被开方数的非负性确定m+n的定值，再结合非负数之和为0的性质列方程求解，对逻辑推导能力有一定的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先从二次根式有意义的条件切入，观察等号左侧两个二次根式的被开方数，发现二者互为相反数，结合被开方数非负的要求可推出m+n的值，进而得到左侧式子的结果为0；再根据算术平方根的非负性，可知等号右侧两个二次根式的被开方数均为0，由此列出方程组，结合已得的m+n的关系求解即可得到p的值。
【解析】
解：要使$\sqrt{m-3+n}$和$\sqrt{3-m-n}$有意义，需满足：
$\begin{cases} m-3+n ≥ 0 \\ 3-m-n ≥ 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} m+n ≥ 3 \\ m+n ≤ 3 \end{cases}$
因此可得$m+n=3$，此时等号左侧$\sqrt{0} × \sqrt{0}=0$，原等式可化为：
$\sqrt{3m+5n-2-p} + \sqrt{m-n-p} = 0$
∵算术平方根为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴$\begin{cases} 3m+5n-2-p=0 ① \\ m-n-p=0 ② \end{cases}$
用①-②消去p，得：$2m+6n-2=0$，化简为$m+3n=1$ ③
联立$\begin{cases} m+n=3 \\ m+3n=1 \end{cases}$，用③减去$m+n=3$，得：$2n=-2$，解得$n=-1$
将$n=-1$代入$m+n=3$，得$m=3 - (-1)=4$
将$m=4$，$n=-1$代入②，得$4 - (-1) - p=0$，解得$p=5$
【答案】
5
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题是二次根式部分的典型综合题，解题的突破口是通过二次根式被开方数的非负性确定m+n的定值，再结合非负数之和为0的性质列方程求解，对逻辑推导能力有一定的考查。
【难度系数】
0.6
⑩ 计算 $(1 - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}}) × (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{5}}) - (1 - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{5}}) × (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}})$ 的结果等于
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
。答案
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ［提示:设$a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}}$,原式=$(1-a)(a+\dfrac{1}{\sqrt{5}})-(1-a-\dfrac{1}{\sqrt{5}})· a=a+\dfrac{1}{\sqrt{5}}-a^2-\dfrac{a}{\sqrt{5}}-a+a^2+\dfrac{a}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。］
解析
【分析】
观察算式可发现$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}$这部分重复出现，若直接展开计算，二次根式运算量很大、容易出错。因此可采用整体换元法，将重复部分设为字母$a$，把原式转化为整式混合运算，展开后同类项会相互抵消，能大幅简化计算，最后对结果做分母有理化即可得到最终答案。
【解析】
解：设$a=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}$，将其代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(1-a)(a+\frac{1}{\sqrt{5}})-(1-a-\frac{1}{\sqrt{5}})× a\\&=a+\frac{1}{\sqrt{5}}-a^2-\frac{a}{\sqrt{5}}-(a - a^2 - \frac{a}{\sqrt{5}})\\&=a+\frac{1}{\sqrt{5}}-a^2-\frac{a}{\sqrt{5}}-a+a^2+\frac{a}{\sqrt{5}}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}\end{aligned}$
对$\frac{1}{\sqrt{5}}$分母有理化可得：$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
整体换元思想，二次根式化简，整式混合运算
【点评】
本题核心是利用整体换元简化复杂的二次根式运算，避免直接展开的繁琐计算，解题关键是准确找到算式中重复出现的代数式作为换元整体，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6
观察算式可发现$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}$这部分重复出现，若直接展开计算，二次根式运算量很大、容易出错。因此可采用整体换元法，将重复部分设为字母$a$，把原式转化为整式混合运算，展开后同类项会相互抵消，能大幅简化计算，最后对结果做分母有理化即可得到最终答案。
【解析】
解：设$a=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}$，将其代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(1-a)(a+\frac{1}{\sqrt{5}})-(1-a-\frac{1}{\sqrt{5}})× a\\&=a+\frac{1}{\sqrt{5}}-a^2-\frac{a}{\sqrt{5}}-(a - a^2 - \frac{a}{\sqrt{5}})\\&=a+\frac{1}{\sqrt{5}}-a^2-\frac{a}{\sqrt{5}}-a+a^2+\frac{a}{\sqrt{5}}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}\end{aligned}$
对$\frac{1}{\sqrt{5}}$分母有理化可得：$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
整体换元思想，二次根式化简，整式混合运算
【点评】
本题核心是利用整体换元简化复杂的二次根式运算，避免直接展开的繁琐计算，解题关键是准确找到算式中重复出现的代数式作为换元整体，最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6
11 计算：
(1) $-\dfrac{4}{3}\sqrt{18} ÷ (2\sqrt{8} × \dfrac{1}{3}\sqrt{54})$；
(2) $\dfrac{2}{b}\sqrt{ab^2} × (-\dfrac{3}{2}\sqrt{a^3b}) ÷ 3\sqrt{\dfrac{b}{a}}$；
(3) $\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{2m^3}} × (-\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}) ÷ \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}}$；
(4) $-3\sqrt{\dfrac{3m^2 - 3n^2}{2a^2}} ÷ (\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{m + n}{a^2}}) × \sqrt{\dfrac{a^2}{m - n}}$。（$a＞0$）
(1) $-\dfrac{4}{3}\sqrt{18} ÷ (2\sqrt{8} × \dfrac{1}{3}\sqrt{54})$；
(2) $\dfrac{2}{b}\sqrt{ab^2} × (-\dfrac{3}{2}\sqrt{a^3b}) ÷ 3\sqrt{\dfrac{b}{a}}$；
(3) $\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{2m^3}} × (-\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}) ÷ \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}}$；
(4) $-3\sqrt{\dfrac{3m^2 - 3n^2}{2a^2}} ÷ (\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{m + n}{a^2}}) × \sqrt{\dfrac{a^2}{m - n}}$。（$a＞0$）
答案
(1) $-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ (2) $-a^2\sqrt{a}$ (3) $-\dfrac{n^2}{m^4}\sqrt{mn}$ (4) $-\sqrt{6}a$
解析
【分析】
二次根式乘除混合运算的解题思路如下：1. 先定符号：根据负因数的个数判断最终结果的符号，奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正；2. 拆分运算：将系数和二次根式部分分开，系数按有理数乘除法则计算，二次根式部分按照“$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）”的法则运算；3. 化简结果：将运算后的二次根式化为最简二次根式，注意题目隐含的被开方数非负的条件，开方时准确去绝对值。运算过程中能约分的先约分，可降低计算量。
【解析】
(1) 原式$=-\dfrac{4}{3}\sqrt{18} ÷ (2×\dfrac{1}{3}×\sqrt{8×54})$
$=-\dfrac{4}{3}\sqrt{18} ÷ (\dfrac{2}{3}\sqrt{432})$
$=(-\dfrac{4}{3} ÷ \dfrac{2}{3}) × (\sqrt{18} ÷ \sqrt{432})$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{18}{432}}$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{1}{24}}$
$=-2 × \dfrac{\sqrt{6}}{12}$
$=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
(2) 由二次根式有意义可知$a＞0,b＞0$，则$\sqrt{ab^2}=b\sqrt{a}$
原式$=\dfrac{2}{b}×b\sqrt{a} × (-\dfrac{3}{2}\sqrt{a^3b}) ÷ 3\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=[\dfrac{2}{b}×(-\dfrac{3}{2}) ÷ 3] × (\sqrt{a}·\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{\dfrac{b}{a}})$
$=-\dfrac{1}{b} × \sqrt{a·a^3b·\dfrac{a}{b}}$
$=-\dfrac{1}{b} × \sqrt{a^5}$
$=-\dfrac{1}{b} × a^2b\sqrt{a}$
$=-a^2\sqrt{a}$
(3) 由二次根式有意义可知$m＞0,n＞0$
原式$=[\dfrac{n}{m}×(-\dfrac{1}{m}) ÷ 1] × (\sqrt{\dfrac{n}{2m^3}}·\sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}} ÷ \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}})$
$=-\dfrac{n}{m^2} × \sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2} × \dfrac{n}{m^2}\sqrt{mn}$
$=-\dfrac{n^2}{m^4}\sqrt{mn}$
(4) 由二次根式有意义可知$m+n＞0,m-n＞0$，且$a＞0$
原式$=(-3 ÷ \dfrac{3}{2} × 1) × (\sqrt{\dfrac{3(m^2-n^2)}{2a^2}} ÷ \sqrt{\dfrac{m+n}{a^2}} × \sqrt{\dfrac{a^2}{m-n}})$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{3(m+n)(m-n)}{2a^2} · \dfrac{a^2}{m+n} · \dfrac{a^2}{m-n}}$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}$
$=-2 × \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$=-\sqrt{6}a$
【答案】
(1) $-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$；(2) $-a^2\sqrt{a}$；(3) $-\dfrac{n^2}{m^4}\sqrt{mn}$；(4) $-\sqrt{6}a$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题侧重考查二次根式乘除混合运算的熟练度，解题时优先确定符号，再将系数和被开方数分别运算，过程中注意先约分再计算可减少出错，最后需将结果化为最简二次根式。
【难度系数】
0.65
二次根式乘除混合运算的解题思路如下：1. 先定符号：根据负因数的个数判断最终结果的符号，奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正；2. 拆分运算：将系数和二次根式部分分开，系数按有理数乘除法则计算，二次根式部分按照“$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）”的法则运算；3. 化简结果：将运算后的二次根式化为最简二次根式，注意题目隐含的被开方数非负的条件，开方时准确去绝对值。运算过程中能约分的先约分，可降低计算量。
【解析】
(1) 原式$=-\dfrac{4}{3}\sqrt{18} ÷ (2×\dfrac{1}{3}×\sqrt{8×54})$
$=-\dfrac{4}{3}\sqrt{18} ÷ (\dfrac{2}{3}\sqrt{432})$
$=(-\dfrac{4}{3} ÷ \dfrac{2}{3}) × (\sqrt{18} ÷ \sqrt{432})$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{18}{432}}$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{1}{24}}$
$=-2 × \dfrac{\sqrt{6}}{12}$
$=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$
(2) 由二次根式有意义可知$a＞0,b＞0$，则$\sqrt{ab^2}=b\sqrt{a}$
原式$=\dfrac{2}{b}×b\sqrt{a} × (-\dfrac{3}{2}\sqrt{a^3b}) ÷ 3\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=[\dfrac{2}{b}×(-\dfrac{3}{2}) ÷ 3] × (\sqrt{a}·\sqrt{a^3b} ÷ \sqrt{\dfrac{b}{a}})$
$=-\dfrac{1}{b} × \sqrt{a·a^3b·\dfrac{a}{b}}$
$=-\dfrac{1}{b} × \sqrt{a^5}$
$=-\dfrac{1}{b} × a^2b\sqrt{a}$
$=-a^2\sqrt{a}$
(3) 由二次根式有意义可知$m＞0,n＞0$
原式$=[\dfrac{n}{m}×(-\dfrac{1}{m}) ÷ 1] × (\sqrt{\dfrac{n}{2m^3}}·\sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}} ÷ \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}})$
$=-\dfrac{n}{m^2} × \sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2} × \dfrac{n}{m^2}\sqrt{mn}$
$=-\dfrac{n^2}{m^4}\sqrt{mn}$
(4) 由二次根式有意义可知$m+n＞0,m-n＞0$，且$a＞0$
原式$=(-3 ÷ \dfrac{3}{2} × 1) × (\sqrt{\dfrac{3(m^2-n^2)}{2a^2}} ÷ \sqrt{\dfrac{m+n}{a^2}} × \sqrt{\dfrac{a^2}{m-n}})$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{3(m+n)(m-n)}{2a^2} · \dfrac{a^2}{m+n} · \dfrac{a^2}{m-n}}$
$=-2 × \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}$
$=-2 × \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$=-\sqrt{6}a$
【答案】
(1) $-\dfrac{\sqrt{6}}{6}$；(2) $-a^2\sqrt{a}$；(3) $-\dfrac{n^2}{m^4}\sqrt{mn}$；(4) $-\sqrt{6}a$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题侧重考查二次根式乘除混合运算的熟练度，解题时优先确定符号，再将系数和被开方数分别运算，过程中注意先约分再计算可减少出错，最后需将结果化为最简二次根式。
【难度系数】
0.65
