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12 若$x$、$y$为实数，且$y=\frac{\sqrt{x^2 -4}+\sqrt{4 -x^2}+1}{x+2}$，求$\sqrt{x+y} · \sqrt{x-y}$的值。
答案
$x=2$，$y=\dfrac{1}{4}$，原式$=\sqrt{2+\dfrac{1}{4}} · \sqrt{2-\dfrac{1}{4}} =\dfrac{3\sqrt{7}}{4}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要确定x的合法取值：式子中同时包含二次根式和分式，需先根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的限制条件求出x的值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入所求的二次根式乘法算式计算即可，计算时可先利用二次根式乘法法则和平方差公式简化运算，减少计算量。
【解析】
1. 求x的取值：
要使二次根式$\sqrt{x^2-4}$和$\sqrt{4-x^2}$有意义，需满足被开方数非负：
$\begin{cases}x^2 - 4 ≥ 0 \\4 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
联立两个不等式可得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
又因为分式的分母$x+2≠0$，即$x≠-2$，因此$x=2$。
2. 求y的值：
将$x=2$代入$y=\frac{\sqrt{x^2 -4}+\sqrt{4 -x^2}+1}{x+2}$，可得：
$y=\frac{0+0+1}{2+2}=\frac{1}{4}$
3. 计算$\sqrt{x+y} · \sqrt{x-y}$的值：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a≥0,b≥0）$，可得：
$\sqrt{x+y} · \sqrt{x-y}=\sqrt{(x+y)(x-y)}=\sqrt{x^2-y^2}$
将$x=2$、$y=\frac{1}{4}$代入上式：
$\sqrt{2^2-(\frac{1}{4})^2}=\sqrt{4-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{63}{16}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{7}}{4}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法运算；分式有意义的条件
【点评】
本题解题核心是先根据代数式有意义的限制条件确定未知数x的取值，再代入计算，计算时可灵活运用二次根式乘法法则和乘法公式简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要确定x的合法取值：式子中同时包含二次根式和分式，需先根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的限制条件求出x的值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入所求的二次根式乘法算式计算即可，计算时可先利用二次根式乘法法则和平方差公式简化运算，减少计算量。
【解析】
1. 求x的取值：
要使二次根式$\sqrt{x^2-4}$和$\sqrt{4-x^2}$有意义，需满足被开方数非负：
$\begin{cases}x^2 - 4 ≥ 0 \\4 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
联立两个不等式可得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
又因为分式的分母$x+2≠0$，即$x≠-2$，因此$x=2$。
2. 求y的值：
将$x=2$代入$y=\frac{\sqrt{x^2 -4}+\sqrt{4 -x^2}+1}{x+2}$，可得：
$y=\frac{0+0+1}{2+2}=\frac{1}{4}$
3. 计算$\sqrt{x+y} · \sqrt{x-y}$的值：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a≥0,b≥0）$，可得：
$\sqrt{x+y} · \sqrt{x-y}=\sqrt{(x+y)(x-y)}=\sqrt{x^2-y^2}$
将$x=2$、$y=\frac{1}{4}$代入上式：
$\sqrt{2^2-(\frac{1}{4})^2}=\sqrt{4-\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{63}{16}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{7}}{4}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法运算；分式有意义的条件
【点评】
本题解题核心是先根据代数式有意义的限制条件确定未知数x的取值，再代入计算，计算时可灵活运用二次根式乘法法则和乘法公式简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
13 已知 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求 $x^2+xy+y^2$ 的值。
答案
原式$=(x+y)^2 -xy =(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})^2 -\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=5-1=4$。
解析
【分析】
本题是二次根式的代数式求值题，若直接将x、y代入原式计算平方，运算过程较繁琐容易出错。观察待求式$x^2+xy+y^2$是关于x、y的对称式，可结合完全平方公式将其变形为$(x+y)^2-xy$，仅需先计算出x+y与xy的值，再代入变形后的式子计算即可，且x、y为共轭二次根式，求和、求积时可利用乘法公式简化计算，大幅降低运算难度。
【解析】
第一步：利用完全平方公式变形待求式：
根据$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得：
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$
第二步：分别计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
计算xy时利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$xy=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{2×2}=\frac{5-1}{4}=1$
第三步：代入求值：
将$x+y=\sqrt{5}$，$xy=1$代入变形后的式子：
原式$=(\sqrt{5})^2 - 1=5-1=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式求值类的典型考法，核心解题思路是利用对称式的特点结合整式乘法公式简化运算，避免直接代入的繁琐计算，能有效考查学生对公式的灵活运用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的代数式求值题，若直接将x、y代入原式计算平方，运算过程较繁琐容易出错。观察待求式$x^2+xy+y^2$是关于x、y的对称式，可结合完全平方公式将其变形为$(x+y)^2-xy$，仅需先计算出x+y与xy的值，再代入变形后的式子计算即可，且x、y为共轭二次根式，求和、求积时可利用乘法公式简化计算，大幅降低运算难度。
【解析】
第一步：利用完全平方公式变形待求式：
根据$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，可得：
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$
第二步：分别计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
计算xy时利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$xy=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{2×2}=\frac{5-1}{4}=1$
第三步：代入求值：
将$x+y=\sqrt{5}$，$xy=1$代入变形后的式子：
原式$=(\sqrt{5})^2 - 1=5-1=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式求值类的典型考法，核心解题思路是利用对称式的特点结合整式乘法公式简化运算，避免直接代入的繁琐计算，能有效考查学生对公式的灵活运用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
14 求$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$的值。阅读下列解题步骤：
解:设$x=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$,
两边平方,得$x^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$,
即$x^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+4=10$,
所以$x=\pm\sqrt{10}$。
因为$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}＞0$,
所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$。
请仿照上述方法,求$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$的值。
解:设$x=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$,
两边平方,得$x^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$,
即$x^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+4=10$,
所以$x=\pm\sqrt{10}$。
因为$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}＞0$,
所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$。
请仿照上述方法,求$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$的值。
答案
设$x=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$,两边平方,得$x^2=(\sqrt{4+\sqrt{7}})^2+(\sqrt{4-\sqrt{7}})^2+2\sqrt{4+\sqrt{7}} × \sqrt{4-\sqrt{7}}$,即$x^2=4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+6=14$,所以$x=\pm\sqrt{14}$。因为$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}＞0$,所以$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{14}$。
解析
【分析】
所求式子是两个含双重二次根式的和，直接化简双重根号步骤繁琐，可采用平方法简化计算：首先设所求式子的值为x，利用完全平方公式将x平方后展开，结合二次根式的性质去掉外层根号，再用平方差公式计算两个根式乘积的部分，抵消根号后算出x²的值，最后根据算术平方根的非负性判断原式为正数，取正的平方根即可得到结果。
【解析】
设$x=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$，
两边平方，得$x^2=(\sqrt{4+\sqrt{7}})^2+(\sqrt{4-\sqrt{7}})^2+2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$，
即$x^2=4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+2\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=8+2\sqrt{9}=8+6=14$，
开平方得$x=\pm\sqrt{14}$，
因为$\sqrt{4+\sqrt{7}}＞0$，$\sqrt{4-\sqrt{7}}＞0$，所以$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}＞0$，舍去负根，
因此$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{14}$。
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是双重根式化简的典型题型，平方法能有效降低这类题的运算难度，解题时需注意结合二次根式的非负性判断最终结果的符号，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
所求式子是两个含双重二次根式的和，直接化简双重根号步骤繁琐，可采用平方法简化计算：首先设所求式子的值为x，利用完全平方公式将x平方后展开，结合二次根式的性质去掉外层根号，再用平方差公式计算两个根式乘积的部分，抵消根号后算出x²的值，最后根据算术平方根的非负性判断原式为正数，取正的平方根即可得到结果。
【解析】
设$x=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$，
两边平方，得$x^2=(\sqrt{4+\sqrt{7}})^2+(\sqrt{4-\sqrt{7}})^2+2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$，
即$x^2=4+\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+2\sqrt{4^2-(\sqrt{7})^2}=8+2\sqrt{9}=8+6=14$，
开平方得$x=\pm\sqrt{14}$，
因为$\sqrt{4+\sqrt{7}}＞0$，$\sqrt{4-\sqrt{7}}＞0$，所以$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}＞0$，舍去负根，
因此$\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{14}$。
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是双重根式化简的典型题型，平方法能有效降低这类题的运算难度，解题时需注意结合二次根式的非负性判断最终结果的符号，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
