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1 已知$a=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$，$b=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，则$a$与$b$的关系正确的是（
A.$a-b=0$
B.$a+b=0$
C.$ab=1$
D.$a^2=b^2$
C
）。A.$a-b=0$
B.$a+b=0$
C.$ab=1$
D.$a^2=b^2$
答案
C
解析
【分析】
观察到a、b的分母均含有二次根式，直接计算各选项较为繁琐，因此解题核心思路是先对a、b进行分母有理化化简：给分子分母同乘分母的有理化因式，借助平方差公式去掉分母中的根号，得到a、b的最简形式后，再逐一计算各选项的代数式值，判断正误即可。
【解析】
第一步：对a、b分别分母有理化
对于a：给分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，得
$a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
对于b：给分子分母同乘$2-\sqrt{3}$，得
$b=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
第二步：逐一验证选项
A选项：$a-b=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}≠0$，错误；
B选项：$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4≠0$，错误；
C选项：$ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$，正确；
D选项：$a^2=(2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$，$b^2=(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}$，$a^2≠ b^2$，错误。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题时先化简再验证的思路可大幅降低计算出错概率，熟练掌握有理化因式的选择和平方差公式的应用是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.8
观察到a、b的分母均含有二次根式，直接计算各选项较为繁琐，因此解题核心思路是先对a、b进行分母有理化化简：给分子分母同乘分母的有理化因式，借助平方差公式去掉分母中的根号，得到a、b的最简形式后，再逐一计算各选项的代数式值，判断正误即可。
【解析】
第一步：对a、b分别分母有理化
对于a：给分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，得
$a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
对于b：给分子分母同乘$2-\sqrt{3}$，得
$b=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
第二步：逐一验证选项
A选项：$a-b=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}≠0$，错误；
B选项：$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4≠0$，错误；
C选项：$ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$，正确；
D选项：$a^2=(2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$，$b^2=(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}$，$a^2≠ b^2$，错误。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题时先化简再验证的思路可大幅降低计算出错概率，熟练掌握有理化因式的选择和平方差公式的应用是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.8
2 下列各式不成立的是(
A.$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{7}{3}\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$
C.$\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{2} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 5$
D.$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
C
)。A.$\sqrt{18} - \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{7}{3}\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$
C.$\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{2} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 5$
D.$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题思路是逐一计算每个选项的左边式子，将计算结果和右边的结果对比，判断是否相等，计算过程中需要用到二次根式的化简、加减运算法则、分母有理化等知识，逐个验证即可找到不成立的选项。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：
先化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
则左边$=3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{9\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{3}=\frac{7}{3}\sqrt{2}$，和右边相等，成立。
B选项：
先计算根号内的加法：$2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$
左边$=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{4×2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，和右边相等，成立。
C选项：
化简分子的二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
左边$=\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，和右边的5不相等，不成立。
D选项：
对左边进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$：
左边$=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，和右边相等，成立。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，需要熟练掌握二次根式的化简规则、加减运算方法以及分母有理化的技巧，运算时要注意不能随意拆分运算项，需严格遵循运算规则计算。
【难度系数】
0.7
这是一道二次根式运算的正误判断题，解题思路是逐一计算每个选项的左边式子，将计算结果和右边的结果对比，判断是否相等，计算过程中需要用到二次根式的化简、加减运算法则、分母有理化等知识，逐个验证即可找到不成立的选项。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：
先化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
则左边$=3\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{9\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{3}=\frac{7}{3}\sqrt{2}$，和右边相等，成立。
B选项：
先计算根号内的加法：$2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$
左边$=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{4×2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，和右边相等，成立。
C选项：
化简分子的二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
左边$=\frac{2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，和右边的5不相等，不成立。
D选项：
对左边进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$：
左边$=\frac{1×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，和右边相等，成立。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，需要熟练掌握二次根式的化简规则、加减运算方法以及分母有理化的技巧，运算时要注意不能随意拆分运算项，需严格遵循运算规则计算。
【难度系数】
0.7
3 如图,数轴上与1、$\sqrt{2}$对应的点分别为A、B,点B关于点A的对称点为点C,设点C表示的数为$x$,则$|x - \sqrt{2}| + \dfrac{2}{x} = (\quad)$。
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2$
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
解题首先利用轴对称的性质：点B关于点A对称，则A是线段BC的中点，数轴上两点的中点对应的数等于两点对应数的平均数，可先求出x的值；再将x代入待求代数式，先根据绝对值内式子的正负化简绝对值，再对分式进行分母有理化，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
因为点A是B、C的中点，根据中点性质可得：
$1=\frac{x+\sqrt{2}}{2}$
等式两边同乘2得：$2=x+\sqrt{2}$
解得$x=2-\sqrt{2}$
2. 代入代数式计算：
（1）化简$|x-\sqrt{2}|$：
把$x=2-\sqrt{2}$代入得：
$x-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}-\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}＜0$
因此$|x-\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-2$
（2）计算$\frac{2}{x}$：
把$x=2-\sqrt{2}$代入，分母有理化：
$\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2×(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4-2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$
（3）合并结果：
$|x-\sqrt{2}|+\frac{2}{x}=(2\sqrt{2}-2)+(2+\sqrt{2})=3\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
数轴对称性质；绝对值化简；分母有理化
【点评】
本题综合考察数轴相关性质和二次根式的运算，解题的核心是先通过对称关系求出x的取值，再严格按照二次根式运算规则逐步计算，注意化简绝对值时要先判断式子的正负，分母有理化时要正确选用有理化因式。
【难度系数】
0.7
解题首先利用轴对称的性质：点B关于点A对称，则A是线段BC的中点，数轴上两点的中点对应的数等于两点对应数的平均数，可先求出x的值；再将x代入待求代数式，先根据绝对值内式子的正负化简绝对值，再对分式进行分母有理化，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
因为点A是B、C的中点，根据中点性质可得：
$1=\frac{x+\sqrt{2}}{2}$
等式两边同乘2得：$2=x+\sqrt{2}$
解得$x=2-\sqrt{2}$
2. 代入代数式计算：
（1）化简$|x-\sqrt{2}|$：
把$x=2-\sqrt{2}$代入得：
$x-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}-\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}＜0$
因此$|x-\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-2$
（2）计算$\frac{2}{x}$：
把$x=2-\sqrt{2}$代入，分母有理化：
$\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2×(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{4+2\sqrt{2}}{4-2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$
（3）合并结果：
$|x-\sqrt{2}|+\frac{2}{x}=(2\sqrt{2}-2)+(2+\sqrt{2})=3\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
数轴对称性质；绝对值化简；分母有理化
【点评】
本题综合考察数轴相关性质和二次根式的运算，解题的核心是先通过对称关系求出x的取值，再严格按照二次根式运算规则逐步计算，注意化简绝对值时要先判断式子的正负，分母有理化时要正确选用有理化因式。
【难度系数】
0.7
④ $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的一个有理化因式为
$\sqrt{x} - \sqrt{y}$
，$\sqrt{x + y}$ 的一个有理化因式为 $\sqrt{x + y}$（答案不唯一）
。答案
$\sqrt{x} - \sqrt{y}$，$\sqrt{x + y}$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先回忆有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若乘积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。对于$\sqrt{x} + \sqrt{y}$这种两个二次根式相加的形式，可联想平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，乘对应相减的形式就能消去根号；对于$\sqrt{x+y}$这种单个二次根式的形式，根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，乘它本身就能得到不含根号的整式，即可得到有理化因式。
【解析】
1. 求$\sqrt{x} + \sqrt{y}$的有理化因式：
根据平方差公式，计算$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})=(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$，乘积$x-y$不含二次根式，因此$\sqrt{x} - \sqrt{y}$是$\sqrt{x} + \sqrt{y}$的一个有理化因式。
2. 求$\sqrt{x + y}$的有理化因式：
根据二次根式的性质，计算$\sqrt{x+y} × \sqrt{x+y}=(\sqrt{x+y})^2 = x + y$，乘积$x+y$不含二次根式，因此$\sqrt{x + y}$是$\sqrt{x + y}$的一个有理化因式。
注：有理化因式不唯一，只要满足乘积不含二次根式即可。
【答案】
$\sqrt{x} - \sqrt{y}$，$\sqrt{x + y}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 有理化因式的概念
2. 平方差公式
3. 二次根式的性质
【点评】
本题是有理化因式的基础考察题，解题核心是牢记有理化因式的定义，针对不同形式的含二次根式的代数式选择对应的构造方法：两个二次根式和的形式优先用平方差公式构造，单个二次根式直接乘本身即可得到有理化因式。
【难度系数】
0.8
首先回忆有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若乘积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。对于$\sqrt{x} + \sqrt{y}$这种两个二次根式相加的形式，可联想平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，乘对应相减的形式就能消去根号；对于$\sqrt{x+y}$这种单个二次根式的形式，根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，乘它本身就能得到不含根号的整式，即可得到有理化因式。
【解析】
1. 求$\sqrt{x} + \sqrt{y}$的有理化因式：
根据平方差公式，计算$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})=(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$，乘积$x-y$不含二次根式，因此$\sqrt{x} - \sqrt{y}$是$\sqrt{x} + \sqrt{y}$的一个有理化因式。
2. 求$\sqrt{x + y}$的有理化因式：
根据二次根式的性质，计算$\sqrt{x+y} × \sqrt{x+y}=(\sqrt{x+y})^2 = x + y$，乘积$x+y$不含二次根式，因此$\sqrt{x + y}$是$\sqrt{x + y}$的一个有理化因式。
注：有理化因式不唯一，只要满足乘积不含二次根式即可。
【答案】
$\sqrt{x} - \sqrt{y}$，$\sqrt{x + y}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 有理化因式的概念
2. 平方差公式
3. 二次根式的性质
【点评】
本题是有理化因式的基础考察题，解题核心是牢记有理化因式的定义，针对不同形式的含二次根式的代数式选择对应的构造方法：两个二次根式和的形式优先用平方差公式构造，单个二次根式直接乘本身即可得到有理化因式。
【难度系数】
0.8
5 已知实数$x$、$y$满足$x^2 + y^2 - 4x - 2y = -5$，则$\dfrac{\sqrt{x} + y}{3y - 2\sqrt{x}}$的值为
$5\sqrt{2} + 7$
。答案
$5\sqrt{2} + 7$
解析
【分析】
首先观察已知的二元二次方程，可通过移项后分组配方，将方程转化为两个平方和为0的形式，再根据平方的非负性求出x和y的具体值；之后将x、y代入所求代数式，最后通过分母有理化化简计算即可得到结果。
【解析】
1. 对已知方程配方变形：
将方程$x^2 + y^2 - 4x - 2y = -5$移项得$x^2 -4x + y^2 -2y +5=0$，
分组配方可得：$(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=0$，即$\boldsymbol{(x-2)^2 + (y-1)^2=0}$。
2. 根据非负数性质求x、y的值：
由于平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(y-1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每一项均为0，
因此$x-2=0$，$y-1=0$，解得$\boldsymbol{x=2,y=1}$。
3. 代入代数式并化简：
把$x=2,y=1$代入$\dfrac{\sqrt{x} + y}{3y - 2\sqrt{x}}$得：
原式$=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3×1 -2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3-2\sqrt{2}}$。
4. 分母有理化：
给分子分母同乘分母的有理化因式$3+2\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\\&=\dfrac{3\sqrt{2} + 2×(\sqrt{2})^2 +3 +2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\&=\dfrac{3\sqrt{2}+4+3+2\sqrt{2}}{9-8}\\&=5\sqrt{2}+7\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{2} + 7$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的综合题，解题核心是先通过配方法求出x、y的取值，再按照二次根式运算规则完成化简，计算过程中要注意二次根式乘法运算的正确性，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的二元二次方程，可通过移项后分组配方，将方程转化为两个平方和为0的形式，再根据平方的非负性求出x和y的具体值；之后将x、y代入所求代数式，最后通过分母有理化化简计算即可得到结果。
【解析】
1. 对已知方程配方变形：
将方程$x^2 + y^2 - 4x - 2y = -5$移项得$x^2 -4x + y^2 -2y +5=0$，
分组配方可得：$(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=0$，即$\boldsymbol{(x-2)^2 + (y-1)^2=0}$。
2. 根据非负数性质求x、y的值：
由于平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(y-1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每一项均为0，
因此$x-2=0$，$y-1=0$，解得$\boldsymbol{x=2,y=1}$。
3. 代入代数式并化简：
把$x=2,y=1$代入$\dfrac{\sqrt{x} + y}{3y - 2\sqrt{x}}$得：
原式$=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3×1 -2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3-2\sqrt{2}}$。
4. 分母有理化：
给分子分母同乘分母的有理化因式$3+2\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\\&=\dfrac{3\sqrt{2} + 2×(\sqrt{2})^2 +3 +2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}\\&=\dfrac{3\sqrt{2}+4+3+2\sqrt{2}}{9-8}\\&=5\sqrt{2}+7\end{aligned}$
【答案】
$5\sqrt{2} + 7$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的综合题，解题核心是先通过配方法求出x、y的取值，再按照二次根式运算规则完成化简，计算过程中要注意二次根式乘法运算的正确性，避免符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
⑥ 已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}$，则代数式$a^3 + 4a^2 - a + 6$的值是
$6$
。答案
$6$
解析
【分析】
首先，已知的a的表达式分母含有二次根式，第一步需要先对a进行分母有理化，得到a的最简形式。如果直接将a代入三次代数式计算会非常繁琐，因此我们可以通过对a的最简式变形得到二次整式的等量关系，再将所求的三次代数式拆项、因式分解，利用整体代入降次的方法简化计算，即可快速求出结果。
【解析】
步骤1：对a进行分母有理化
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$
步骤2：变形得到整式等量关系
将$a=\sqrt{5}-2$移项得$a+2=\sqrt{5}$，两边同时平方：
$(a+2)^2=(\sqrt{5})^2$
展开左边得$a^2 +4a +4=5$，整理得$a^2 +4a=1$
步骤3：化简所求代数式并整体代入
对$a^3 +4a^2 -a +6$前两项提取公因式a：
$a^3 +4a^2 -a +6=a(a^2 +4a)-a +6$
将$a^2 +4a=1$代入上式：
原式$=a×1 -a +6=a -a +6=6$
【答案】
$6$
【知识点】
分母有理化，代数式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题是二次根式相关代数求值的典型题型，解题核心是先对含二次根式的分式分母有理化，再通过变形得到低次整式的等量关系，利用整体代入降次的方法避免高次运算，有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7
首先，已知的a的表达式分母含有二次根式，第一步需要先对a进行分母有理化，得到a的最简形式。如果直接将a代入三次代数式计算会非常繁琐，因此我们可以通过对a的最简式变形得到二次整式的等量关系，再将所求的三次代数式拆项、因式分解，利用整体代入降次的方法简化计算，即可快速求出结果。
【解析】
步骤1：对a进行分母有理化
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2$
步骤2：变形得到整式等量关系
将$a=\sqrt{5}-2$移项得$a+2=\sqrt{5}$，两边同时平方：
$(a+2)^2=(\sqrt{5})^2$
展开左边得$a^2 +4a +4=5$，整理得$a^2 +4a=1$
步骤3：化简所求代数式并整体代入
对$a^3 +4a^2 -a +6$前两项提取公因式a：
$a^3 +4a^2 -a +6=a(a^2 +4a)-a +6$
将$a^2 +4a=1$代入上式：
原式$=a×1 -a +6=a -a +6=6$
【答案】
$6$
【知识点】
分母有理化，代数式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题是二次根式相关代数求值的典型题型，解题核心是先对含二次根式的分式分母有理化，再通过变形得到低次整式的等量关系，利用整体代入降次的方法避免高次运算，有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7
7 设$\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则$a^2+(1+\sqrt{7})ab$的值是________。
答案
$10$
解析
【分析】要解决这个问题，我们分三步思考：首先，原式是分母含根号的分式，无法直接判断大小，所以第一步需要先对原式进行分母有理化，化简为最简二次根式形式；其次，根据二次根式的估算方法，确定化简后数值的范围，从而得到整数部分a，再用“原数 - 整数部分”得到小数部分b；最后将a、b代入所求代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
第一步：对$\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}$进行分母有理化：
分子分母同乘$3+\sqrt{7}$，得：
$\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{9-7}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}$
第二步：确定整数部分$a$和小数部分$b$：
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$
$\therefore 3+2＜3+\sqrt{7}＜3+3$，即$5＜3+\sqrt{7}＜6$
两边同时除以2，得：$\dfrac{5}{2}＜\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}＜3$，即$2.5＜\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}＜3$
$\therefore$ 整数部分$a=2$
小数部分$b=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}-a=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}-2=\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}$
第三步：代入代数式计算：
将$a=2$，$b=\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}$代入$a^2+(1+\sqrt{7})ab$：
$\begin{aligned}原式&=2^2 + (1+\sqrt{7})×2×\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}\\&=4 + (1+\sqrt{7})(\sqrt{7}-1)\\&=4 + [(\sqrt{7})^2 - 1^2]\\&=4 + (7-1)\\&=10\end{aligned}$
【答案】$10$
【知识点】分母有理化；无理数估算；代数式求值
【点评】本题是二次根式相关的典型综合题，解题核心是先通过分母有理化化简原式，再准确估算无理数的范围得到整数部分和小数部分，计算过程中巧用平方差公式可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：对$\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}$进行分母有理化：
分子分母同乘$3+\sqrt{7}$，得：
$\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{9-7}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}$
第二步：确定整数部分$a$和小数部分$b$：
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$
$\therefore 3+2＜3+\sqrt{7}＜3+3$，即$5＜3+\sqrt{7}＜6$
两边同时除以2，得：$\dfrac{5}{2}＜\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}＜3$，即$2.5＜\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}＜3$
$\therefore$ 整数部分$a=2$
小数部分$b=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}-a=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}-2=\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}$
第三步：代入代数式计算：
将$a=2$，$b=\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}$代入$a^2+(1+\sqrt{7})ab$：
$\begin{aligned}原式&=2^2 + (1+\sqrt{7})×2×\dfrac{\sqrt{7}-1}{2}\\&=4 + (1+\sqrt{7})(\sqrt{7}-1)\\&=4 + [(\sqrt{7})^2 - 1^2]\\&=4 + (7-1)\\&=10\end{aligned}$
【答案】$10$
【知识点】分母有理化；无理数估算；代数式求值
【点评】本题是二次根式相关的典型综合题，解题核心是先通过分母有理化化简原式，再准确估算无理数的范围得到整数部分和小数部分，计算过程中巧用平方差公式可大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】0.7
⑧ 若两个代数式$M$与$N$满足$M· N=-1$，则称这两个代数式互为友好因式，则$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的友好因式是
$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
。答案
$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的“友好因式”的定义，两个代数式的乘积为-1，因此要求$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的友好因式，只需用-1除以$\sqrt{3}+\sqrt{5}$即可。得到的分式分母含有二次根式，需要利用分母有理化的方法，结合平方差公式，给分子分母同时乘分母的有理化因式$\sqrt{3}-\sqrt{5}$，化简后就能得到结果。
【解析】
设$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的友好因式为$N$，根据友好因式的定义可得：
$(\sqrt{3}+\sqrt{5}) · N = -1$
因此：
$N = \frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
对上述分式进行分母有理化，分子、分母同时乘以$\sqrt{3}-\sqrt{5}$：
$N = \frac{-1 × (\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$
根据平方差公式计算分母：$(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2=3-5=-2$
代入化简得：
$N = \frac{-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的基本运算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握分母有理化的操作方法，只要能正确运用平方差公式化简分式，就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的“友好因式”的定义，两个代数式的乘积为-1，因此要求$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的友好因式，只需用-1除以$\sqrt{3}+\sqrt{5}$即可。得到的分式分母含有二次根式，需要利用分母有理化的方法，结合平方差公式，给分子分母同时乘分母的有理化因式$\sqrt{3}-\sqrt{5}$，化简后就能得到结果。
【解析】
设$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的友好因式为$N$，根据友好因式的定义可得：
$(\sqrt{3}+\sqrt{5}) · N = -1$
因此：
$N = \frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
对上述分式进行分母有理化，分子、分母同时乘以$\sqrt{3}-\sqrt{5}$：
$N = \frac{-1 × (\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}$
根据平方差公式计算分母：$(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2=3-5=-2$
代入化简得：
$N = \frac{-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{-2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的基本运算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握分母有理化的操作方法，只要能正确运用平方差公式化简分式，就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
9 已知a为实数，且$a + 2\sqrt{6}$与$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$都是整数，则a的值为
$5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$
。答案
$5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$
[提示:因为$a+2\sqrt{6}$是整数,所以可设$a=x-2\sqrt{6}$($x$为整数)。
此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{x-2\sqrt{6}}=\frac{x+2\sqrt{6}}{x^2-24}=\frac{x}{x^2-24}+\frac{1}{x^2-24}· 2\sqrt{6}$,因为$\frac{1}{a}-2\sqrt{6}$是整数,所以$x^2-24=1$,即$x=5$或$x=-5$,所以$a=5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$。]
[提示:因为$a+2\sqrt{6}$是整数,所以可设$a=x-2\sqrt{6}$($x$为整数)。
此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{x-2\sqrt{6}}=\frac{x+2\sqrt{6}}{x^2-24}=\frac{x}{x^2-24}+\frac{1}{x^2-24}· 2\sqrt{6}$,因为$\frac{1}{a}-2\sqrt{6}$是整数,所以$x^2-24=1$,即$x=5$或$x=-5$,所以$a=5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$。]
解析
【分析】
解题时首先观察到已知条件中$a + 2\sqrt{6}$是整数，因此可以通过设参数的方法用整数表示$a$，即设$a = x - 2\sqrt{6}$（$x$为整数）。再将$a$代入$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$中，对$\frac{1}{a}$进行分母有理化，根据最终结果为整数（有理数）的特点，可知式中无理数$\sqrt{6}$的系数需要满足对应条件，进而求出参数$x$的值，最终得到$a$的取值。
【解析】
设$a + 2\sqrt{6} = x$，其中$x$为整数，则$a = x - 2\sqrt{6}$。
对$\frac{1}{a}$进行分母有理化：
$\frac{1}{a} = \frac{1}{x - 2\sqrt{6}} = \frac{x + 2\sqrt{6}}{(x - 2\sqrt{6})(x + 2\sqrt{6})} = \frac{x + 2\sqrt{6}}{x^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{x + 2\sqrt{6}}{x^2 - 24}$
将上式整理为有理数加无理数的形式：
$\frac{1}{a} = \frac{x}{x^2 - 24} + \frac{2}{x^2 - 24}\sqrt{6}$
代入$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$得：
$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6} = \frac{x}{x^2 - 24} + ( \frac{2}{x^2 - 24} - 2 )\sqrt{6}$
因为$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$是整数（有理数），而$\sqrt{6}$是无理数，所以无理项的系数必须为0，即：
$\frac{2}{x^2 - 24} - 2 = 0$
解得：$\frac{2}{x^2 - 24} = 2$，即$x^2 - 24 = 1$，$x^2 = 25$，所以$x = 5$或$x = -5$。
当$x = 5$时，$a = 5 - 2\sqrt{6}$；当$x = -5$时，$a = -5 - 2\sqrt{6}$。
【答案】
$5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$
【知识点】
分母有理化、无理数性质、换元法
【点评】
本题核心考查分母有理化的运算以及无理数的性质，通过设整数参数简化表达式是解题的突破口，解题过程中要注意分母有理化的计算准确性，求出结果后可代入原式验证是否符合题意。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到已知条件中$a + 2\sqrt{6}$是整数，因此可以通过设参数的方法用整数表示$a$，即设$a = x - 2\sqrt{6}$（$x$为整数）。再将$a$代入$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$中，对$\frac{1}{a}$进行分母有理化，根据最终结果为整数（有理数）的特点，可知式中无理数$\sqrt{6}$的系数需要满足对应条件，进而求出参数$x$的值，最终得到$a$的取值。
【解析】
设$a + 2\sqrt{6} = x$，其中$x$为整数，则$a = x - 2\sqrt{6}$。
对$\frac{1}{a}$进行分母有理化：
$\frac{1}{a} = \frac{1}{x - 2\sqrt{6}} = \frac{x + 2\sqrt{6}}{(x - 2\sqrt{6})(x + 2\sqrt{6})} = \frac{x + 2\sqrt{6}}{x^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{x + 2\sqrt{6}}{x^2 - 24}$
将上式整理为有理数加无理数的形式：
$\frac{1}{a} = \frac{x}{x^2 - 24} + \frac{2}{x^2 - 24}\sqrt{6}$
代入$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$得：
$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6} = \frac{x}{x^2 - 24} + ( \frac{2}{x^2 - 24} - 2 )\sqrt{6}$
因为$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$是整数（有理数），而$\sqrt{6}$是无理数，所以无理项的系数必须为0，即：
$\frac{2}{x^2 - 24} - 2 = 0$
解得：$\frac{2}{x^2 - 24} = 2$，即$x^2 - 24 = 1$，$x^2 = 25$，所以$x = 5$或$x = -5$。
当$x = 5$时，$a = 5 - 2\sqrt{6}$；当$x = -5$时，$a = -5 - 2\sqrt{6}$。
【答案】
$5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$
【知识点】
分母有理化、无理数性质、换元法
【点评】
本题核心考查分母有理化的运算以及无理数的性质，通过设整数参数简化表达式是解题的突破口，解题过程中要注意分母有理化的计算准确性，求出结果后可代入原式验证是否符合题意。
【难度系数】
0.6
⑩ 关于$x$的方程$3x - \frac{1}{2} = \frac{1}{1+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}$的解是
$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$
。答案
$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$
[提示:$3x-\frac{1}{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}$,$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$,$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$,
$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{99}-1}{2}$,$6x-1=\sqrt{99}-1$,$6x=3\sqrt{11}$,所以$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$。]
[提示:$3x-\frac{1}{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}$,$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$,$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$,
$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{99}-1}{2}$,$6x-1=\sqrt{99}-1$,$6x=3\sqrt{11}$,所以$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$。]
解析
【分析】
解题时首先观察方程右侧的求和项，每一项的分母都是两个二次根式的和，可先利用平方差公式对每一项进行分母有理化；分母有理化后可发现每一项化简后都是两个二次根式的差除以2的形式，累加时中间的二次根式会相互抵消，仅保留首尾两项，即可快速算出右侧的和；最后将右侧的结果代入原方程，解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
首先对右侧每一项进行分母有理化：
对形如$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$（$a＞b＞0$）的分式，分子分母同乘$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，利用平方差公式可完成分母有理化。
因此原方程右侧可变形为：
$\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$
化简每一项得：
$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$
累加后中间项全部抵消，仅剩首尾两项：
$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{99}-1}{2}$
两边同乘2消去分母：
$6x-1=\sqrt{99}-1$
化简$\sqrt{99}=3\sqrt{11}$，移项得：
$6x=3\sqrt{11}$
解得$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$
【答案】
$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$
【知识点】
1.分母有理化 2.二次根式化简 3.解一元一次方程
【点评】
本题将分母有理化、二次根式运算与一元一次方程求解结合，核心是通过分母有理化实现裂项相消，简化累加运算，解题时要善于观察分式的结构特征，找到简便计算的规律，避免逐项计算的繁琐。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察方程右侧的求和项，每一项的分母都是两个二次根式的和，可先利用平方差公式对每一项进行分母有理化；分母有理化后可发现每一项化简后都是两个二次根式的差除以2的形式，累加时中间的二次根式会相互抵消，仅保留首尾两项，即可快速算出右侧的和；最后将右侧的结果代入原方程，解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
首先对右侧每一项进行分母有理化：
对形如$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$（$a＞b＞0$）的分式，分子分母同乘$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，利用平方差公式可完成分母有理化。
因此原方程右侧可变形为：
$\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{(\sqrt{99}+\sqrt{97})(\sqrt{99}-\sqrt{97})}$
化简每一项得：
$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\dots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{97}}{2}$
累加后中间项全部抵消，仅剩首尾两项：
$3x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{99}-1}{2}$
两边同乘2消去分母：
$6x-1=\sqrt{99}-1$
化简$\sqrt{99}=3\sqrt{11}$，移项得：
$6x=3\sqrt{11}$
解得$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$
【答案】
$x=\frac{\sqrt{11}}{2}$
【知识点】
1.分母有理化 2.二次根式化简 3.解一元一次方程
【点评】
本题将分母有理化、二次根式运算与一元一次方程求解结合，核心是通过分母有理化实现裂项相消，简化累加运算，解题时要善于观察分式的结构特征，找到简便计算的规律，避免逐项计算的繁琐。
【难度系数】
0.6
