登录
11 计算：
(1) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + ( \sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}} ) - 2( \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6} )$；
(2) $\sqrt{50} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $\frac{m + n - 2\sqrt{mn}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$；
(4) $\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$。
(1) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + ( \sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}} ) - 2( \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6} )$；
(2) $\sqrt{50} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $\frac{m + n - 2\sqrt{mn}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$；
(4) $\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}$。
答案
(1) $-1$
(2) $6\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{m}-\sqrt{n}$
(4) $x-\sqrt{x^2-1}$
(2) $6\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{m}-\sqrt{n}$
(4) $x-\sqrt{x^2-1}$
解析
【分析】
这4道题均属于二次根式的运算类题目，解题思路如下：①遇到分母含根式的先进行分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式消去分母中的根号；②将所有二次根式化为最简二次根式；③有括号先去括号，再合并同类二次根式；整式的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）同样适用于二次根式运算，可利用公式对分子因式分解简化计算。
【解析】
(1) 先对第一项分母有理化，再化简其余根式、去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} + 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2×\frac{\sqrt{2}}{4} - 2\sqrt{6}\\&=\sqrt{2}-1 + 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6}\\&=(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (2\sqrt{6}-2\sqrt{6}) -1\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先对第二项分母有理化，再化简各根式、合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} + 3×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=5\sqrt{2} - (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \sqrt{3}\\&=5\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3}\\&=6\sqrt{2}\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式对分子因式分解，再约分（默认$m≥0,n≥0,m≠ n$保证根式有意义）：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}\\&=\sqrt{m}-\sqrt{n}\end{aligned}$
(4) 分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差、完全平方公式计算（默认$x≥1$保证根式有意义）：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})}\\&=\frac{(x+1)+(x-1)-2\sqrt{(x+1)(x-1)}}{(x+1)-(x-1)}\\&=\frac{2x - 2\sqrt{x^2-1}}{2}\\&=x - \sqrt{x^2-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{6\sqrt{2}}$；(3) $\boldsymbol{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$；(4) $\boldsymbol{x-\sqrt{x^2-1}}$
【知识点】
分母有理化，二次根式混合运算，乘法公式运用
【点评】
本题是二次根式运算的基础巩固题型，重点考察分母有理化的操作方法、最简二次根式的化简规则，以及乘法公式在根式运算中的灵活运用，运算时注意先化简再合并，同时需保证运算过程中根式有意义。
【难度系数】
0.7
这4道题均属于二次根式的运算类题目，解题思路如下：①遇到分母含根式的先进行分母有理化，给分子分母同乘分母的有理化因式消去分母中的根号；②将所有二次根式化为最简二次根式；③有括号先去括号，再合并同类二次根式；整式的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）同样适用于二次根式运算，可利用公式对分子因式分解简化计算。
【解析】
(1) 先对第一项分母有理化，再化简其余根式、去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} + 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2×\frac{\sqrt{2}}{4} - 2\sqrt{6}\\&=\sqrt{2}-1 + 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{6}\\&=(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (2\sqrt{6}-2\sqrt{6}) -1\\&=-1\end{aligned}$
(2) 先对第二项分母有理化，再化简各根式、合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=5\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} + 3×\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=5\sqrt{2} - (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \sqrt{3}\\&=5\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3}\\&=6\sqrt{2}\end{aligned}$
(3) 利用完全平方公式对分子因式分解，再约分（默认$m≥0,n≥0,m≠ n$保证根式有意义）：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}\\&=\sqrt{m}-\sqrt{n}\end{aligned}$
(4) 分子分母同乘分母的有理化因式，利用平方差、完全平方公式计算（默认$x≥1$保证根式有意义）：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})}\\&=\frac{(x+1)+(x-1)-2\sqrt{(x+1)(x-1)}}{(x+1)-(x-1)}\\&=\frac{2x - 2\sqrt{x^2-1}}{2}\\&=x - \sqrt{x^2-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{6\sqrt{2}}$；(3) $\boldsymbol{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$；(4) $\boldsymbol{x-\sqrt{x^2-1}}$
【知识点】
分母有理化，二次根式混合运算，乘法公式运用
【点评】
本题是二次根式运算的基础巩固题型，重点考察分母有理化的操作方法、最简二次根式的化简规则，以及乘法公式在根式运算中的灵活运用，运算时注意先化简再合并，同时需保证运算过程中根式有意义。
【难度系数】
0.7
12 已知 $x=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}$，求 $\dfrac{x^2 -6x +7}{x -3}$ 的值。
答案
因为$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$,所以$x-3=3+2\sqrt{2}-3=2\sqrt{2}$,
则原式$=\frac{(x-3)^2-2}{x-3}=\frac{8-2}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
则原式$=\frac{(x-3)^2-2}{x-3}=\frac{8-2}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先需对已知的x的表达式进行分母有理化，得到x的最简形式，进而求出x-3的值；再观察所求分式的分子结构，通过配方法将分子转化为含有(x-3)的式子，最后采用整体代入的方法计算即可，无需直接计算x²的值，能有效简化计算过程。
【解析】
第一步：化简x的值，对x进行分母有理化：
$x=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$
由此可得$x-3=3+2\sqrt{2}-3=2\sqrt{2}$
第二步：变形所求分式：
对分子$x^2-6x+7$配方得：$x^2-6x+7=(x^2-6x+9)-2=(x-3)^2-2$
因此原式可改写为：
$\dfrac{(x-3)^2-2}{x-3}$
第三步：整体代入计算：
将$x-3=2\sqrt{2}$代入上式得：
$\dfrac{(2\sqrt{2})^2-2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{8-2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{6}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.分母有理化 2.整体代入求值 3.二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算中的典型题型，综合考查了分母有理化、代数式配方变形的技巧，通过先化简已知条件、再整体代入求值的思路，可大幅降低计算量，减少出错概率，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.6
解题时首先需对已知的x的表达式进行分母有理化，得到x的最简形式，进而求出x-3的值；再观察所求分式的分子结构，通过配方法将分子转化为含有(x-3)的式子，最后采用整体代入的方法计算即可，无需直接计算x²的值，能有效简化计算过程。
【解析】
第一步：化简x的值，对x进行分母有理化：
$x=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2})^2}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$
由此可得$x-3=3+2\sqrt{2}-3=2\sqrt{2}$
第二步：变形所求分式：
对分子$x^2-6x+7$配方得：$x^2-6x+7=(x^2-6x+9)-2=(x-3)^2-2$
因此原式可改写为：
$\dfrac{(x-3)^2-2}{x-3}$
第三步：整体代入计算：
将$x-3=2\sqrt{2}$代入上式得：
$\dfrac{(2\sqrt{2})^2-2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{8-2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{6}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.分母有理化 2.整体代入求值 3.二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算中的典型题型，综合考查了分母有理化、代数式配方变形的技巧，通过先化简已知条件、再整体代入求值的思路，可大幅降低计算量，减少出错概率，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.6
13 已知 $x=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$y=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，求 $x^2 - 2xy + y^2$ 的值。
答案
$96$
解析
【分析】
首先观察待求代数式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方差公式的结构特征，可先因式分解为$(x-y)^2$，简化计算过程。接下来对已知的x、y进行分母有理化，求出x和y的最简形式，再计算x-y的值，最后代入化简后的代数式即可求出结果。
【解析】
1. 因式分解待求式：
根据完全平方差公式，可得$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$。
2. 对x进行分母有理化：
$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}=5-2\sqrt{6}$
3. 对y进行分母有理化：
$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2}=5+2\sqrt{6}$
4. 计算x-y的值：
$x-y=(5-2\sqrt{6})-(5+2\sqrt{6})=-4\sqrt{6}$
5. 代入$(x-y)^2$计算：
$(x-y)^2=(-4\sqrt{6})^2=16×6=96$
【答案】
$96$
【知识点】
完全平方公式、分母有理化、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题，解题时先对待求式变形再计算，可有效降低计算量，避免直接代入计算的繁琐，考查了公式运用和二次根式化简的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察待求代数式$x^2 - 2xy + y^2$，符合完全平方差公式的结构特征，可先因式分解为$(x-y)^2$，简化计算过程。接下来对已知的x、y进行分母有理化，求出x和y的最简形式，再计算x-y的值，最后代入化简后的代数式即可求出结果。
【解析】
1. 因式分解待求式：
根据完全平方差公式，可得$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$。
2. 对x进行分母有理化：
$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}=5-2\sqrt{6}$
3. 对y进行分母有理化：
$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2}=5+2\sqrt{6}$
4. 计算x-y的值：
$x-y=(5-2\sqrt{6})-(5+2\sqrt{6})=-4\sqrt{6}$
5. 代入$(x-y)^2$计算：
$(x-y)^2=(-4\sqrt{6})^2=16×6=96$
【答案】
$96$
【知识点】
完全平方公式、分母有理化、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题，解题时先对待求式变形再计算，可有效降低计算量，避免直接代入计算的繁琐，考查了公式运用和二次根式化简的能力。
【难度系数】
0.7
