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14 认真阅读下列解答过程,并解答下列各题。
比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$与$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小。
解: $\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$。
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$。
因为$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
所以$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(1) 试比较$\sqrt{6}-\sqrt{5}$与$\sqrt{5}-2$的大小；
(2) 尝试计算: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{10+\sqrt{99}}$。
比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$与$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小。
解: $\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$。
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$。
因为$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
所以$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(1) 试比较$\sqrt{6}-\sqrt{5}$与$\sqrt{5}-2$的大小；
(2) 尝试计算: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{10+\sqrt{99}}$。
答案
(1) $\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$,$\sqrt{5}-2=\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}{\sqrt{5}+2}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$,
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2＞0$,所以$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{5}+2}$,即$\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{10+\sqrt{99}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dots+10-\sqrt{99}=10-1=9$。
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2＞0$,所以$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{5}+2}$,即$\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{10+\sqrt{99}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\dots+10-\sqrt{99}=10-1=9$。
解析
【分析】
本题是方法迁移类阅读题型，解题核心是运用材料给出的有理化技巧。第(1)问类比示例做法，将两个待比较的二次根式减法式分别做分子有理化，转化为分子均为1的正分数，再根据“分子相同的正分数，分母越大分数值越小”的规律比较大小；第(2)问对每一项做分母有理化，拆成两个二次根式的差的形式，利用中间项相互抵消的规律简化计算，最终仅需计算首尾两项的差即可得到结果。
【解析】
(1) 对两个式子分别进行分子有理化：
$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$
$\sqrt{5}-2=\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}{\sqrt{5}+2}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2＞0$，分子同为1的正分数，分母越大分数越小，因此$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{5}+2}$，即$\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$。
(2) 对每一项进行分母有理化拆分：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，……，$\frac{1}{10+\sqrt{99}}=10-\sqrt{99}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(10-\sqrt{99})\\&=10-1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$；(2) $9$
【知识点】
分子有理化，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题重点考查对新方法的迁移应用能力，需要先读懂示例的有理化逻辑，再灵活运用到大小比较和连加运算中，计算时要注意裂项抵消的规律，避免漏项错算。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类阅读题型，解题核心是运用材料给出的有理化技巧。第(1)问类比示例做法，将两个待比较的二次根式减法式分别做分子有理化，转化为分子均为1的正分数，再根据“分子相同的正分数，分母越大分数值越小”的规律比较大小；第(2)问对每一项做分母有理化，拆成两个二次根式的差的形式，利用中间项相互抵消的规律简化计算，最终仅需计算首尾两项的差即可得到结果。
【解析】
(1) 对两个式子分别进行分子有理化：
$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$
$\sqrt{5}-2=\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}{\sqrt{5}+2}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞\sqrt{5}+2＞0$，分子同为1的正分数，分母越大分数越小，因此$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{5}+2}$，即$\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$。
(2) 对每一项进行分母有理化拆分：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，……，$\frac{1}{10+\sqrt{99}}=10-\sqrt{99}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(10-\sqrt{99})\\&=10-1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}-\sqrt{5}＜\sqrt{5}-2$；(2) $9$
【知识点】
分子有理化，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题重点考查对新方法的迁移应用能力，需要先读懂示例的有理化逻辑，再灵活运用到大小比较和连加运算中，计算时要注意裂项抵消的规律，避免漏项错算。
【难度系数】
0.7
