登录
9. 如图所示，$∠ 1=52°$，$∠ 2=128°$，$∠ C=∠ D$.
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）探索$∠ A$与$∠ F$的数量关系，并说明理由.
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）探索$∠ A$与$∠ F$的数量关系，并说明理由.
答案
9.(1)$BD// CE$,理由如下：
因为$∠ 1+∠ 2=52°+128°=180°$,
所以$BD// CE$.
(2)$∠ A=∠ F$,理由如下：
由(1)知$BD// CE$,故$∠ D+∠ DEC=180°$.
而$∠ C=∠ D$,因此$∠ C+∠ DEC=180°$,
故$AC// DF$,所以$∠ A=∠ F$.
因为$∠ 1+∠ 2=52°+128°=180°$,
所以$BD// CE$.
(2)$∠ A=∠ F$,理由如下：
由(1)知$BD// CE$,故$∠ D+∠ DEC=180°$.
而$∠ C=∠ D$,因此$∠ C+∠ DEC=180°$,
故$AC// DF$,所以$∠ A=∠ F$.
解析
【分析】
（1）判断两条直线是否平行可借助平行线的判定定理分析，观察图形可知∠1和∠2是直线BD、CE被同一条直线所截形成的同旁内角，先计算两个角的度数和，若和为180°，即可依据“同旁内角互补，两直线平行”判定BD与CE平行。
（2）要推导∠A和∠F的数量关系，可通过证明AC与DF平行得到。首先利用（1）中BD//CE的结论，结合平行线的性质得到和∠D、∠C相关的角的关系，再代入已知∠C=∠D的条件，推导得出AC和DF的平行关系，最后根据平行线的性质即可得到∠A和∠F的关系。
【解析】
（1）$BD// CE$，理由如下：
已知$∠1=52°$，$∠2=128°$，因此$∠1+∠2=52°+128°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$BD// CE$。
（2）$∠ A=∠ F$，理由如下：
由（1）知$BD// CE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ D+∠ DEC=180°$。
又已知$∠ C=∠ D$，等量代换可得$∠ C+∠ DEC=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AC// DF$。
再根据“两直线平行，内错角相等”，因此$∠ A=∠ F$。
【答案】
(1)$BD// CE$，理由如下：因为$∠ 1+∠ 2=52°+128°=180°$，所以$BD// CE$。
(2)$∠ A=∠ F$，理由如下：由(1)知$BD// CE$，故$∠ D+∠ DEC=180°$。而$∠ C=∠ D$，因此$∠ C+∠ DEC=180°$，故$AC// DF$，所以$∠ A=∠ F$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线相关定理的基础综合应用题，解题时需要逐步推导，先利用已知角的数量关系判定第一组直线平行，再结合已知角相等的条件推出第二组直线平行，最终得到所求角的关系，能够很好地考查对平行线判定和性质的区分与应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断两条直线是否平行可借助平行线的判定定理分析，观察图形可知∠1和∠2是直线BD、CE被同一条直线所截形成的同旁内角，先计算两个角的度数和，若和为180°，即可依据“同旁内角互补，两直线平行”判定BD与CE平行。
（2）要推导∠A和∠F的数量关系，可通过证明AC与DF平行得到。首先利用（1）中BD//CE的结论，结合平行线的性质得到和∠D、∠C相关的角的关系，再代入已知∠C=∠D的条件，推导得出AC和DF的平行关系，最后根据平行线的性质即可得到∠A和∠F的关系。
【解析】
（1）$BD// CE$，理由如下：
已知$∠1=52°$，$∠2=128°$，因此$∠1+∠2=52°+128°=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$BD// CE$。
（2）$∠ A=∠ F$，理由如下：
由（1）知$BD// CE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ D+∠ DEC=180°$。
又已知$∠ C=∠ D$，等量代换可得$∠ C+∠ DEC=180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AC// DF$。
再根据“两直线平行，内错角相等”，因此$∠ A=∠ F$。
【答案】
(1)$BD// CE$，理由如下：因为$∠ 1+∠ 2=52°+128°=180°$，所以$BD// CE$。
(2)$∠ A=∠ F$，理由如下：由(1)知$BD// CE$，故$∠ D+∠ DEC=180°$。而$∠ C=∠ D$，因此$∠ C+∠ DEC=180°$，故$AC// DF$，所以$∠ A=∠ F$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题是平行线相关定理的基础综合应用题，解题时需要逐步推导，先利用已知角的数量关系判定第一组直线平行，再结合已知角相等的条件推出第二组直线平行，最终得到所求角的关系，能够很好地考查对平行线判定和性质的区分与应用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图所示，C，D是直线AB上两点，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，DE平分$∠ CDF$，$FE // DC$.
（1）求证：$CE // DF$；
（2）若$∠ 3 = 130°$，求$∠ DEF$的度数.
（1）求证：$CE // DF$；
（2）若$∠ 3 = 130°$，求$∠ DEF$的度数.
答案
10.(1)证明:因为$∠ 1+∠ 3=180°$,$∠ 1+∠ 2=180°$,
所以$∠ 2=∠ 3$,故$CE// DF$.
(2)$∠ DEF=25°$.
所以$∠ 2=∠ 3$,故$CE// DF$.
(2)$∠ DEF=25°$.
解析
【分析】
（1）要证明$CE// DF$，可通过平行线的判定定理，寻找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角。已知$∠1+∠2=180°$，结合平角的定义可得$∠1+∠3=180°$，根据同角的补角相等可推出$∠2=∠3$，即可由同位角相等证明两直线平行。（2）求$∠DEF$的度数，首先由$CE// DF$的性质结合$∠3$的度数求出$∠CDF$的度数，再根据角平分线的定义求出$∠EDC$的度数，最后利用$FE// DC$的性质，由内错角相等即可得到$∠DEF$的度数。
【解析】
（1）证明：$\because C,D$是直线$AB$上两点，
$\therefore ∠ 1+∠ 3=180°$（平角的定义），
又$\because ∠ 1+∠ 2=180°$（已知），
$\therefore ∠ 2=∠ 3$（同角的补角相等），
$\therefore CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
（2）解：由（1）得$CE// DF$，
$\therefore ∠ 3+∠ CDF=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ 3=130°$，
$\therefore ∠ CDF=180°-130°=50°$，
$\because DE$平分$∠ CDF$，
$\therefore ∠ EDC=\frac{1}{2}∠ CDF=\frac{1}{2}×50°=25°$（角平分线的定义），
又$\because FE// DC$（已知），
$\therefore ∠ DEF=∠ EDC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ DEF=25°$。
【答案】
（1）证明见上述过程；（2）$∠ DEF=25°$
【知识点】
平行线的判定与性质，补角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础常规题，综合考查了平行线的判定、性质定理和角平分线的相关知识，解题的关键是理清角之间的数量关系，合理选择对应的几何定理推导计算。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$CE// DF$，可通过平行线的判定定理，寻找相等的同位角、内错角或互补的同旁内角。已知$∠1+∠2=180°$，结合平角的定义可得$∠1+∠3=180°$，根据同角的补角相等可推出$∠2=∠3$，即可由同位角相等证明两直线平行。（2）求$∠DEF$的度数，首先由$CE// DF$的性质结合$∠3$的度数求出$∠CDF$的度数，再根据角平分线的定义求出$∠EDC$的度数，最后利用$FE// DC$的性质，由内错角相等即可得到$∠DEF$的度数。
【解析】
（1）证明：$\because C,D$是直线$AB$上两点，
$\therefore ∠ 1+∠ 3=180°$（平角的定义），
又$\because ∠ 1+∠ 2=180°$（已知），
$\therefore ∠ 2=∠ 3$（同角的补角相等），
$\therefore CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
（2）解：由（1）得$CE// DF$，
$\therefore ∠ 3+∠ CDF=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ 3=130°$，
$\therefore ∠ CDF=180°-130°=50°$，
$\because DE$平分$∠ CDF$，
$\therefore ∠ EDC=\frac{1}{2}∠ CDF=\frac{1}{2}×50°=25°$（角平分线的定义），
又$\because FE// DC$（已知），
$\therefore ∠ DEF=∠ EDC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ DEF=25°$。
【答案】
（1）证明见上述过程；（2）$∠ DEF=25°$
【知识点】
平行线的判定与性质，补角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础常规题，综合考查了平行线的判定、性质定理和角平分线的相关知识，解题的关键是理清角之间的数量关系，合理选择对应的几何定理推导计算。
【难度系数】
0.8
