11.如图所示，$∠ ABC+∠ ECB=180°$，$∠ P=∠ Q$. 求证：$∠ 1=∠ 2$.

11.因为$∠ ABC+∠ ECB=180°$,
所以$AB// CD$,所以$∠ ABC=∠ BCD$.
而$∠ P=∠ Q$,因此$PB// CQ$,
所以$∠ PBC=∠ BCQ$,
所以 $∠ ABC-∠ PBC = ∠ BCD-∠ BCQ$,即$∠ 1=∠ 2$.

【分析】
解题时先从已知的同旁内角互补的条件入手，根据平行线的判定定理推出AB//CD，得到一组内错角相等；再由∠P=∠Q这一条件，推出PB//CQ，得到另一组内错角相等；最后将两组相等的角做差，即可证得∠1=∠2。每一步要对应平行线的判定或性质定理，理清角与直线平行的对应关系。
【解析】
∵ ∠ABC+∠ECB=180°，
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠P=∠Q，
∴ PB//CQ（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠PBC=∠BCQ（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC - ∠PBC = ∠BCD - ∠BCQ，即∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角的和差运算
【点评】
本题是平行线相关的基础证明题，解题核心是灵活区分和运用平行线的判定定理与性质定理，通过角的关系推导线平行，再由线平行得到角的关系，结合角的和差即可完成推导，要注意区分平行线判定和性质的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8

12. 请准备一副三角板，将三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB=45°，∠COD=30°.
（1）如图1所示，∠BOD=；
（2）保持三角板OCD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转，当OB落在直线EF上时，三角板AOB停止运动.
①当三角板AOB旋转到某个位置，恰好AB//OD，请在图2中画出此时三角板AOB的位置，并求出∠AOE的度数；
②在三角板AOB旋转过程中，∠AOD与∠BOC之间是否始终保持着某种数量关系？如果是，请直接写出它们的数量关系.

12.(1)$105°$
(2)①图略 $∠ AOE=60°$;
②$∠ AOD$与$∠ BOC$始终保持着某种数量关系:$∠ AOD-∠ BOC=15°$.

【分析】
（1）已知直线EF为平角，度数为180°，∠AOB、∠BOD、∠COD三个角共同组成该平角，已知其中两个角的度数，直接用平角度数减去已知两角即可求出∠BOD。
（2）①首先根据三角板特征可知AB垂直于OA，结合AB//OD的条件，可推出OD垂直于OA，得到∠AOD=90°，再结合已知的∠COD=30°，利用平角的性质即可求出∠AOE的度数。
②设旋转过程中∠AOE的度数为参数，分别用该参数表示出∠AOD和∠BOC，将两个式子作差即可消去参数，得到固定的数量关系。
【解析】
（1）
∵点O在直线EF上，
∴$∠ EOF=180°$
∴$∠ BOD=180°-∠ AOB-∠ COD=180°-45°-30°=105°$
（2）①画图略，
∵三角板AOB为等腰直角三角板，$∠ OAB=90°$，
∴$AB⊥ OA$
又
∵$AB// OD$，
∴$OD⊥ OA$，即$∠ AOD=90°$
已知$∠ COD=30°$，
∴$∠ AOF=∠ AOD+∠ COD=90°+30°=120°$
根据平角定义，$∠ AOE+∠ AOF=180°$，
∴$∠ AOE=180°-120°=60°$
②始终存在数量关系，推导如下：
设旋转过程中$∠ AOE=α$，
则$∠ AOF=180°-α$，
$∠ AOD=∠ AOF-∠ COD=(180°-α)-30°=150°-α$，
$∠ BOC=∠ AOF-∠ AOB=(180°-α)-45°=135°-α$，
∴$∠ AOD-∠ BOC=(150°-α)-(135°-α)=15°$
【答案】
（1）$105°$
（2）①画图略，$∠ AOE=60°$；②$∠ AOD - ∠ BOC=15°$
【知识点】
平角的定义；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合三角板旋转考查角的计算和平行线的性质，解题时需要抓住旋转过程中三角板的固定角度不变，结合平角性质进行推导，能够锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7