17(2026·济宁任城区一模)云南某地一村民,2023年承包种植橙子树200亩,由于第一年收成不错,该村民每年都增加种植面积,到2025年共种植288亩.假设每年的增长率相同.
(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率.
(2)某水果批发店销售该种橙子,市场调查发现,当橙子售价为18元/千克时,每天能售出120千克,售价每降低1元,每天可多售出15千克,为了减少库存,该店决定降价促销,已知该橙子的平均成本价为8元/千克,若使销售该种橙子每天获利840元,则售价应降低多少元?

(1)设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为$x$,
根据题意,得$200(1+x)^2=288$,
解得$x_1=0.2=20\%,x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).
故该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为$20\%$.
(2)设售价应降价$y$元,则每千克的销售利润为$(18-y-8)$元,每天能售出$(120+15y)$千克,
根据题意,得$(18-y-8)(120+15y)=840$,
整理,得$y^2-2y-24=0$,
解得$y_1=6,y_2=-4$(不符合题意,舍去).
故售价应降低6元.
归纳总结 本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.

18 (2025·盐城建湖期中)已知关于x的一元二次方程$x^2 - (m+4)x + m + 3 = 0$。
(1)求证:无论实数m取何值,方程总有两个实数根;
(2)若方程两个根均为正整数,求负整数m的值。

(1)$\because b^2-4ac=(m+4)^2-4(m+3)=(m+2)^2≥0$,
$\therefore$无论实数$m$取何值,方程总有两个实数根.
(2)$x^2-(m+4)x+m+3=0$,
原方程可变形为$(x-1)[x-(m+3)]=0$.
解得$x_1=1,x_2=m+3$.
$\because$方程两个根均为正整数,$\therefore m+3＞0$,即$m＞-3$.
$\because m$是负整数,$\therefore m=-1$或$-2$.

19 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 5)x + 5m = 0$.
(1)若此方程的一个根是$x=2$,求方程的另一根;
(2)求证:这个一元二次方程一定有两个实数根;
(3)设该一元二次方程的两根为$a,b$,且2,$a,b$分别是一个直角三角形的三边长,求$m$的值.

(1)设方程的另一个根为$t$,
根据根与系数的关系,得$2+t=m+5,2t=5m$,
$\therefore 2t=5(t-3)$,解得$t=5$,即方程的另一个根为5.
(2)$\because b^2-4ac=(m+5)^2-4×5m=m^2-10m+25=(m-5)^2≥0$,$\therefore$这个一元二次方程一定有两个实数根.
(3)解方程$x^2-(m+5)x+5m=0$,得$x_1=5,x_2=m$,即$a=5,b=m$或$a=m,b=5$.
$\because 2,a,b$分别是一个直角三角形的三边长,
$\therefore 2^2+m^2=5^2$或$2^2+5^2=m^2$.
解方程$2^2+m^2=5^2$,得$m_1=\sqrt{21},m_2=-\sqrt{21}$(舍去),
解方程$2^2+5^2=m^2$,得$m_1=\sqrt{29},m_2=-\sqrt{29}$(舍去).
故$m$的值为$\sqrt{21}$或$\sqrt{29}$.

20（2026·南京建邺区期中）在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元.调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件.活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费.另外，制作义卖海报花费6元.
（1）若每件作品售价为10元，则售出件作品.
（2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款＝总销售额－总支出）

(1)24 [解析]$30-2×(10-7)=24$(件).
(2)设每件作品的售价是$x$元,则售出$[30-2(x-7)]$件,
根据题意,得$x[30-2(x-7)]-4×30-2×2(x-7)-6=100$,整理,得$x^2-20x+99=0$,解得$x_1=9,x_2=11$.
故每件作品的售价是9元或11元.