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7 解方程.
(1)$(2x - 3)^2 = 5(2x - 3)$;
(2)$(x + 8)(x + 1) = -12$.
(1)$(2x - 3)^2 = 5(2x - 3)$;
(2)$(x + 8)(x + 1) = -12$.
答案
(1)$(2x-3)^2=5(2x-3)$,
$(2x-3)^2-5(2x-3)=0,(2x-3)(2x-8)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$2x-8=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=4$.
(2)$(x+8)(x+1)=-12,x^2+9x+20=0$,
$(x+4)(x+5)=0,\therefore x_1=-4,x_2=-5$.
$(2x-3)^2-5(2x-3)=0,(2x-3)(2x-8)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$2x-8=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=4$.
(2)$(x+8)(x+1)=-12,x^2+9x+20=0$,
$(x+4)(x+5)=0,\therefore x_1=-4,x_2=-5$.
8 若关于x的一元二次方程$x^2 + bx + 12 = 0$的一个根是-2，则另外一个根为（
A.$x=8$
B.$x=6$
C.$x=-6$
D.$x=-8$
C
）。A.$x=8$
B.$x=6$
C.$x=-6$
D.$x=-8$
答案
C [解析]设方程的另外一个根为$t$,根据根与系数的关系,得$-2t=12$,解得$t=-6$.故选C.
一题多解 将$x=-2$代入原方程,得$-2b+16=0$,
$\therefore b=8,\therefore$原方程为$x^2+8x+12=0$,解得$x_1=-2,x_2=-6$.故选C.
一题多解 将$x=-2$代入原方程,得$-2b+16=0$,
$\therefore b=8,\therefore$原方程为$x^2+8x+12=0$,解得$x_1=-2,x_2=-6$.故选C.
9（广东广州大学附中自主招生）若关于$x$的一元二次方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是
$-1≤k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$
。答案
$-1≤k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$ [解析]$\because$关于$x$的一元二次方程$(1-2k)x^2-2\sqrt{k+1}x-1=0$有两个不相等的实数根,
$\therefore\begin{cases}1-2k≠0,\\k+1≥0,\\(-2\sqrt{k+1})^2-4×(-1)×(1-2k)＞0,\end{cases}$
解得$-1≤k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$.
$\therefore\begin{cases}1-2k≠0,\\k+1≥0,\\(-2\sqrt{k+1})^2-4×(-1)×(1-2k)＞0,\end{cases}$
解得$-1≤k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$.
10 已知$m,n$是$x^2 -4x +3=0$的两个根，则$m^2 -3m +n=$
1
.答案
1
11（2025·河北唐山二十六中月考）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价x元，下列方程正确的是（
A.$(65 - x - 45)(30 + 5x) = 800$
B.$(60 - x - 45)(30 - 5x) = 800$
C.$(65 - x)(30 + 5x) = 800$
D.$(65 - x)(30 - 5x) = 800$
A
）。A.$(65 - x - 45)(30 + 5x) = 800$
B.$(60 - x - 45)(30 - 5x) = 800$
C.$(65 - x)(30 + 5x) = 800$
D.$(65 - x)(30 - 5x) = 800$
答案
A
12（2026·山西运城稷山期末）去年8月底以来，某村旅游区的山体公园成为打卡点.如图，墙面AB=16 m，公园管理者计划用总长为42 m的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖区ACDE（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计，AB段不用栅栏，售卖区中间用栅栏FG分成两个矩形区域，点F，G分别在AB，CD边上）.如图，点E在线段AB上，若围成的售卖区的面积为120 m²，求售卖区的宽AC.
答案
设$AC=x\ \mathrm{m}$,则$CD=(42-3x)\ \mathrm{m}$.
$\because$围成的售卖区的面积为$120\ \mathrm{m}^2$,
$\therefore$根据题意列一元二次方程,得$x(42-3x)=120$,
解得$x_1=4,x_2=10$.
当$x=4$时,$CD=42-3×4=42-12=30＞16$,不合题意,舍去;
当$x=10$时,$CD=42-3×10=42-30=12＜16$,符合题意,$\therefore x=10$.故$AC$的长为$10\ \mathrm{m}$.
$\because$围成的售卖区的面积为$120\ \mathrm{m}^2$,
$\therefore$根据题意列一元二次方程,得$x(42-3x)=120$,
解得$x_1=4,x_2=10$.
当$x=4$时,$CD=42-3×4=42-12=30＞16$,不合题意,舍去;
当$x=10$时,$CD=42-3×10=42-30=12＜16$,符合题意,$\therefore x=10$.故$AC$的长为$10\ \mathrm{m}$.
13 若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且关于$x$的方程$x^2 - 2cx + a^2 + b^2 = 0$有两个相等的实数根，则这个三角形是（
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
C
）。A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
C
14 关于$x$的方程$(x-3)(x-2)=p^2$（$p$为常数）的根的情况，下列结论中正确的是(
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.根的符号与$p$的值有关
D
).A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.根的符号与$p$的值有关
答案
D [解析]关于$x$的方程$(x-3)(x-2)=p^2$($p$为常数),即$x^2-5x+6-p^2=0$.
根据根与系数的关系,方程的两个根的积为$(6-p^2)$,不能判断其正负,$\therefore$根的符号与$p$的值有关.故选D.
根据根与系数的关系,方程的两个根的积为$(6-p^2)$,不能判断其正负,$\therefore$根的符号与$p$的值有关.故选D.
15 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2k - 2)x + k^2 - 1 = 0 $ 有两个实数根，则 $ \sqrt{(k - 1)^2} - (\sqrt{2 - k})^2 $ 的化简结果是(
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -1 - 2k $
D.$ 2k - 3 $
A
).A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -1 - 2k $
D.$ 2k - 3 $
答案
A
16 若关于$x$的方程$kx^2 - (2k + 1)x + k = 0$有两个不相等的实根，则$k$的取值范围是
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
；若该方程的两个实根均为有理数，则整数$k$的最小值为2
。答案
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$，$2$
