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21 新考法模型应用 社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知AD =52 m，AB=28 m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路.已知铺花砖的面积为640 m².
(1)道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 125元？
(1)道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 125元？
答案
(1)若道路的宽为$x\ \mathrm{m}$,根据题意,得$(52-2x)(28-2x)=640$,
整理,得$x^2-40x+204=0$,
解得$x_1=34$(舍去),$x_2=6$.
故道路的宽为$6\ \mathrm{m}$.
(2)设月租金上涨$a$元时,停车场的月租金收入为10125元,
根据题意,得$(200+a)(50-\frac{a}{5})=10\ 125$,
整理,得$a^2-50a+625=0$,解得$a_1=a_2=25$.
故每个车位的月租金上涨25元时,停车场的月租金收入为10125元.
整理,得$x^2-40x+204=0$,
解得$x_1=34$(舍去),$x_2=6$.
故道路的宽为$6\ \mathrm{m}$.
(2)设月租金上涨$a$元时,停车场的月租金收入为10125元,
根据题意,得$(200+a)(50-\frac{a}{5})=10\ 125$,
整理,得$a^2-50a+625=0$,解得$a_1=a_2=25$.
故每个车位的月租金上涨25元时,停车场的月租金收入为10125元.
22 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读理解:若 $p,q,m$ 为整数,且三次方程 $x^3 + px^2 + qx + m = 0$ 有整数解 $x = c$,则将 $x = c$ 代入方程,得 $c^3 + pc^2 + qc + m = 0$,移项,得 $m = -c^3 - pc^2 - qc$,即有 $m = c × (-c^2 - pc - q)$,由于 $-c^2 - pc - q$ 与 $c$ 及 $m$ 都是整数,所以 $c$ 是 $m$ 的因数.上述过程说明:整数系数方程 $x^3 + px^2 + qx + m = 0$ 的整数解只可能是 $m$ 的因数.例如:方程 $x^3 + 4x^2 + 3x - 2 = 0$ 中, $-2$ 的因数为 $\pm1$ 和 $\pm2$,将它们分别代入方程 $x^3 + 4x^2 + 3x - 2 = 0$ 进行验证,得 $x = -2$ 是该方程的整数解,$-1,1,2$ 都不是方程的整数解.
解决问题:
(1)根据上面的学习,请你确定方程 $x^3 + x^2 + 5x + 7 = 0$ 的整数解只可能是哪几个整数?
(2)方程 $x^3 - 2x^2 - 4x + 3 = 0$ 是否有整数解?若有,请求出其整数解;若没有,请说明理由.
解决问题:
(1)根据上面的学习,请你确定方程 $x^3 + x^2 + 5x + 7 = 0$ 的整数解只可能是哪几个整数?
(2)方程 $x^3 - 2x^2 - 4x + 3 = 0$ 是否有整数解?若有,请求出其整数解;若没有,请说明理由.
答案
(1)由阅读理解可知,该方程如果有整数解,它只可能是7的因数,而7的因数只有1,-1,7,-7这四个数,即方程的整数解只可能是1,-1,7,-7这四个数.
(2)该方程有整数解.理由如下:方程的整数解只可能是3的因数,即1,-1,3,-3,将它们分别代入方程$x^3-2x^2-4x+3=0$进行验证,得$x=3$是该方程的整数解.
(2)该方程有整数解.理由如下:方程的整数解只可能是3的因数,即1,-1,3,-3,将它们分别代入方程$x^3-2x^2-4x+3=0$进行验证,得$x=3$是该方程的整数解.
23 新考法 新定义问题 规定:若$m+n\sqrt{p}(mn≠0,m,n,p$为有理数,$\sqrt{p}$为无理数)是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为有理数)的根,则$m-n\sqrt{p}$也是该方程的根,称$m±n\sqrt{p}$是该方程的一对“共轭无理根”.
(1)写出一元二次方程$x^2-2x-2=0$的一对“共轭无理根”:
(2)若$2+\sqrt{3}$是关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的一个根,求有理数$b,c$的值.
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+a=0(a≠0,a,b$为有理数)的一对“共轭无理根”是$x_1,x_2$.若$x_1=m+n\sqrt{2}(m,n$为有理数),求代数式$x_1^2+x_2^2+x_2(2n+\sqrt{2}m)-m^2-6n^2$的值.
(1)写出一元二次方程$x^2-2x-2=0$的一对“共轭无理根”:
$1±\sqrt{3}$
.(2)若$2+\sqrt{3}$是关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的一个根,求有理数$b,c$的值.
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+a=0(a≠0,a,b$为有理数)的一对“共轭无理根”是$x_1,x_2$.若$x_1=m+n\sqrt{2}(m,n$为有理数),求代数式$x_1^2+x_2^2+x_2(2n+\sqrt{2}m)-m^2-6n^2$的值.
答案
(1)$1±\sqrt{3}$
(2)设另一个根为$t$,根据根与系数的关系,得$2+\sqrt{3}+t=-b$,$(2+\sqrt{3})t=c$.
$\because b$为有理数,$\therefore$可设$t=p-\sqrt{3}$($p$为有理数).
$\because c$为有理数,$\therefore t$与$2+\sqrt{3}$互为有理化因式,
$\therefore t=2-\sqrt{3}$,$\therefore b=-4$,$c=1$.
(3)根据根与系数的关系,得$x_1x_2=\frac{a}{a}=1$.
$\because x_1=m+n\sqrt{2},x_2=m-n\sqrt{2}$,
$\therefore (m+n\sqrt{2})(m-n\sqrt{2})=1$,$x_1+x_2=2m$,
即$m^2-2n^2=1$,$\therefore m^2=1+2n^2$,
$\therefore x_1^2+x_2^2+x_2(2n+\sqrt{2}m)-m^2-6n^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(m-n\sqrt{2})(2n+\sqrt{2}m)-m^2-6n^2$
$=4m^2-2×1+\sqrt{2}(m-n\sqrt{2})(m+n\sqrt{2})-m^2-6n^2$
$=3m^2-2+\sqrt{2}×1-6n^2$
$=3(1+2n^2)-2+\sqrt{2}-6n^2$
$=3+6n^2-2+\sqrt{2}-6n^2=1+\sqrt{2}$.
(2)设另一个根为$t$,根据根与系数的关系,得$2+\sqrt{3}+t=-b$,$(2+\sqrt{3})t=c$.
$\because b$为有理数,$\therefore$可设$t=p-\sqrt{3}$($p$为有理数).
$\because c$为有理数,$\therefore t$与$2+\sqrt{3}$互为有理化因式,
$\therefore t=2-\sqrt{3}$,$\therefore b=-4$,$c=1$.
(3)根据根与系数的关系,得$x_1x_2=\frac{a}{a}=1$.
$\because x_1=m+n\sqrt{2},x_2=m-n\sqrt{2}$,
$\therefore (m+n\sqrt{2})(m-n\sqrt{2})=1$,$x_1+x_2=2m$,
即$m^2-2n^2=1$,$\therefore m^2=1+2n^2$,
$\therefore x_1^2+x_2^2+x_2(2n+\sqrt{2}m)-m^2-6n^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(m-n\sqrt{2})(2n+\sqrt{2}m)-m^2-6n^2$
$=4m^2-2×1+\sqrt{2}(m-n\sqrt{2})(m+n\sqrt{2})-m^2-6n^2$
$=3m^2-2+\sqrt{2}×1-6n^2$
$=3(1+2n^2)-2+\sqrt{2}-6n^2$
$=3+6n^2-2+\sqrt{2}-6n^2=1+\sqrt{2}$.
