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9.多项式$2a^{n-1}-4a^{n+1}$的公因式是M，则M等于
$2a^{n-1}$
。答案
$2a^{n-1}$
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循固定的思路：第一步找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。我们按照这个步骤分析题目中的多项式即可。
【解析】
该多项式包含两项：$2a^{n-1}$和$-4a^{n+1}$，按规则找公因式：
1. 系数部分：两项系数为2和-4，它们绝对值的最大公约数是2；
2. 字母部分：两项都含有字母a，a的指数分别为$n-1$和$n+1$，其中更低的次数是$n-1$，因此字母部分的公因式为$a^{n-1}$；
3. 把系数公因式和字母公因式相乘，可得公因式$M=2a^{n-1}$。
【答案】
$2a^{n-1}$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，熟练掌握找公因式的三个规则，就能快速得出结果，这类题目是因式分解的入门考点。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需遵循固定的思路：第一步找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。我们按照这个步骤分析题目中的多项式即可。
【解析】
该多项式包含两项：$2a^{n-1}$和$-4a^{n+1}$，按规则找公因式：
1. 系数部分：两项系数为2和-4，它们绝对值的最大公约数是2；
2. 字母部分：两项都含有字母a，a的指数分别为$n-1$和$n+1$，其中更低的次数是$n-1$，因此字母部分的公因式为$a^{n-1}$；
3. 把系数公因式和字母公因式相乘，可得公因式$M=2a^{n-1}$。
【答案】
$2a^{n-1}$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，熟练掌握找公因式的三个规则，就能快速得出结果，这类题目是因式分解的入门考点。
【难度系数】
0.8
10. 利用因式分解计算：
(1) $1.01^2 - 1.01 × 0.01$；
(2) $38 × 20.25 + 63 × 20.25 - 20.25$；
(3) $3 × 2^5 + 6 × 2^5 + 4 × 2^3$；
(4) $\dfrac{2025^3 - 2025^2 - 2024}{2025^3 + 2025^2 - 2026}$。
(1) $1.01^2 - 1.01 × 0.01$；
(2) $38 × 20.25 + 63 × 20.25 - 20.25$；
(3) $3 × 2^5 + 6 × 2^5 + 4 × 2^3$；
(4) $\dfrac{2025^3 - 2025^2 - 2024}{2025^3 + 2025^2 - 2026}$。
答案
(1)1.01 (2)2025 (3)320 (4)$\dfrac{1012}{1013}$
解析
【分析】
这几道题均考查利用提公因式法简化运算，解题思路为：先观察每个式子各项的公共因式，提取公因式后先计算括号内的加减运算，再进行后续乘除或约分，避免复杂的直接运算，降低计算难度。其中第(4)题需要对分子、分母分别分步提取公因式，再约分得到结果。
【解析】
(1) 观察式子可知两项的公因式为$1.01$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=1.01×(1.01 - 0.01)\\&=1.01×1\\&=1.01\end{aligned}$
(2) 三项的公因式为$20.25$，最后一项可看作$20.25×1$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=20.25×(38 + 63 - 1)\\&=20.25×100\\&=2025\end{aligned}$
(3) 先将第三项变形：$4×2^3=2^2×2^3=2^5$，可知三项公因式为$2^5$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=3×2^5 + 6×2^5 + 1×2^5\\&=2^5×(3 + 6 + 1)\\&=32×10\\&=320\end{aligned}$
(4) 对分子、分母分别分步提取公因式：
分子：先提取前两项公因式$2025^2$，再提取公因式$2024$
$\begin{aligned}2025^3 - 2025^2 - 2024&=2025^2×(2025 - 1) - 2024\\&=2025^2×2024 - 2024\\&=2024×(2025^2 - 1)\end{aligned}$
分母：先提取前两项公因式$2025^2$，再提取公因式$2026$
$\begin{aligned}2025^3 + 2025^2 - 2026&=2025^2×(2025 + 1) - 2026\\&=2025^2×2026 - 2026\\&=2026×(2025^2 - 1)\end{aligned}$
约掉分子分母的公因式$(2025^2 - 1)$（$2025^2 -1≠0$），再约分：
$原式=\dfrac{2024×(2025^2 - 1)}{2026×(2025^2 - 1)}=\dfrac{2024}{2026}=\dfrac{1012}{1013}$
【答案】
(1)$1.01$；(2)$2025$；(3)$320$；(4)$\dfrac{1012}{1013}$
【知识点】
提公因式法因式分解、有理数简便运算、分式约分
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，核心是准确识别式子中的公因式，通过提取公因式将复杂运算转化为简单的加减乘除，解题时需注意单独的常数项可看作公因式乘1，避免漏项，对于分式类题目要注意分步处理分子分母，约分前确认公因式不为0。
【难度系数】
0.7
这几道题均考查利用提公因式法简化运算，解题思路为：先观察每个式子各项的公共因式，提取公因式后先计算括号内的加减运算，再进行后续乘除或约分，避免复杂的直接运算，降低计算难度。其中第(4)题需要对分子、分母分别分步提取公因式，再约分得到结果。
【解析】
(1) 观察式子可知两项的公因式为$1.01$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=1.01×(1.01 - 0.01)\\&=1.01×1\\&=1.01\end{aligned}$
(2) 三项的公因式为$20.25$，最后一项可看作$20.25×1$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=20.25×(38 + 63 - 1)\\&=20.25×100\\&=2025\end{aligned}$
(3) 先将第三项变形：$4×2^3=2^2×2^3=2^5$，可知三项公因式为$2^5$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=3×2^5 + 6×2^5 + 1×2^5\\&=2^5×(3 + 6 + 1)\\&=32×10\\&=320\end{aligned}$
(4) 对分子、分母分别分步提取公因式：
分子：先提取前两项公因式$2025^2$，再提取公因式$2024$
$\begin{aligned}2025^3 - 2025^2 - 2024&=2025^2×(2025 - 1) - 2024\\&=2025^2×2024 - 2024\\&=2024×(2025^2 - 1)\end{aligned}$
分母：先提取前两项公因式$2025^2$，再提取公因式$2026$
$\begin{aligned}2025^3 + 2025^2 - 2026&=2025^2×(2025 + 1) - 2026\\&=2025^2×2026 - 2026\\&=2026×(2025^2 - 1)\end{aligned}$
约掉分子分母的公因式$(2025^2 - 1)$（$2025^2 -1≠0$），再约分：
$原式=\dfrac{2024×(2025^2 - 1)}{2026×(2025^2 - 1)}=\dfrac{2024}{2026}=\dfrac{1012}{1013}$
【答案】
(1)$1.01$；(2)$2025$；(3)$320$；(4)$\dfrac{1012}{1013}$
【知识点】
提公因式法因式分解、有理数简便运算、分式约分
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，核心是准确识别式子中的公因式，通过提取公因式将复杂运算转化为简单的加减乘除，解题时需注意单独的常数项可看作公因式乘1，避免漏项，对于分式类题目要注意分步处理分子分母，约分前确认公因式不为0。
【难度系数】
0.7
11.已知$x-y=1$，$xy=6$，求下列代数式的值：
(1)$x^2y-xy^2$；
(2)$-2x^2y+2xy^2$。
(1)$x^2y-xy^2$；
(2)$-2x^2y+2xy^2$。
答案
(1)6 (2)$-12$
解析
【分析】
本题给出了$x-y$和$xy$的整体值，无需单独求解$x$、$y$的具体数值。观察待求代数式的结构，可先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为含有$x-y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值计算即可，解题时注意提取公因式时不要出错。
【解析】
(1) 对$x^2y-xy^2$提取公因式$xy$：
$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
将$x-y=1$，$xy=6$代入上式，得：
原式$=6×1=6$
(2) 对$-2x^2y+2xy^2$提取公因式$-2xy$：
$-2x^2y+2xy^2=-2xy(x-y)$
将$x-y=1$，$xy=6$代入上式，得：
原式$=-2×6×1=-12$
【答案】
(1)$6$；(2)$-12$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.代数式整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，运用整体代入思想可大幅简化计算，避免了解方程组求$x$、$y$的繁琐步骤，解题时需格外注意提取带负号的公因式时的符号变化。
【难度系数】
0.8
本题给出了$x-y$和$xy$的整体值，无需单独求解$x$、$y$的具体数值。观察待求代数式的结构，可先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为含有$x-y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值计算即可，解题时注意提取公因式时不要出错。
【解析】
(1) 对$x^2y-xy^2$提取公因式$xy$：
$x^2y-xy^2=xy(x-y)$
将$x-y=1$，$xy=6$代入上式，得：
原式$=6×1=6$
(2) 对$-2x^2y+2xy^2$提取公因式$-2xy$：
$-2x^2y+2xy^2=-2xy(x-y)$
将$x-y=1$，$xy=6$代入上式，得：
原式$=-2×6×1=-12$
【答案】
(1)$6$；(2)$-12$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.代数式整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，运用整体代入思想可大幅简化计算，避免了解方程组求$x$、$y$的繁琐步骤，解题时需格外注意提取带负号的公因式时的符号变化。
【难度系数】
0.8
