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12. (1)设$\overline{abcd}$是一个四位数，其中$a$表示千位上的数字，$b$表示百位上的数字，$c$表示十位上的数字，$d$表示个位上的数字，若$a+b+c+d$可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除；
(2)用问题(1)的结论，验证一下2025能否被9整除。
(2)用问题(1)的结论，验证一下2025能否被9整除。
答案
(1)证明略 (2)2025能被9整除
解析
【分析】
第(1)问：先将四位数按数位意义表示为代数式，再对代数式拆分变形，提取公因式9把式子拆成两部分：一部分是9的倍数，另一部分是各位数字之和，结合已知条件即可证明结论。第(2)问：直接运用第(1)问的结论，先计算2025各位数字的和，判断该和能否被9整除，即可得出2025能否被9整除。
【解析】
(1) 证明：
四位数$\overline{abcd}$可表示为：$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
对式子变形可得：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d\\&=999a+99b+9c+(a+b+c+d)\\&=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9(111a+11b+c)$是9的倍数，能被9整除，已知$a+b+c+d$能被9整除，两个能被9整除的数的和仍能被9整除，因此$\overline{abcd}$能被9整除。
(2) 解：
计算2025各位数字之和：$2+0+2+5=9$
因为9能被9整除，结合(1)的结论可得，2025能被9整除。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 2025能被9整除
【知识点】
1. 整除的性质 2. 代数式变形 3. 提公因式法
【点评】
本题将数的整除规律和代数式变形、提公因式法结合考查，解题的核心是将多位数按数位拆分后提取公因式变形，通过本题可以掌握能被9整除的数的特征，应用性较强。
【难度系数】
0.7
第(1)问：先将四位数按数位意义表示为代数式，再对代数式拆分变形，提取公因式9把式子拆成两部分：一部分是9的倍数，另一部分是各位数字之和，结合已知条件即可证明结论。第(2)问：直接运用第(1)问的结论，先计算2025各位数字的和，判断该和能否被9整除，即可得出2025能否被9整除。
【解析】
(1) 证明：
四位数$\overline{abcd}$可表示为：$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$
对式子变形可得：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d\\&=999a+99b+9c+(a+b+c+d)\\&=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{aligned}$
其中$9(111a+11b+c)$是9的倍数，能被9整除，已知$a+b+c+d$能被9整除，两个能被9整除的数的和仍能被9整除，因此$\overline{abcd}$能被9整除。
(2) 解：
计算2025各位数字之和：$2+0+2+5=9$
因为9能被9整除，结合(1)的结论可得，2025能被9整除。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 2025能被9整除
【知识点】
1. 整除的性质 2. 代数式变形 3. 提公因式法
【点评】
本题将数的整除规律和代数式变形、提公因式法结合考查，解题的核心是将多位数按数位拆分后提取公因式变形，通过本题可以掌握能被9整除的数的特征，应用性较强。
【难度系数】
0.7
13. 新定义:如果$a,b$都是非零整数,且$a=4b$,那么就称$a$是“4倍数”.
验证:通过简便计算判断$12×11+9×11-19×11$是否是“4倍数”.
证明:设三个连续偶数的中间数是$2n$($n$是整数),通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”.
验证:通过简便计算判断$12×11+9×11-19×11$是否是“4倍数”.
证明:设三个连续偶数的中间数是$2n$($n$是整数),通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”.
答案
解：
验证：
$12×11+9×11-19×11$
$=11×(12+9-19)$
$=11×2$
$=22$
因为$22=4×5.5$，5.5不是整数，不存在非零整数$b$使得$22=4b$，
所以$12×11+9×11-19×11$不是“4倍数”。
证明：
由题意得，三个连续偶数分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$（$n$是整数），
它们的平方和为：
$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2$
$=(4n^2-8n+4)+4n^2+(4n^2+8n+4)$
$=12n^2+8$
$=4(3n^2+2)$
因为$n$是整数，所以$3n^2+2$是整数，且$3n^2+2≥2$，即$3n^2+2$是非零整数，
因此三个连续偶数的平方和等于4与非零整数$3n^2+2$的乘积，符合“4倍数”的定义，
所以这三个连续偶数的平方和是“4倍数”。
验证：
$12×11+9×11-19×11$
$=11×(12+9-19)$
$=11×2$
$=22$
因为$22=4×5.5$，5.5不是整数，不存在非零整数$b$使得$22=4b$，
所以$12×11+9×11-19×11$不是“4倍数”。
证明：
由题意得，三个连续偶数分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$（$n$是整数），
它们的平方和为：
$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2$
$=(4n^2-8n+4)+4n^2+(4n^2+8n+4)$
$=12n^2+8$
$=4(3n^2+2)$
因为$n$是整数，所以$3n^2+2$是整数，且$3n^2+2≥2$，即$3n^2+2$是非零整数，
因此三个连续偶数的平方和等于4与非零整数$3n^2+2$的乘积，符合“4倍数”的定义，
所以这三个连续偶数的平方和是“4倍数”。
解析
【分析】
本题分为验证和证明两部分，需结合“4倍数”的新定义逐步分析：①验证部分：观察算式各项均含公因式11，先利用提公因式法简化计算得到结果，再判断结果是否能写成4与非零整数的乘积形式，即可判断是否符合“4倍数”定义；②证明部分：先根据中间偶数为2n写出另外两个连续偶数，再利用完全平方公式计算三个数的平方和，合并同类项后提取公因式4，判断剩余因式是否为非零整数，即可验证是否符合“4倍数”定义。
【解析】
验证：
$\begin{aligned}&12×11+9×11-19×11\\=&11×(12+9-19)\\=&11×2\\=&22\end{aligned}$
因为$22=4×5.5$，5.5不是整数，不存在非零整数$b$使得$22=4b$，因此该式不符合“4倍数”的定义。
证明：
由题意得，三个连续偶数分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$（$n$是整数），它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2\\=&(4n^2-8n+4)+4n^2+(4n^2+8n+4)\\=&12n^2+8\\=&4(3n^2+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$3n^2+2$是整数，且$3n^2+2≥2$，即$3n^2+2$是非零整数，因此三个连续偶数的平方和等于4与非零整数$3n^2+2$的乘积，符合“4倍数”的定义。
【答案】
$12×11+9×11-19×11$不是“4倍数”；三个连续偶数的平方和是“4倍数”。
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查整式运算与因式分解的应用，解题核心是准确理解新定义的判断规则，熟练运用提公因式法、完全平方公式完成算式化简，能够有效考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
本题分为验证和证明两部分，需结合“4倍数”的新定义逐步分析：①验证部分：观察算式各项均含公因式11，先利用提公因式法简化计算得到结果，再判断结果是否能写成4与非零整数的乘积形式，即可判断是否符合“4倍数”定义；②证明部分：先根据中间偶数为2n写出另外两个连续偶数，再利用完全平方公式计算三个数的平方和，合并同类项后提取公因式4，判断剩余因式是否为非零整数，即可验证是否符合“4倍数”定义。
【解析】
验证：
$\begin{aligned}&12×11+9×11-19×11\\=&11×(12+9-19)\\=&11×2\\=&22\end{aligned}$
因为$22=4×5.5$，5.5不是整数，不存在非零整数$b$使得$22=4b$，因此该式不符合“4倍数”的定义。
证明：
由题意得，三个连续偶数分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$（$n$是整数），它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2\\=&(4n^2-8n+4)+4n^2+(4n^2+8n+4)\\=&12n^2+8\\=&4(3n^2+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$3n^2+2$是整数，且$3n^2+2≥2$，即$3n^2+2$是非零整数，因此三个连续偶数的平方和等于4与非零整数$3n^2+2$的乘积，符合“4倍数”的定义。
【答案】
$12×11+9×11-19×11$不是“4倍数”；三个连续偶数的平方和是“4倍数”。
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查整式运算与因式分解的应用，解题核心是准确理解新定义的判断规则，熟练运用提公因式法、完全平方公式完成算式化简，能够有效考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
