1.把多项式$12ab+3ab^3$分解因式，应提的公因式是 （）

A.$12ab$
B.$4ab$
C.$3ab$
D.$3ab^3$

1.C

【分析】
要确定多项式的公因式，需按照三步法思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步找相同字母的最低次幂，三者相乘就是公因式。我们分别对多项式$12ab+3ab^3$的两项对应分析即可得出结果。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：两项的系数分别是12和3，它们的最大公约数是3；
2. 确定相同字母：两项中都含有的字母是a和b；
3. 确定相同字母的最低次幂：字母a在两项中的次数都是1次，取1次；字母b在第一项的次数是1次，第二项的次数是3次，取最低的1次；
综上，公因式为$3 × a × b = 3ab$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于基础题，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2.分解因式：
(1)$2(x-3)+x(3-x)=$；
(2)$4(x-y)^3-6(y-x)^2=$.

2.(1)$(x-3)(2-x)$ (2)$2(x-y)^2(2x-2y-3)$

【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①统一相同因式：遇到互为相反数的因式，根据幂的符号规则变形：偶次幂下互为相反数的两个数的幂相等，奇次幂下互为相反数的两个数的幂互为相反数，将原式中不同的因式转化为相同因式；②提取公因式：先找各项系数的最大公约数，再找相同因式的最低次幂，二者组合得到公因式，提取公因式后化简剩余部分即可。
【解析】
(1) 先将$3-x$变形为$-(x-3)$，原式改写为：
$2(x-3)-x(x-3)$
提取公因式$(x-3)$，可得：
$(x-3)(2-x)$
(2) 由于偶次幂结果非负，因此$(y-x)^2=(x-y)^2$，原式改写为：
$4(x-y)^3-6(x-y)^2$
确定公因式：系数4和6的最大公约数是2，相同因式$(x-y)$的最低次幂为2次，因此公因式为$2(x-y)^2$，提取公因式得：
$2(x-y)^2[2(x-y)-3]$
化简括号内的式子：$2(x-y)-3=2x-2y-3$，最终结果为：
$2(x-y)^2(2x-2y-3)$
【答案】
(1)$(x-3)(2-x)$ (2)$2(x-y)^2(2x-2y-3)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.相反数的幂的变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点为变形互为相反数的因式时符号出错，需牢记偶次幂变形不改变符号，奇次幂变形需改变符号，提取公因式后要检查剩余部分是否化简彻底。
【难度系数】
0.8

3.若$a-b=3,3a+2b=5$,则$3a(a-b)+2b(a-b)=$.

3.15

【分析】
观察所求代数式的结构，发现两项中都含有公因式$(a - b)$，因此可以先利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后所得式子的两个因式恰好是题目给出的已知条件，直接整体代入求值即可，无需单独计算$a$、$b$的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
首先对$3a(a - b) + 2b(a - b)$提取公因式$(a - b)$，可得：
$3a(a - b) + 2b(a - b) = (a - b)(3a + 2b)$
已知$a - b = 3$，$3a + 2b = 5$，将两个值整体代入上式：
原式$= 3×5 = 15$
【答案】
15
【知识点】
提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的简单应用，解题关键是观察代数式的结构特征，优先通过因式分解将式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入的思想避免复杂运算，是因式分解应用的基础典型题。
【难度系数】
0.85

4.分解因式：
(1)$8m^2n+2mn$；
(2)$3xy(x-y)-6x(x-y)^2$；
(3)$4a(a-3)+6a^2(3-a)$；
(4)$4a^2b-10ab+2ab^2$。

4.(1)$2mn(4m+1)$ (2)$3x(x-y)(3y-2x)$ (3)$2a(a-3)(2-3a)$ (4)$2ab(2a-5+b)$

【分析】
这四道题均为提公因式法分解因式的基础题型，解题思路可按三步展开：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母（或多项式因式）的最低次幂，二者乘积即为公因式，若出现互为相反数的因式，可先统一符号方便提取；②提取公因式：将公因式提到括号外，用原式每一项除以公因式，所得的商依次作为括号内因式的各项；③化简检验：括号内有同类项的要合并，最终结果需保证不能再继续分解。
【解析】
(1) 先确定公因式：系数8和2的最大公约数是2，相同字母m、n的最低次幂均为1次，因此公因式为$2mn$。
提取公因式得：
$8m^2n+2mn=2mn·4m + 2mn·1=2mn(4m+1)$
(2) 先确定公因式：系数3和6的最大公约数是3，相同因式有$x$和$(x-y)$，最低次幂均为1次，因此公因式为$3x(x-y)$。
提取公因式后化简括号内的式子：
$3xy(x-y)-6x(x-y)^2$
$=3x(x-y)· y - 3x(x-y)·2(x-y)$
$=3x(x-y)[y-2(x-y)]$
$=3x(x-y)(y-2x+2y)$
$=3x(x-y)(3y-2x)$
(3) 先统一因式符号：$3-a=-(a-3)$，因此原式变形为$4a(a-3)-6a^2(a-3)$。
确定公因式：系数4和6的最大公约数是2，相同因式有$a$和$(a-3)$，最低次幂均为1次，公因式为$2a(a-3)$。
提取公因式得：
$4a(a-3)-6a^2(a-3)$
$=2a(a-3)·2 - 2a(a-3)·3a$
$=2a(a-3)(2-3a)$
(4) 先确定公因式：系数4、10、2的最大公约数是2，相同字母$a$、$b$的最低次幂均为1次，公因式为$2ab$。
提取公因式得：
$4a^2b-10ab+2ab^2$
$=2ab·2a - 2ab·5 + 2ab· b$
$=2ab(2a-5+b)$
【答案】
(1)$2mn(4m+1)$；(2)$3x(x-y)(3y-2x)$；(3)$2a(a-3)(2-3a)$；(4)$2ab(2a-5+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式符号变形
【点评】
本组题目核心考查提公因式法分解因式的实操能力，解题的关键是准确识别公因式，尤其要注意互为相反数的因式需先统一符号再提取，提取公因式后要检查剩余部分是否有同类项可合并，避免分解不彻底。
【难度系数】
0.85

5.若$a(a - b)=3$，则$(a + b)(a - b)+(a - b)^2$的值为。

5.6

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现两项中都含有公因式$(a - b)$，结合提公因式法的知识点，优先提取公因式对代数式进行化简，再观察化简结果与已知条件$a(a - b)=3$的关联，最后整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
对所求代数式提取公因式$(a - b)$：
$\begin{aligned}&(a + b)(a - b)+(a - b)^2\\=&(a - b)[(a + b)+(a - b)]\\=&(a - b)(a + b + a - b)\\=&2a(a - b)\end{aligned}$
已知$a(a - b)=3$，将其代入化简后的式子得：
原式$=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法；整体代入求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题核心是准确识别公因式，通过提公因式法简化代数式，再利用整体代入思想计算，有效降低了计算量，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.8

6.已知$a-2=b+c$,则代数式$a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)$的值等于.

6.4

【分析】
首先观察待求代数式的结构，发现每一项都含有公因式(a-b-c)，因此可以先通过提公因式法对代数式进行化简；再对已知条件a-2=b+c移项变形，得到a-b-c的值；最后将得到的数值整体代入化简后的式子计算，即可求出结果。
【解析】
第一步：对代数式提公因式化简：
$a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=(a-b-c)(a-b-c)=(a-b-c)^2$
第二步：变形已知条件：
由$a-2=b+c$，移项可得$a-b-c=2$
第三步：整体代入求值：
将$a-b-c=2$代入$(a-b-c)^2$，得$2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，通过先化简再整体代入的方式计算，比直接展开代数式计算更简便，是因式分解应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8

7.将多项式$(1-a)^2 + 2a(a-1)$分解因式后求值，其中$a=2.$

7.5

【分析】
解题时首先明确需先分解因式再代入求值，先观察多项式的结构：两项中分别含有因式$(1-a)^2$和$a-1$，根据互为相反数的偶次幂相等，可将$(1-a)^2$变形为$(a-1)^2$，此时两项的公因式为$(a-1)$，提取公因式将多项式化简后，再代入$a=2$计算即可，该方法比直接展开原式计算更简便，能减少计算错误。
【解析】
解：先对多项式分解因式：
$\because (1-a)^2=(a-1)^2$
$\therefore$ 原式$=(a-1)^2 + 2a(a-1)$
提取公因式$(a-1)$，得：
$=(a-1)[(a-1)+2a]$
合并括号内的同类项：
$=(a-1)(3a-1)$
将$a=2$代入化简后的式子：
原式$=(2-1)×(3×2 -1)$
$=1×(6-1)$
$=5$
【答案】
5
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，通过先分解因式再代入求值的方式可简化计算流程，解题的关键是灵活运用“互为相反数的偶次幂相等”的规律准确找出公因式，掌握提公因式的基本操作。
【难度系数】
0.8