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1. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是 （
A.$2(a - b) = 2a - 2b$
B.$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$
C.$x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1$
D.$a(a - b)(b + 1) = (a^2 - ab)(b + 1)$
B
）A.$2(a - b) = 2a - 2b$
B.$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$
C.$x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1$
D.$a(a - b)(b + 1) = (a^2 - ab)(b + 1)$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。判断一个变形是不是因式分解，要满足三个要求：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式相乘的形式；③变形前后等式两边相等。接下来我们逐个验证四个选项是否符合要求即可。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：左边是整式乘积$2(a-b)$，右边是多项式$2a-2b$，属于整式乘法运算，不是因式分解，故A错误；
选项B：左边是多项式$m^2-4$，右边是两个整式$(m+2)$和$(m-2)$的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：右边是$x(x-2)+1$，含有加法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故C错误；
选项D：左边本身就是三个整式的乘积，变形是将前两个整式相乘得到右边，属于整式乘法运算，不是因式分解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法的概念
【点评】
这道题是基础概念类考题，核心是抓住因式分解“结果为几个整式乘积”的本质特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。判断一个变形是不是因式分解，要满足三个要求：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式相乘的形式；③变形前后等式两边相等。接下来我们逐个验证四个选项是否符合要求即可。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：左边是整式乘积$2(a-b)$，右边是多项式$2a-2b$，属于整式乘法运算，不是因式分解，故A错误；
选项B：左边是多项式$m^2-4$，右边是两个整式$(m+2)$和$(m-2)$的乘积，符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：右边是$x(x-2)+1$，含有加法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故C错误；
选项D：左边本身就是三个整式的乘积，变形是将前两个整式相乘得到右边，属于整式乘法运算，不是因式分解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法的概念
【点评】
这道题是基础概念类考题，核心是抓住因式分解“结果为几个整式乘积”的本质特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2. 用提公因式法因式分解 $2x^2 - xy$ 时，应提取的公因式是 （
A.$x$
B.$xy$
C.$x^2$
D.$2y$
A
）A.$x$
B.$xy$
C.$x^2$
D.$2y$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按照找公因式的固定思路分步分析：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，两者的乘积就是要提取的公因式，我们按照这个思路逐步分析即可。
【解析】
多项式$2x^2 - xy$包含两项，分别分析：
1. 系数部分：两项的系数分别是2和-1，它们的最大公约数是1；
2. 字母部分：第一项含字母$x$（次数为2），第二项含字母$x$（次数为1）和$y$（次数为1），两项共有的字母只有$x$，且$x$的最低次数是1，$y$仅在第二项出现，不属于公有字母。
因此公因式为$1× x=x$，验证可得$2x^2 - xy=x(2x-y)$，符合提公因式的要求。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查提公因式法中公因式的确定规则，熟练掌握“系数取各项最大公约数、相同字母取最低次幂”的找公因式方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要确定多项式提取的公因式，需按照找公因式的固定思路分步分析：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，相同字母取次数最低的，两者的乘积就是要提取的公因式，我们按照这个思路逐步分析即可。
【解析】
多项式$2x^2 - xy$包含两项，分别分析：
1. 系数部分：两项的系数分别是2和-1，它们的最大公约数是1；
2. 字母部分：第一项含字母$x$（次数为2），第二项含字母$x$（次数为1）和$y$（次数为1），两项共有的字母只有$x$，且$x$的最低次数是1，$y$仅在第二项出现，不属于公有字母。
因此公因式为$1× x=x$，验证可得$2x^2 - xy=x(2x-y)$，符合提公因式的要求。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查提公因式法中公因式的确定规则，熟练掌握“系数取各项最大公约数、相同字母取最低次幂”的找公因式方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.把$x^2 -4x +c$分解因式得$(x-5)(x+1)$，则常数$c$的值为 （
A.4
B.$-4$
C.5
D.$-5$
D
）A.4
B.$-4$
C.5
D.$-5$
答案
D
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，题目已经给出多项式因式分解的结果，我们只要将乘积形式的分解结果展开为多项式，再和原式对比对应项的系数，就能求出常数c的值。具体思路：先运用多项式乘多项式的法则展开$(x-5)(x+1)$，再将展开式的常数项和原式的常数项c对应相等，即可求出c的取值。
【解析】
因为多项式$x^2 -4x +c$分解因式的结果为$(x-5)(x+1)$，根据因式分解与整式乘法的互逆性，对$(x-5)(x+1)$展开计算：
$\begin{aligned}(x-5)(x+1)&=x· x + x×1 -5× x -5×1\\&=x^2 +x -5x -5\\&=x^2 -4x -5\end{aligned}$
两个多项式相等时对应项的系数相等，将展开式与原式$x^2 -4x +c$对比，可得$c=-5$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的逆运算；多项式乘多项式；多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，通过对应项系数相等求解未知参数，掌握方法后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
因式分解与整式乘法是互逆的运算过程，题目已经给出多项式因式分解的结果，我们只要将乘积形式的分解结果展开为多项式，再和原式对比对应项的系数，就能求出常数c的值。具体思路：先运用多项式乘多项式的法则展开$(x-5)(x+1)$，再将展开式的常数项和原式的常数项c对应相等，即可求出c的取值。
【解析】
因为多项式$x^2 -4x +c$分解因式的结果为$(x-5)(x+1)$，根据因式分解与整式乘法的互逆性，对$(x-5)(x+1)$展开计算：
$\begin{aligned}(x-5)(x+1)&=x· x + x×1 -5× x -5×1\\&=x^2 +x -5x -5\\&=x^2 -4x -5\end{aligned}$
两个多项式相等时对应项的系数相等，将展开式与原式$x^2 -4x +c$对比，可得$c=-5$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的逆运算；多项式乘多项式；多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，通过对应项系数相等求解未知参数，掌握方法后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 下列等式一定成立的是 （
A.$x^2 + 1 = (x + 1)^2$
B.$x^2 + 2x - 1 = (x - 1)^2$
C.$x^2 - x = x(x - 1)$
D.$x^2 - 4x = x(x + 2)(x - 2)$
C
）A.$x^2 + 1 = (x + 1)^2$
B.$x^2 + 2x - 1 = (x - 1)^2$
C.$x^2 - x = x(x - 1)$
D.$x^2 - 4x = x(x + 2)(x - 2)$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题时可逐一验证每个选项：要么将等式右侧的整式展开，对比是否与左侧相等；要么将等式左侧的多项式因式分解，对比是否与右侧一致，即可快速得出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：将右侧展开可得$(x+1)^2=x^2+2x+1$，与左侧$x^2+1$不相等，等式不成立；
B选项：将右侧展开可得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，与左侧$x^2+2x-1$不相等，等式不成立；
C选项：对左侧提公因式$x$，可得$x^2-x=x(x-1)$，与右侧完全相等，等式成立；
D选项：对左侧提公因式$x$，可得$x^2-4x=x(x-4)$；将右侧展开得$x(x+2)(x-2)=x(x^2-4)=x^3-4x$，与左侧$x^2-4x$不相等，等式不成立。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；整式乘法运算；完全平方公式
【点评】
解决这类判断等式是否成立的题目，最常用的方法是双向验证：既可以通过因式分解化简左侧，也可以通过整式乘法展开右侧，两者结果一致则等式成立，运算时要注意不要弄错符号和项的次数。
【难度系数】
0.8
这道题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题时可逐一验证每个选项：要么将等式右侧的整式展开，对比是否与左侧相等；要么将等式左侧的多项式因式分解，对比是否与右侧一致，即可快速得出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：将右侧展开可得$(x+1)^2=x^2+2x+1$，与左侧$x^2+1$不相等，等式不成立；
B选项：将右侧展开可得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，与左侧$x^2+2x-1$不相等，等式不成立；
C选项：对左侧提公因式$x$，可得$x^2-x=x(x-1)$，与右侧完全相等，等式成立；
D选项：对左侧提公因式$x$，可得$x^2-4x=x(x-4)$；将右侧展开得$x(x+2)(x-2)=x(x^2-4)=x^3-4x$，与左侧$x^2-4x$不相等，等式不成立。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；整式乘法运算；完全平方公式
【点评】
解决这类判断等式是否成立的题目，最常用的方法是双向验证：既可以通过因式分解化简左侧，也可以通过整式乘法展开右侧，两者结果一致则等式成立，运算时要注意不要弄错符号和项的次数。
【难度系数】
0.8
5.已知$a+b=4$，$ab=3$，则$a^2b+ab^2$的值为 （
A.12
B.7
C.4
D.3
A
）A.12
B.7
C.4
D.3
答案
A
解析
【分析】
要求代数式$a^2b + ab^2$的值，首先观察代数式的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后代数式会转化为含$a+b$和$ab$的形式，刚好题目已经给出这两个式子的数值，直接整体代入计算即可，无需分别求出$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对$a^2b + ab^2$提取公因式$ab$，可得：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
已知$a + b = 4$，$ab = 3$，将其代入上式得：
原式$= 3×4 = 12$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，运用整体代入的思想可以避免求解单个未知数的复杂运算，是此类题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.9
要求代数式$a^2b + ab^2$的值，首先观察代数式的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后代数式会转化为含$a+b$和$ab$的形式，刚好题目已经给出这两个式子的数值，直接整体代入计算即可，无需分别求出$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对$a^2b + ab^2$提取公因式$ab$，可得：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
已知$a + b = 4$，$ab = 3$，将其代入上式得：
原式$= 3×4 = 12$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，运用整体代入的思想可以避免求解单个未知数的复杂运算，是此类题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.9
6.当$a$，$b$互为相反数时，代数式$a^2 + ab - 3$的值为 （
A.2
B.3
C.$-3$
D.3或$-3$
C
）A.2
B.3
C.$-3$
D.3或$-3$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据“a，b互为相反数”的条件，回忆相反数的性质可得a+b=0；再观察待求代数式的结构，发现前两项含有公因式a，用提公因式法对前两项因式分解后，即可出现(a+b)的整体，最后将a+b=0整体代入计算即可得到结果。也可以直接将a=-b代入代数式化简求值。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a + b = 0。
对代数式$a^2 + ab - 3$提公因式$a$，得：
$a^2 + ab - 3 = a(a + b) - 3$，
将$a + b = 0$代入上式，
原式$= a × 0 - 3 = -3$。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心是将相反数的性质与因式分解的方法结合，通过整体代入简化计算，不需要分别求出a、b的具体值即可求解，熟练掌握相反数的概念和提公因式法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“a，b互为相反数”的条件，回忆相反数的性质可得a+b=0；再观察待求代数式的结构，发现前两项含有公因式a，用提公因式法对前两项因式分解后，即可出现(a+b)的整体，最后将a+b=0整体代入计算即可得到结果。也可以直接将a=-b代入代数式化简求值。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴a + b = 0。
对代数式$a^2 + ab - 3$提公因式$a$，得：
$a^2 + ab - 3 = a(a + b) - 3$，
将$a + b = 0$代入上式，
原式$= a × 0 - 3 = -3$。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心是将相反数的性质与因式分解的方法结合，通过整体代入简化计算，不需要分别求出a、b的具体值即可求解，熟练掌握相反数的概念和提公因式法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.分解因式：
(1)$xy - x =$
(1)$xy - x =$
$x(y-1)$
；(2)$a^2 - 8a =$ $a(a-8)$
；(3)$xy + y^2 - yz =$ $y(x+y-z)$
.答案
(1)$x(y-1)$ (2)$a(a-8)$ (3)$y(x+y-z)$
解析
【分析】
这三道题均是提公因式法分解因式的基础题型，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将原多项式的每一项分别除以公因式，把得到的结果按原符号放入括号内，公因式写在括号外，注意不要漏项、弄错符号。
【解析】
(1) 多项式$xy - x$的两项都含有公因式$x$，提取公因式$x$可得：
$xy - x = x· y - x· 1 = x(y - 1)$
(2) 多项式$a^2 - 8a$的两项都含有公因式$a$，提取公因式$a$可得：
$a^2 - 8a = a· a - a· 8 = a(a - 8)$
(3) 多项式$xy + y^2 - yz$的三项都含有公因式$y$，提取公因式$y$可得：
$xy + y^2 - yz = y· x + y· y - y· z = y(x + y - z)$
【答案】
(1)$x(y-1)$ (2)$a(a-8)$ (3)$y(x+y-z)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出多项式的公因式，提取公因式时需注意符号和漏项问题。
【难度系数】
0.9
这三道题均是提公因式法分解因式的基础题型，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将原多项式的每一项分别除以公因式，把得到的结果按原符号放入括号内，公因式写在括号外，注意不要漏项、弄错符号。
【解析】
(1) 多项式$xy - x$的两项都含有公因式$x$，提取公因式$x$可得：
$xy - x = x· y - x· 1 = x(y - 1)$
(2) 多项式$a^2 - 8a$的两项都含有公因式$a$，提取公因式$a$可得：
$a^2 - 8a = a· a - a· 8 = a(a - 8)$
(3) 多项式$xy + y^2 - yz$的三项都含有公因式$y$，提取公因式$y$可得：
$xy + y^2 - yz = y· x + y· y - y· z = y(x + y - z)$
【答案】
(1)$x(y-1)$ (2)$a(a-8)$ (3)$y(x+y-z)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出多项式的公因式，提取公因式时需注意符号和漏项问题。
【难度系数】
0.9
8.分解因式:
(1)$a^2m - 2a^3n$；
(2)$2xy - xz + 3x^2$；
(3)$x^3y^2 + x^2y - 2x^2y^2$；
(4)$3x^{2n} - x^n$。
(1)$a^2m - 2a^3n$；
(2)$2xy - xz + 3x^2$；
(3)$x^3y^2 + x^2y - 2x^2y^2$；
(4)$3x^{2n} - x^n$。
答案
(1)$a^2(m-2an)$ (2)$x(2y-z+3x)$ (3)$x^2y(xy+1-2y)$ (4)$x^n(3x^n-1)$
解析
【分析】
这四道题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或含字母的式子），取其最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将原式写成公因式乘剩余各项的和（差）的形式，剩余每一项等于原式对应项除以公因式的结果，注意不要漏写系数为1的项。
各小题公因式分别为：(1)公因式是$a^2$；(2)公因式是$x$；(3)公因式是$x^2y$；(4)公因式是$x^n$，分别提取即可完成分解。
【解析】
(1) 提取公因式$a^2$：
$a^2m - 2a^3n = a^2· m - a^2· 2an = a^2(m-2an)$
(2) 提取公因式$x$：
$2xy - xz + 3x^2 = x·2y - x· z + x·3x = x(2y-z+3x)$
(3) 提取公因式$x^2y$：
$x^3y^2 + x^2y - 2x^2y^2 = x^2y· xy + x^2y·1 - x^2y·2y = x^2y(xy+1-2y)$
(4) 提取公因式$x^n$：
$3x^{2n} - x^n = x^n·3x^n - x^n·1 = x^n(3x^n-1)$
【答案】
(1)$a^2(m-2an)$ (2)$x(2y-z+3x)$ (3)$x^2y(xy+1-2y)$ (4)$x^n(3x^n-1)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础练习题，核心考查公因式的查找规则，提取公因式时要注意括号内的项数与原式项数一致，避免漏写系数为1的项，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
这四道题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或含字母的式子），取其最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将原式写成公因式乘剩余各项的和（差）的形式，剩余每一项等于原式对应项除以公因式的结果，注意不要漏写系数为1的项。
各小题公因式分别为：(1)公因式是$a^2$；(2)公因式是$x$；(3)公因式是$x^2y$；(4)公因式是$x^n$，分别提取即可完成分解。
【解析】
(1) 提取公因式$a^2$：
$a^2m - 2a^3n = a^2· m - a^2· 2an = a^2(m-2an)$
(2) 提取公因式$x$：
$2xy - xz + 3x^2 = x·2y - x· z + x·3x = x(2y-z+3x)$
(3) 提取公因式$x^2y$：
$x^3y^2 + x^2y - 2x^2y^2 = x^2y· xy + x^2y·1 - x^2y·2y = x^2y(xy+1-2y)$
(4) 提取公因式$x^n$：
$3x^{2n} - x^n = x^n·3x^n - x^n·1 = x^n(3x^n-1)$
【答案】
(1)$a^2(m-2an)$ (2)$x(2y-z+3x)$ (3)$x^2y(xy+1-2y)$ (4)$x^n(3x^n-1)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础练习题，核心考查公因式的查找规则，提取公因式时要注意括号内的项数与原式项数一致，避免漏写系数为1的项，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
