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14.已知$a-b=7$，$ab=-10$.
(1)分别求$a^2+b^2$与$(a+b)^2$的值；
(2)求代数式$(a+b+c)^2+(a-b-c)(a-b+c)-2c(a+b)$的值.
(1)分别求$a^2+b^2$与$(a+b)^2$的值；
(2)求代数式$(a+b+c)^2+(a-b-c)(a-b+c)-2c(a+b)$的值.
答案
14.(1)$a^2+b^2=29,(a+b)^2=9$ (2)58
解析
【分析】
（1）求$a^2+b^2$和$(a+b)^2$的值可利用完全平方公式的变形求解，无需单独计算a、b的具体值。已知$a-b$和$ab$，根据$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，变形可得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入数值即可算出结果；再根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已得的$a^2+b^2$和已知的$ab$就能求出$(a+b)^2$。
（2）第二问的代数式优先化简再求值：将$(a+b+c)^2$按完全平方公式展开，把$(a-b-c)(a-b+c)$中$a-b$看作整体，用平方差公式展开，合并同类项后含c的项会全部抵消，最终化简结果仅和$(a+b)^2$、$(a-b)^2$有关，代入已知条件和第一问结果即可计算。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
将$a-b=7$，$ab=-10$代入得：
$a^2 + b^2 = 7^2 + 2×(-10) = 49 - 20 = 29$
再计算$(a+b)^2$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2ab$
代入$a^2+b^2=29$，$ab=-10$得：
$(a+b)^2 = 29 + 2×(-10) = 29 - 20 = 9$
(2) 化简代数式：
$\begin{aligned}&(a+b+c)^2 + (a-b-c)(a-b+c) - 2c(a+b)\\=&(a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2 + [(a-b)-c][(a-b)+c] - 2c(a+b)\\=&(a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2 + (a-b)^2 - c^2 - 2c(a+b)\\=&(a+b)^2 + (a-b)^2\end{aligned}$
将$(a+b)^2=9$，$a-b=7$代入得：
原式$=9 + 7^2 = 9 + 49 = 58$
【答案】
(1)$a^2+b^2=29$，$(a+b)^2=9$；(2)$58$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用和整体代入思想，解题时无需计算a、b的具体值，通过公式变形和整式化简后代入已知条件即可求解，能有效检验对乘法公式的掌握程度和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）求$a^2+b^2$和$(a+b)^2$的值可利用完全平方公式的变形求解，无需单独计算a、b的具体值。已知$a-b$和$ab$，根据$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，变形可得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，代入数值即可算出结果；再根据$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已得的$a^2+b^2$和已知的$ab$就能求出$(a+b)^2$。
（2）第二问的代数式优先化简再求值：将$(a+b+c)^2$按完全平方公式展开，把$(a-b-c)(a-b+c)$中$a-b$看作整体，用平方差公式展开，合并同类项后含c的项会全部抵消，最终化简结果仅和$(a+b)^2$、$(a-b)^2$有关，代入已知条件和第一问结果即可计算。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
将$a-b=7$，$ab=-10$代入得：
$a^2 + b^2 = 7^2 + 2×(-10) = 49 - 20 = 29$
再计算$(a+b)^2$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2+b^2) + 2ab$
代入$a^2+b^2=29$，$ab=-10$得：
$(a+b)^2 = 29 + 2×(-10) = 29 - 20 = 9$
(2) 化简代数式：
$\begin{aligned}&(a+b+c)^2 + (a-b-c)(a-b+c) - 2c(a+b)\\=&(a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2 + [(a-b)-c][(a-b)+c] - 2c(a+b)\\=&(a+b)^2 + 2c(a+b) + c^2 + (a-b)^2 - c^2 - 2c(a+b)\\=&(a+b)^2 + (a-b)^2\end{aligned}$
将$(a+b)^2=9$，$a-b=7$代入得：
原式$=9 + 7^2 = 9 + 49 = 58$
【答案】
(1)$a^2+b^2=29$，$(a+b)^2=9$；(2)$58$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题侧重考查乘法公式的灵活运用和整体代入思想，解题时无需计算a、b的具体值，通过公式变形和整式化简后代入已知条件即可求解，能有效检验对乘法公式的掌握程度和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
15.现有长与宽分别为$a,b$的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图1的图形,用四个相同的小长方形拼成如图2的图形.请认真观察图形,解答下列问题:
(1)根据图1,教材已给出关于$a,b$的关系式:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$;根据图2,关于$a,b$的关系式可表示为:________;根据上面的思路与方法,解决下列问题:
(2)①若$4m^2+n^2=40,2m+n=8$,则$mn=\_\_\_\_\_\_$;
②若$(4-m)(5-m)=6$,则$(4-m)^2+(5-m)^2=\_\_\_\_\_\_$.
(3)如图3,C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,设$AB=7$,两正方形的面积和$S_1+S_2=16$,求图中阴影部分的面积.
(1)根据图1,教材已给出关于$a,b$的关系式:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$;根据图2,关于$a,b$的关系式可表示为:________;根据上面的思路与方法,解决下列问题:
(2)①若$4m^2+n^2=40,2m+n=8$,则$mn=\_\_\_\_\_\_$;
②若$(4-m)(5-m)=6$,则$(4-m)^2+(5-m)^2=\_\_\_\_\_\_$.
(3)如图3,C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,设$AB=7$,两正方形的面积和$S_1+S_2=16$,求图中阴影部分的面积.
答案
15.(1)关于$a,b$的关系式可表示为$(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$ (2)①6 ②13 (3)图中阴影部分面积为16.5.
解析
【分析】
(1) 观察图2可知：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间阴影小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，四周共有4个长为$a$、宽为$b$的小长方形，总面积为$4ab$。根据“大正方形面积=中间小正方形面积+4个小长方形面积”即可推导关系式。
(2) ① 利用完全平方公式将$(2m+n)^2$展开，将已知的$4m^2+n^2$和$2m+n$的值代入，即可求出$mn$的值；② 把$(4-m)$和$(5-m)$看作两个整体，先求两式的差，再利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$代入计算即可。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得$x+y=AB=7$，两正方形面积和$S_1+S_2=x^2+y^2=16$，阴影部分是长为$y$、宽为$x$的长方形，面积为$xy$，利用完全平方公式变形求出$xy$即为阴影面积。
【解析】
(1) 由图2的面积关系可得：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$。
(2) ① 根据完全平方公式：$(2m+n)^2=4m^2+4mn+n^2$，将$4m^2+n^2=40$，$2m+n=8$代入得：
$8^2=40+4mn$，即$64=40+4mn$，解得$4mn=24$，$mn=6$。
② 设$x=4-m$，$y=5-m$，则$xy=6$，$x-y=(4-m)-(5-m)=-1$，
所以$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=(-1)^2+2×6=1+12=13$。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得：$x+y=7$，$x^2+y^2=16$。
根据完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入数值得：
$7^2=16+2xy$，即$49=16+2xy$，解得$2xy=33$，$xy=16.5$。
阴影部分为长$y$、宽$x$的长方形，面积为$xy$，即阴影面积为$16.5$。
【答案】
(1) $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$
(2) ①$\boxed{6}$；②$\boxed{13}$
(3) $\boxed{16.5}$
【知识点】
完全平方公式的应用；整体代入求值；几何面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，灵活运用整体思想代入计算，是整式乘法与几何结合的典型题型，能有效锻炼数形结合能力和公式变形能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图2可知：大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间阴影小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，四周共有4个长为$a$、宽为$b$的小长方形，总面积为$4ab$。根据“大正方形面积=中间小正方形面积+4个小长方形面积”即可推导关系式。
(2) ① 利用完全平方公式将$(2m+n)^2$展开，将已知的$4m^2+n^2$和$2m+n$的值代入，即可求出$mn$的值；② 把$(4-m)$和$(5-m)$看作两个整体，先求两式的差，再利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$代入计算即可。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得$x+y=AB=7$，两正方形面积和$S_1+S_2=x^2+y^2=16$，阴影部分是长为$y$、宽为$x$的长方形，面积为$xy$，利用完全平方公式变形求出$xy$即为阴影面积。
【解析】
(1) 由图2的面积关系可得：$(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$。
(2) ① 根据完全平方公式：$(2m+n)^2=4m^2+4mn+n^2$，将$4m^2+n^2=40$，$2m+n=8$代入得：
$8^2=40+4mn$，即$64=40+4mn$，解得$4mn=24$，$mn=6$。
② 设$x=4-m$，$y=5-m$，则$xy=6$，$x-y=(4-m)-(5-m)=-1$，
所以$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=(-1)^2+2×6=1+12=13$。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得：$x+y=7$，$x^2+y^2=16$。
根据完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入数值得：
$7^2=16+2xy$，即$49=16+2xy$，解得$2xy=33$，$xy=16.5$。
阴影部分为长$y$、宽$x$的长方形，面积为$xy$，即阴影面积为$16.5$。
【答案】
(1) $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$
(2) ①$\boxed{6}$；②$\boxed{13}$
(3) $\boxed{16.5}$
【知识点】
完全平方公式的应用；整体代入求值；几何面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的变形应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，灵活运用整体思想代入计算，是整式乘法与几何结合的典型题型，能有效锻炼数形结合能力和公式变形能力。
【难度系数】
0.7
