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10.若$a-b=2,a-c=1$,求$(2a-b-c)^2+(c-b)^2$的值.
答案
10.10
解析
【分析】
解题时先观察待求式的结构，无需单独计算a、b、c的具体值，可通过整式加减将待求式的底数转化为已知的$a-b$、$a-c$的组合，再用整体代入的思想计算即可。第一步先拆分$2a-b-c$，发现它等于$(a-b)+(a-c)$，刚好是已知两个式子的和；第二步推导$c-b$，可得它等于$(a-b)-(a-c)$，是已知两个式子的差；最后将得到的数值代入待求式计算平方和。
【解析】
已知$a-b=2$，$a-c=1$，先对所求式子的底数变形：
1. 计算$2a-b-c$：
$2a-b-c=(a-b)+(a-c)=2+1=3$
2. 计算$c-b$：
$c-b=(a-b)-(a-c)=2-1=1$
将上述结果代入原式：
$(2a-b-c)^2+(c-b)^2=3^2+1^2=9+1=10$
【答案】
10
【知识点】
整体代入法、代数式求值、整式的加减
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心技巧是通过观察式子结构，将未知代数式转化为已知条件的组合，用整体代入思想简化运算，避免单独求解每个字母的取值，是代数式求值类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时先观察待求式的结构，无需单独计算a、b、c的具体值，可通过整式加减将待求式的底数转化为已知的$a-b$、$a-c$的组合，再用整体代入的思想计算即可。第一步先拆分$2a-b-c$，发现它等于$(a-b)+(a-c)$，刚好是已知两个式子的和；第二步推导$c-b$，可得它等于$(a-b)-(a-c)$，是已知两个式子的差；最后将得到的数值代入待求式计算平方和。
【解析】
已知$a-b=2$，$a-c=1$，先对所求式子的底数变形：
1. 计算$2a-b-c$：
$2a-b-c=(a-b)+(a-c)=2+1=3$
2. 计算$c-b$：
$c-b=(a-b)-(a-c)=2-1=1$
将上述结果代入原式：
$(2a-b-c)^2+(c-b)^2=3^2+1^2=9+1=10$
【答案】
10
【知识点】
整体代入法、代数式求值、整式的加减
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心技巧是通过观察式子结构，将未知代数式转化为已知条件的组合，用整体代入思想简化运算，避免单独求解每个字母的取值，是代数式求值类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$(2x+y-6)(2x-y+6)$；
(2)$(3x+2y)(2x-3y)-(-x-2y)(-x+2y)$。
(1)$(2x+y-6)(2x-y+6)$；
(2)$(3x+2y)(2x-3y)-(-x-2y)(-x+2y)$。
答案
11.(1)$4x^2-y^2+12y-36$ (2)$5x^2-5xy-2y^2$
解析
【分析】
(1) 观察两个因式的结构，发现2x的符号相同，y和-6的符号相反，因此可以把(y-6)看作一个整体，将原式变形为平方差公式的标准形式$(a+b)(a-b)$，先利用平方差公式化简，再展开完全平方，最后去括号合并同类项即可。
(2) 第一部分$(3x+2y)(2x-3y)$直接按照多项式乘多项式的法则展开计算；第二部分$(-x-2y)(-x+2y)$中$-x$的符号相同，$2y$的符号相反，可直接利用平方差公式计算，最后将两部分的结果相减，去括号时注意符号变化，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=[2x+(y-6)][2x-(y-6)]$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得：
$=(2x)^2 - (y-6)^2$
利用完全平方公式展开$(y-6)^2$，得：
$=4x^2 - (y^2 - 12y + 36)$
去括号化简：
$=4x^2 - y^2 + 12y - 36$
(2) 先计算$(3x+2y)(2x-3y)$：
$=3x·2x + 3x·(-3y) + 2y·2x + 2y·(-3y)$
$=6x^2 - 9xy + 4xy - 6y^2$
$=6x^2 - 5xy - 6y^2$
再计算$(-x-2y)(-x+2y)$，利用平方差公式：
$=(-x)^2 - (2y)^2$
$=x^2 - 4y^2$
将结果代入原式：
原式$=(6x^2 - 5xy - 6y^2) - (x^2 - 4y^2)$
去括号：
$=6x^2 - 5xy - 6y^2 - x^2 + 4y^2$
合并同类项：
$=5x^2 - 5xy - 2y^2$
【答案】
(1)$4x^2-y^2+12y-36$；(2)$5x^2-5xy-2y^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题主要考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题的核心是通过观察式子结构，将符合特征的部分看作整体构造乘法公式，能大幅简化运算，同时要注意去括号时的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 观察两个因式的结构，发现2x的符号相同，y和-6的符号相反，因此可以把(y-6)看作一个整体，将原式变形为平方差公式的标准形式$(a+b)(a-b)$，先利用平方差公式化简，再展开完全平方，最后去括号合并同类项即可。
(2) 第一部分$(3x+2y)(2x-3y)$直接按照多项式乘多项式的法则展开计算；第二部分$(-x-2y)(-x+2y)$中$-x$的符号相同，$2y$的符号相反，可直接利用平方差公式计算，最后将两部分的结果相减，去括号时注意符号变化，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=[2x+(y-6)][2x-(y-6)]$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得：
$=(2x)^2 - (y-6)^2$
利用完全平方公式展开$(y-6)^2$，得：
$=4x^2 - (y^2 - 12y + 36)$
去括号化简：
$=4x^2 - y^2 + 12y - 36$
(2) 先计算$(3x+2y)(2x-3y)$：
$=3x·2x + 3x·(-3y) + 2y·2x + 2y·(-3y)$
$=6x^2 - 9xy + 4xy - 6y^2$
$=6x^2 - 5xy - 6y^2$
再计算$(-x-2y)(-x+2y)$，利用平方差公式：
$=(-x)^2 - (2y)^2$
$=x^2 - 4y^2$
将结果代入原式：
原式$=(6x^2 - 5xy - 6y^2) - (x^2 - 4y^2)$
去括号：
$=6x^2 - 5xy - 6y^2 - x^2 + 4y^2$
合并同类项：
$=5x^2 - 5xy - 2y^2$
【答案】
(1)$4x^2-y^2+12y-36$；(2)$5x^2-5xy-2y^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题主要考查整式乘法中乘法公式的灵活运用，解题的核心是通过观察式子结构，将符合特征的部分看作整体构造乘法公式，能大幅简化运算，同时要注意去括号时的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
12.如果$(3x-5y-4)(-3x+5y-4)=15$，求$6x-10y$的值.
答案
12.2或-2
解析
【分析】
首先观察等式左边两个多项式的结构，发现两个括号中均含常数项-4，剩余的含x、y的项互为相反数，符合平方差公式的结构特征。我们可以将相同项-4作为平方差公式中的“a”，将互为相反数的(3x-5y)作为公式中的“b”，利用平方差公式化简等式，求出3x-5y的值，再将所求的6x-10y变形为2(3x-5y)，整体代入即可得到结果。
【解析】
解：将等式左边变形，构造平方差公式：
$\begin{aligned}(3x-5y-4)(-3x+5y-4)&=[-4+(3x-5y)][-4-(3x-5y)]\\&=(-4)^2-(3x-5y)^2\end{aligned}$
代入原等式得：
$16-(3x-5y)^2=15$
移项整理得：
$(3x-5y)^2=1$
开方得：
$3x-5y=\pm1$
因为$6x-10y=2(3x-5y)$，所以：
当$3x-5y=1$时，$6x-10y=2×1=2$；
当$3x-5y=-1$时，$6x-10y=2×(-1)=-2$。
【答案】
2或-2
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，平方根运算
【点评】
本题的核心是通过观察式子结构，灵活分组构造平方差公式简化计算，求解过程中要注意平方为1的数有1和-1两个结果，避免漏解，同时要熟练运用整体代入的思想简化代数式求值。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左边两个多项式的结构，发现两个括号中均含常数项-4，剩余的含x、y的项互为相反数，符合平方差公式的结构特征。我们可以将相同项-4作为平方差公式中的“a”，将互为相反数的(3x-5y)作为公式中的“b”，利用平方差公式化简等式，求出3x-5y的值，再将所求的6x-10y变形为2(3x-5y)，整体代入即可得到结果。
【解析】
解：将等式左边变形，构造平方差公式：
$\begin{aligned}(3x-5y-4)(-3x+5y-4)&=[-4+(3x-5y)][-4-(3x-5y)]\\&=(-4)^2-(3x-5y)^2\end{aligned}$
代入原等式得：
$16-(3x-5y)^2=15$
移项整理得：
$(3x-5y)^2=1$
开方得：
$3x-5y=\pm1$
因为$6x-10y=2(3x-5y)$，所以：
当$3x-5y=1$时，$6x-10y=2×1=2$；
当$3x-5y=-1$时，$6x-10y=2×(-1)=-2$。
【答案】
2或-2
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，平方根运算
【点评】
本题的核心是通过观察式子结构，灵活分组构造平方差公式简化计算，求解过程中要注意平方为1的数有1和-1两个结果，避免漏解，同时要熟练运用整体代入的思想简化代数式求值。
【难度系数】
0.7
13. 已知$(a^2 + b^2 + 3)(a^2 + b^2 - 3) = 7, ab = 3, 则(a + b)^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
13.10
解析
【分析】
观察已知等式的结构，两个括号中都含有相同的部分$a^2 + b^2$，且符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，因此可以先将$a^2 + b^2$看作一个整体，利用平方差公式求出$a^2 + b^2$的值；再结合完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入已知的$ab$和求出的$a^2 + b^2$的值，即可得到结果。
【解析】
设$m = a^2 + b^2$（平方数具有非负性，因此$m≥0$），则原等式可转化为：
$(m + 3)(m - 3) = 7$
根据平方差公式展开得：
$m^2 - 9 = 7$
移项计算得：
$m^2 = 16$
结合$m≥0$的取值要求，得$m = 4$，即$a^2 + b^2 = 4$。
根据完全平方公式展开目标式：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
将$a^2 + b^2 = 4$，$ab = 3$代入上式得：
$(a + b)^2 = 4 + 2×3 = 10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整体代入法
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题核心是将$a^2 + b^2$视为整体运算，既简化了计算步骤，也能快速建立已知条件和所求式子之间的联系，是整式运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
观察已知等式的结构，两个括号中都含有相同的部分$a^2 + b^2$，且符合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$的形式，因此可以先将$a^2 + b^2$看作一个整体，利用平方差公式求出$a^2 + b^2$的值；再结合完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入已知的$ab$和求出的$a^2 + b^2$的值，即可得到结果。
【解析】
设$m = a^2 + b^2$（平方数具有非负性，因此$m≥0$），则原等式可转化为：
$(m + 3)(m - 3) = 7$
根据平方差公式展开得：
$m^2 - 9 = 7$
移项计算得：
$m^2 = 16$
结合$m≥0$的取值要求，得$m = 4$，即$a^2 + b^2 = 4$。
根据完全平方公式展开目标式：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
将$a^2 + b^2 = 4$，$ab = 3$代入上式得：
$(a + b)^2 = 4 + 2×3 = 10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整体代入法
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题核心是将$a^2 + b^2$视为整体运算，既简化了计算步骤，也能快速建立已知条件和所求式子之间的联系，是整式运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
