9. ★★ 如图,已知O是△ABC内一点,且$GN// AB$,$FM// BC$,$EH// AC$,则$\frac{EH}{AC}+\frac{FM}{BC}+\frac{NG}{AB}=$.
(第9题)

9. 2 【点拨】
∵$EH// AC$，$\therefore \frac{EH}{AC}=\frac{BH}{BC}$。
∵$GN// AB$，
$\therefore \frac{NG}{AB}=\frac{CN}{BC}$，$\therefore \frac{EH}{AC}+\frac{FM}{BC}+\frac{NG}{AB}=\frac{BH}{BC}+\frac{FM}{BC}+\frac{CN}{BC}=\frac{BH+CN+FM}{BC}$。
∵$GN// AB$，$FM// BC$，$EH// AC$，
∴四边形BNOF和四边形CHOM都是平行四边形，$\therefore OF=BN$，$OM=CH$，$\therefore FM=BN+CH$，$\therefore \frac{EH}{AC}+\frac{FM}{BC}+\frac{NG}{AB}=\frac{BH+CN+FM}{BC}=\frac{BH+CN+BN+CH}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2$。

10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=5$.正方形$DEFG$的边长为$\sqrt{5}$,它的顶点$D,E,G$分别在$△ ABC$的边上,则$BG$的长为.

10. $3\sqrt{2}$ 【点拨】如图，过点G作$GH⊥ AC$，则$∠ AHG=∠ GHD=90°$，$\therefore ∠ DGH+∠ HDG=90°$。
∵$∠ ACB=90°$，$AC=BC=5$，$\therefore AB=5\sqrt{2}$，$∠ A=∠ B=45°$，
$\therefore ∠ AGH=45°=∠ A$，$\therefore AH=HG$。设$AH=HG=x$，则$CH=AC-AH=5-x$。
∵四边形DEFG是正方形，
$\therefore DG=DE$，$∠ GDE=90°$，$\therefore ∠ HDG+∠ CDE=90°$，$\therefore ∠ HGD=∠ CDE$。
∵$∠ C=∠ GHD=90°$，$\therefore △ GHD≌ △ DCE$，$\therefore CD=GH=x$，$\therefore DH=CH-CD=5-2x$。在$\mathrm{Rt}△ GHD$中，由勾股定理，得$GD^2=DH^2+GH^2$，
$\therefore (\sqrt{5})^2=(5-2x)^2+x^2$，解得$x=2$，$\therefore AH=2$，$CH=3$。
∵$∠ C=∠ AHG=90°$，$\therefore HG// BC$，$\therefore \frac{AG}{BG}=\frac{AH}{CH}=\frac{2}{3}$，$\therefore BG=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}×5\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

11. 上海竞赛 新考法·构造模型法 如图，$△ ABC$中，点$D$是$BC$延长线上一点，且$∠ CAD=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$，过点$C$作$CE // AD$交$AB$于点$E$，且$∠ ACE=3∠ BCE$，$AC=3$，$BE=2$，则$CD$的长为。

11. 8 【点拨】
∵$∠ CAD=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$，$\therefore 2∠ CAD=180°-∠ BAC$。
∵$∠ AEC+∠ ACE=180°-∠ BAC$，
$\therefore 2∠ CAD=∠ AEC+∠ ACE$。
∵$CE// AD$，$\therefore ∠ CAD=∠ ACE$，$∠ BCE=∠ BDA$。$\therefore ∠ AEC=∠ ACE$，$\therefore AE=AC=3$，$\therefore AB=2+3=5$。
∵$∠ ACE=3∠ BCE$，$\therefore ∠ AEC=3∠ BCE=∠ B+∠ BCE$，$\therefore ∠ B=2∠ BCE$。
如图，作$AF⊥ CE$，垂足为F，延长AF交BC于点M，作$EG// AF$，交BC于点G，连结EM。
∵$AE=AC$，$\therefore AF$是CE的垂直平分线，$\therefore CM=EM$，$CF=EF$，$\therefore ∠ MCE=∠ MEC$，$\therefore ∠ BME=2∠ MCE=∠ B$，$\therefore BE=ME=MC=2$。
∵$EG// AF$，$\therefore ∠ GEC=90°$，$\frac{BE}{AE}=\frac{BG}{GM}$，$\frac{MC}{MG}=\frac{CF}{EF}$，
$\therefore MG=ME=MC=2$，$\therefore \frac{2}{3}=\frac{BG}{2}$，$\therefore BG=\frac{4}{3}$，$\therefore BC=\frac{4}{3}+2+2=\frac{16}{3}$。
∵$CE// AD$，$\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{2}{3}=\frac{\frac{16}{3}}{CD}$，
$\therefore CD=8$。

12. 新视角 动点探究题 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$CA=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,点E由点B向点A以2 cm/s的速度运动,点D由点A向点C以2 cm/s的速度运动,E,D同时出发,设运动的时间为t s.
(1)当t为何值时,$ED// BC$?
(2)当t为何值时,$△ AED$的面积能达到$7.2\ \mathrm{cm}^2$?

12. 【解】(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CA=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$。
根据勾股定理，得$AB=\sqrt{CA^2+BC^2}=10\ \mathrm{cm}$。
根据题意，得$BE=2t\ \mathrm{cm}$，$AD=2t\ \mathrm{cm}$。
∵$ED// BC$，$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{2t}{8}$，解得$t=\frac{20}{9}$。
故当$t=\frac{20}{9}$时，$ED// BC$。
(2)如图，过点E作$EF⊥ AC$。
∵$BC⊥ AC$，$\therefore EF// BC$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{AF}{8}$，
$\therefore AF=(8-\frac{8}{5}t)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=(6-\frac{6}{5}t)\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ AED}=\frac{1}{2}AD· EF=\frac{1}{2}×2t×(6-\frac{6}{5}t)=7.2$，
整理得$t^2-5t+6=0$，解得$t=2$或$t=3$。
∴当$t=2$或$t=3$时，$△ AED$的面积能达到$7.2\ \mathrm{cm}^2$。

13. ★★★ 新视角 定理探究题 请阅读以下材料，完成相应的问题.
三角形的内角平分线定理:如图①,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,交BC于点D,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图①,过C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E.
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分；
(2)如图②,$△ ABC$中,E是BC的中点,AD是$∠ BAC$的平分线,$EF// AD$交AC于F.若$AB=5$,$AC=7$,求线段CF的长；
(3)如图③,$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,BC的延长线交$△ ABC$外角角平分线AF于点F.若$BD=3$,$CF=6$,求CD的长.

13. 【解】(1)
∵$CE// DA$，
$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{EA}$，$∠ CAD=∠ ACE$，$∠ BAD=∠ E$。
∵AD平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ACE=∠ E$，$\therefore AE=AC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD}$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2)
∵AD平分$∠ BAC$，$AB=5$，$AC=7$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$，
$\therefore BD=\frac{5}{7}CD$，$\therefore BC=BD+CD=\frac{12}{7}CD$，$\therefore CD=\frac{7}{12}BC$。
∵E是BC的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC$。
∵$EF// AD$，$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{CE}{CD}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{7}{12}BC}=\frac{6}{7}$，$\therefore CF=6$。
(3)如图，作$CE// AF$交AB于点E，
$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BF}{CF}$，$∠ MAF=∠ AEC$，$∠ CAF=∠ ACE$。
∵AF平分$∠ CAM$，$\therefore ∠ MAF=∠ CAF$，
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE$，
$\therefore AE=AC$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CF}$。
∵AD平分$∠ BAC$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，$\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{BD}{CD}$。
∵$BD=3$，$CF=6$，$\therefore \frac{3+CD+6}{6}=\frac{3}{CD}$，
解得$CD=\frac{-9\pm3\sqrt{17}}{2}$。
∵$CD=\frac{-9-3\sqrt{17}}{2}$不符合题意，舍去，
$\therefore CD=\frac{-9+3\sqrt{17}}{2}$。