1. 下列说法：
①全等图形一定是相似图形；
②相似图形一定不是全等图形；
③边数相同的两个正多边形相似；
④边数相同、对应角分别相等的两个多边形相似.
其中正确的个数为 （）

A.4
B.3
C.2
D.1

1.C
【点易错】全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有两个大小相同的相似图形才是全等图形.

2.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）


A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

2.D

3. 母题 教材P69例题 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（）


A.$a=2\sqrt{2}$
B.$m=2n$
C.$x=2$
D.$α=60°$

3.B

4.“这么近，那么美，周末到河北”，嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图），回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为.

4. 8 cm

5. 新视角规律探究题 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=1$，$BC=2$，连结$AC$，以对角线$AC$为边，按逆时针方向作矩形$ACC_1B_1$，使矩形$ACC_1B_1$与矩形$ADCB$相似；再连结$AC_1$，以对角线$AC_1$为边，按逆时针方向作矩形$AC_1C_2B_2$，使矩形$AC_1C_2B_2$与矩形$ACC_1B_1$相似，…，按照此规律作下去，则边$AC_{2026}$的长为（）

A.$\sqrt{5} × ( \frac{\sqrt{5}}{2} )^{2026}$
B.$2 × ( \frac{\sqrt{5}}{2} )^{2025}$
C.$\sqrt{5} × 2^{2025}$
D.$2 × (\sqrt{5})^{2026}$

5.A 【点拨】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore ∠ B=90°, AD=BC=2, \therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$ 根据题意知所作的矩形都相似，$\therefore \frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{AC_1}{AC}=\frac{AC_2}{AC_1}=\frac{AC_3}{AC_2}=\dots=\frac{AC_{n+1}}{AC_n}, \therefore AC_1=\frac{\sqrt{5}}{2}AC, AC_2=\frac{\sqrt{5}}{2}AC_1, AC_3=\frac{\sqrt{5}}{2}AC_2, \dots, AC_{n+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}AC_n, \therefore AC_{n+1}=(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 AC_{n-1}=\dots=(\frac{\sqrt{5}}{2})^{n+1} AC=\sqrt{5}×(\frac{\sqrt{5}}{2})^{n+1}, \therefore AC_{2026}=\sqrt{5}×(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2026}.$

6. 新考法分类讨论法 有一张$□ ABCD(AD＜AB＜2AD)$纸片，以它的一边为边剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与$□ ABCD$相似，则$□ ABCD$的相邻两边AD与AB的比值是。

6.$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 【点拨】如图，设 $AD=a, AB=b.$ 根据题意，得 $AH=AD, \therefore HB=b-a. \because HB=FG=GC, \therefore BG=a-(b-a)=2a-b.$
$\because$ 剩下的平行四边形与$□ ABCD$相似，
$\therefore$ 它们的对应边成比例. 分两种情况讨论：①$\frac{AD}{AB}=\frac{FG}{BG}$，
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{b-a}{2a-b}, 即 \frac{a}{b}=\frac{1-\frac{a}{b}}{\frac{2a}{b}-1}. 设 t=\frac{a}{b}(t＞0), \therefore t=\frac{1-t}{2t-1}, 解得 t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 经检验，$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是原分式方程的根且符合题意；②$\frac{AD}{AB}=\frac{BG}{FG}, \therefore \frac{a}{b}=\frac{2a-b}{b-a}, 即 \frac{a}{b}=\frac{\frac{2a}{b}-1}{1-\frac{a}{b}}.$
设 $t=\frac{a}{b}(t＞0), \therefore t=\frac{2t-1}{1-t}, 解得 t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$ 经检验，$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是原分式方程的根且符合题意. $\because AD＜AB＜2AD, \therefore \frac{1}{2}＜\frac{AD}{AB}＜1, \therefore \frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 均符合. 综上，$□ ABCD$ 的相邻两边 $AD$ 与 $AB$ 的比值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

7. 新视角操作实践题 如图①，将一张A4纸两次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合.如图②，将一张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得两张A5纸.
(1)A4纸较长边与较短边的比为.
(2)A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由.

7.【解】(1)$\sqrt{2}:1$ 【点拨】如图，由折叠过程可知四边形 $ABDC$ 为正方形，$\therefore AB=AC, \therefore BC=\sqrt{2} AB;$ 第二次折叠，折痕 $BC$ 与 A4 纸较长的边重合，$\therefore$ A4 纸较长的边为$\sqrt{2} AB. \therefore$ A4 纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1.$

(2)A4 纸与 A5 纸是相似图形.
理由:$\because$ A4 纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$，
$\therefore$ 设 A4 纸较短边的长为 $a$，则较长边的长为$\sqrt{2} a.$
由题意得 A5 纸较长边的长为 $a$，较短边的长为$\frac{\sqrt{2}}{2} a.$
$\therefore$ A4 纸与 A5 纸较长边的比为$\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，A4 纸与 A5 纸较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}. \therefore$ A4 纸与 A5 纸的对应边成比例.
又$\because$ A4 纸与 A5 纸的四个角均为直角，
$\therefore$ A4 纸与 A5 纸相似.