1.「2026浙江宁波奉化期中，★★☆」如图,在扇形$BOA$中,$∠AOB=120°$,点$C,D$分别是$\overset{\frown}{AB}$和$OA$上的点,且$CD// OB$,将扇形沿$CD$翻折,翻折后的$\overset{\frown}{A'C}$恰好经过点$O$.若$OA=2$,则图中阴影部分的面积是 ()


A.$π$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{4}{3}π - \frac{4\sqrt{3}}{3}$
D.$π - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

1.D 如图,过点 O 作 $OE ⊥ CD$ 交 $\overset{\frown}{AC}$ 于点 E,连接 OC,CE,易知点 O 和 E 关于 CD 对称,$\therefore OC=OE=EC$,$\therefore △ OEC$ 是等边三角形,$\therefore ∠EOC=60°$,$\because CD// OB$,$\therefore ∠ODC=180°-120°=60°$,$\because OE ⊥ CD$,$\therefore ∠DOE=90°-60°=30°$,$\therefore ∠AOC=30°+60°=90°$,$\therefore ∠COB=120°-90°=30°$,$\therefore ∠OCD=∠COB=30°$,$\therefore OD=\frac{1}{2}CD$,$\because OD^2+OC^2=CD^2$,$\therefore OD^2+2^2=(2OD)^2$,$\therefore OD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$(舍负),$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{△ OCD}=\frac{90π×2^2}{360}-\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=π-\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 故选 D.

2.「2026湖北武汉江汉月考，★★☆」如图，以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆，交AC于点D，交BC于点E，若等边三角形的边长为4，则图中阴影部分的面积是（）


A.$2\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}π$
B.$\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}+\dfrac{π}{3}$
D.$\dfrac{4}{3}\sqrt{3}-\dfrac{π}{3}$

2.A 如图,设 AB 的中点为 O,连接 OD,DE,OE,OC,$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠A=∠B=∠ACB=60°$,$AB=BC=AC=4$,$\because AB$ 为直径,$\therefore OB=OA=OE=OD=\frac{1}{2}AB=2$,$\therefore OC ⊥ AB$,$△ BOE$ 和 $△ AOD$ 都为等边三角形,$\therefore OC=\sqrt{BC^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,$∠BOE=∠AOD=60°$,$OB=BE=OA=AD=2$,$\therefore ∠DOE=180°-∠BOE-∠AOD=60°$,$CD=CE=2$,$\therefore △ DOE$ 和 $△ CDE$ 都为等边三角形,且 $S_{△ AOD}=S_{△ OBE}=S_{△ DEC}=S_{△ ODE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$,$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$,$S_{扇形DOE}=\frac{60}{360}×π×2^2=\frac{2}{3}π$,$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}-S_{扇形DOE}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}-\frac{2π}{3}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$. 故选 A.

3.「2026 陕西安康石泉期末，★★☆」如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，连接BC，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，若AB=4，则阴影部分的面积为（结果保留π）。

3.答案 π
解析 如图,连接 AC,$\because AB$ 是直径,$\therefore ∠ACB=90°$,$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore AC=BC$,$\therefore ∠ABC=∠BAC=45°$,$\because AB=4$,$\therefore AC=BC=2\sqrt{2}$,$OA=OB=2$,$\therefore S_{阴影}=S_{半圆}-S_{扇形CBD}=\frac{1}{2}×π×2^2-\frac{45π×(2\sqrt{2})^2}{360}=π$.

4. 学科特色多解法「2026广东河源期中，★★☆」如图，在正方形ABCD中，阴影部分是由一个以正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径的圆与分别以点A,B,C,D为圆心、正方形边长的一半为半径的四条弧相交得到的.若正方形的边长为2a,则阴影部分的面积为.

4.答案 $(2π-4)a^2$
解析 【解法一】由图形的对称性可知,四个小阴影部分的面积相同,四个角上的空白部分的面积也相同,设每一个小阴影部分的面积为 x,四个角上的每个小空白部分的面积为 y,则 $4y=S_{正方形}-S_{圆}=(2a)^2-πa^2=4a^2-πa^2$,$\therefore y=a^2-\frac{π}{4}a^2$,$\therefore x=S_{小扇形}-y=\frac{π}{4}a^2-(a^2-\frac{π}{4}a^2)=\frac{π}{2}a^2-a^2$,$\therefore S_{阴影}=4x=4(\frac{π}{2}a^2-a^2)=2πa^2-4a^2=(2π-4)a^2$.
【解法二】由题图可知圆中空白部分的面积等于正方形的面积减去四个小扇形的面积,即 $(2a)^2-4×\frac{1}{4}πa^2=4a^2-πa^2$,阴影部分的面积等于圆的面积减去圆中空白部分的面积,即 $πa^2-(4a^2-πa^2)=2πa^2-4a^2=(2π-4)a^2$.
【解法三】由图形的对称性可知,阴影部分由八个相等的弓形组成,每个弓形的面积为 $\frac{π}{4}a^2-\frac{1}{2}a^2$,$\therefore S_{阴影}=8×(\frac{π}{4}a^2-\frac{1}{2}a^2)=2πa^2-4a^2=(2π-4)a^2$.