11. 学科特色教材变式「2026江苏徐州期中，★★☆」如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若AB=10 cm,CD=6 cm.
(1)求证:AC=BD.
(2)若大圆半径为7 cm,求小圆的半径.

(1)证明:如图,过 $O$ 点作 $OE ⊥ AB$, 垂足为 $E$,
$\therefore AE=BE, CE=DE, \therefore AE-CE=BE-DE$, 即 $AC=BD.$

(2)如图,连接 $OA, OC$,
在 $Rt△ AOE$ 中, $AE=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}, OA=7\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{7^2-5^2}=2\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$,
在 $Rt△ OCE$ 中, $CE=\frac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OC=\sqrt{OE^2+CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{6})^2+3^2}=\sqrt{33}\ (\mathrm{cm})$,
$\therefore$ 小圆的半径为 $\sqrt{33}\ \mathrm{cm}.$

12. 学科特色多解法「2025河南郑州金水模拟，★★☆」如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，连接$BO$并延长，交$\odot O$于点$D$，连接$AO$，$AD$，$CD$.
(1)求证：$∠ ABC=∠ ADB$.
(2)猜想$OA$与$CD$的位置关系，并说明理由.

(1)证明: $\because AB=AC, \therefore ∠ABC=∠ACB$, 由圆周角定理的推论得 $∠ACB=∠ADB, \therefore ∠ABC=∠ADB.$
(2) $OA // CD$. 理由如下：
【解法一】如图,连接 $OC$, 延长 $AO$ 交 $BC$ 于点 $H, \because AB=AC$,
$OB=OC, \therefore AH$ 垂直平分 $BC, \because BD$ 是直径, $\therefore ∠BCD=90°$,
$\therefore CD ⊥ BC, \therefore OA // CD.$

【解法二】如图,连接 $OC$, 在 $△ AOB$ 和 $△ AOC$ 中, $AB=AC$,
$AO=AO, OB=OC, \therefore △ AOB ≌ △ AOC, \therefore ∠BAO=∠CAO$,
$\because OA=OB, \therefore ∠ABO=∠BAO, \therefore ∠ABO=∠CAO$, 由圆周角定理的推论得 $∠ABO=∠ACD, \therefore ∠CAO=∠ACD$,
$\therefore OA // CD.$