5.「2026浙江温州龙湾期中，★★☆」如图，$\odot O$的半径为10，若$OP=8$，则经过点P的弦长可能是（）

A.11
B.9
C.18
D.21

如图,过点 $P$ 作弦 $AB ⊥ OP$,连接 $OA$,则 $AP=PB$,由勾股定理得 $AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6, \therefore AB=2AP=12, \therefore$ 经过点 $P$ 的最短的弦长为 $12. \because \odot O$ 的半径为 $10, \therefore$ 经过点 $P$ 的最长的弦长为 20. 结合四个选项可知,经过点 $P$ 的弦长可能是 18. 故选 C.

6.「2026山东淄博临淄月考，★★☆」如图，在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中，弦AB与CD交于点E，$∠ DEB = 105°$，AB=6，AE=1，则CD的长是（）

A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$

如图,过点 $O$ 作 $OG ⊥ AB$ 于点 $G, OF ⊥ CD$ 于点 $F$,连接 $OB, OD, OE$,则 $AG=BG=\frac{1}{2}AB=3, DF=CF, \therefore EG=AG-AE=2$, 在 $Rt△ BOG$ 中, $OG=\sqrt{OB^2-BG^2}=\sqrt{13-9}=2, \therefore EG=OG$,
$\therefore △ EOG$ 是等腰直角三角形, $\therefore OE=\sqrt{2}OG=2\sqrt{2}, ∠OEG=45°, \because ∠DEB=105°, \therefore ∠OEF=∠DEB-∠OEG=60°$,
$\therefore ∠EOF=90°-60°=30°, \therefore EF=\frac{1}{2}OE=\sqrt{2}, \therefore OF=\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$, 在 $Rt△ ODF$ 中, $DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{13-6}=\sqrt{7}, \therefore CD=2DF=2\sqrt{7}$. 故选 B.

7.「2026浙江绍兴新昌期中，★★☆」如图，在$\odot O$中，直径$AB ⊥$弦$CD$，以$C$为圆心，$CD$长为半径画弧交直径$AB$于点$E$，连接$CE$并延长，交$\odot O$于点$F$，连接$DF$.若$AB=8$，则$DF$的长为.

答案 $4\sqrt{3}$
解析 如图,连接 $DE$,过点 $D$ 作直径 $DG$,连接 $GF$,由作图可知 $CD=CE, \because$ 直径 $AB ⊥$ 弦 $CD, \therefore AB$ 垂直平分 $CD, \therefore CE=DE, \therefore CD=CE=DE, \therefore △ CDE$ 是等边三角形, $\therefore ∠C=60°$,
$\therefore ∠DGF=∠C=60°, \because DG$ 为直径, $\therefore DG=AB=8, ∠DFG=90°, \therefore ∠GDF=30°, \therefore GF=\frac{1}{2}DG=4, \therefore DF=\sqrt{DG^2-FG^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}.$

8.「2026甘肃武威期末，★★☆」如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 6$，$CB = 8$，过 $A,C,D$ 三点的圆与斜边 $AB$ 交于点 $E$，$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE}$，连接 $DE$，则 $BD$ 的长为 。

答案 5
解析 $\because ∠BCA=90°, \therefore AD$ 为直径, $\therefore ∠AED=90°=∠BCA.$
$\because \overgroup{CD}=\overgroup{DE}, \therefore ∠CAD=∠DAE, \because AD=AD, \therefore △ ACD ≌ △ AED$ (AAS), $\therefore AE=AC=6, CD=DE$, 在 $Rt△ ABC$ 中, 由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10, \therefore BE=AB-AE=4$, 设 $CD=DE=x$, 则 $BD=8-x$, 在 $Rt△ BDE$ 中, 由勾股定理得 $BD^2=BE^2+DE^2, \therefore (8-x)^2=4^2+x^2$, 解得 $x=3, \therefore BD=8-3=5.$

9.「★☆」如图,半径为5的$\odot A$与y轴交于点$B(0,2),C(0,10)$,则点A的坐标为 ()

A.$(3,6)$
B.$(3,5)$
C.$(2,4)$
D.$(2,3)$

如图,过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$,连接 $AB, \because \odot A$ 的半径为 $5, B(0,2), C(0,10), \therefore AB=5, BC=10-2=8, OB=2$,
$\because AD ⊥ BC, \therefore CD=BD=4, \therefore OD=2+4=6, AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3, \therefore A(3,6)$. 故选 A.

10.「2026江苏扬州期中，★★☆」如图，已知A,B两点的坐标分别为(8,0),(0,6),P是△AOB外接圆上的一动点，且点P在第一象限，若∠AOP=45°,则点P的坐标为。

答案 $(7,7)$
解析 如图,过点 $P$ 作 $PH ⊥ x$ 轴于点 $H$,连接 $PA, PB$,
$\because ∠AOB=90°, \therefore AB$ 为 $△ AOB$ 外接圆的直径, $\therefore ∠BPA=90°, \because A(8,0), B(0,6), \therefore OA=8, OB=6, \therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=10, \because ∠ABP=∠AOP=45°, \therefore △ PAB$ 和 $△ POH$ 都为等腰直角三角形, $\therefore AP=BP=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=5\sqrt{2}$,
$PH=OH$, 设 $OH=PH=t$, 则 $AH=8-t$, 在 $Rt△ PHA$ 中,
$\because PH^2+AH^2=PA^2, \therefore t^2+(8-t)^2=(5\sqrt{2})^2$, 解得 $t_1=7, t_2=1$ (舍去), $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(7,7)$.