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一、基础性作业
1. 如图3-1-1，有三个矩形，其中是相似图形的是（
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
1. 如图3-1-1，有三个矩形，其中是相似图形的是（
B
）。A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.甲、乙和丙
答案
1.B
解析
【分析】
要判断矩形是否为相似图形，首先回忆相似多边形的判定条件：需要同时满足对应角相等、对应边成比例。矩形的四个内角都是直角，因此三个矩形天然满足对应角相等的条件，接下来只需分别计算三个矩形邻边的比值，找到邻边比值相等的矩形，即可判定其为相似图形。
【解析】
解：矩形的四个角均为90°，因此三个矩形的对应角全部相等，只需验证对应边是否成比例：
1. 计算甲矩形的长宽比：长为3，宽为2，$\frac{长}{宽}=\frac{3}{2}=1.5$；
2. 计算乙矩形的长宽比：长为2.5，宽为1.5，$\frac{长}{宽}=\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$；
3. 计算丙矩形的长宽比：长为1.5，宽为1，$\frac{长}{宽}=\frac{1.5}{1}=1.5$。
甲和丙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此甲和丙是相似图形。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题属于相似图形判定的基础题，解题时需要注意相似多边形的两个判定条件缺一不可，不要误认为所有矩形都相似，必须验证边的比例关系是否成立。
【难度系数】
0.8
要判断矩形是否为相似图形，首先回忆相似多边形的判定条件：需要同时满足对应角相等、对应边成比例。矩形的四个内角都是直角，因此三个矩形天然满足对应角相等的条件，接下来只需分别计算三个矩形邻边的比值，找到邻边比值相等的矩形，即可判定其为相似图形。
【解析】
解：矩形的四个角均为90°，因此三个矩形的对应角全部相等，只需验证对应边是否成比例：
1. 计算甲矩形的长宽比：长为3，宽为2，$\frac{长}{宽}=\frac{3}{2}=1.5$；
2. 计算乙矩形的长宽比：长为2.5，宽为1.5，$\frac{长}{宽}=\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$；
3. 计算丙矩形的长宽比：长为1.5，宽为1，$\frac{长}{宽}=\frac{1.5}{1}=1.5$。
甲和丙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此甲和丙是相似图形。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题属于相似图形判定的基础题，解题时需要注意相似多边形的两个判定条件缺一不可，不要误认为所有矩形都相似，必须验证边的比例关系是否成立。
【难度系数】
0.8
2. 图3-1-2是小成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项1 920×1 080调整成1 400×1 050时，由于比例改变（1 920：1 080≠1 400：1 050），画面左右会出现黑色区域，比例不变就不会有此问题。小成将他的计算机画面分辨率从1 920×1 080调整成下面哪一种时，画面左右不会出现黑色区域？（
A.1 680×1 050
B.1 600×900
C.1 440×900
D.1 280×1 024
B
）A.1 680×1 050
B.1 600×900
C.1 440×900
D.1 280×1 024
答案
2.B
解析
【分析】要判断调整分辨率后画面左右是否出现黑色区域，只需判断调整后的分辨率长宽比是否和原分辨率1920×1080的长宽比相等。解题思路为：首先将原分辨率的长宽比化为最简整数比，再依次计算各选项分辨率的长宽最简比，找到与原比相等的选项即可。
【解析】首先计算原分辨率的长宽比并化简：
$1920:1080=(1920÷120):(1080÷120)=16:9$
依次计算各选项的长宽最简比：
A选项：$1680:1050=(1680÷210):(1050÷210)=8:5$，与$16:9$不相等，不符合要求；
B选项：$1600:900=(1600÷100):(900÷100)=16:9$，与原比例相等，符合要求；
C选项：$1440:900=(1440÷180):(900÷180)=8:5$，与$16:9$不相等，不符合要求；
D选项：$1280:1024=(1280÷256):(1024÷256)=5:4$，与$16:9$不相等，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】B
【知识点】比的化简；比例的判断
【点评】本题结合生活中电脑分辨率调整的实际场景，考查比的相关知识，解题核心是抓住“比例不变就不会出现黑边”的条件，通过化简比对比即可得到答案，计算时注意准确找到前后项的最大公因数来化简。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算原分辨率的长宽比并化简：
$1920:1080=(1920÷120):(1080÷120)=16:9$
依次计算各选项的长宽最简比：
A选项：$1680:1050=(1680÷210):(1050÷210)=8:5$，与$16:9$不相等，不符合要求；
B选项：$1600:900=(1600÷100):(900÷100)=16:9$，与原比例相等，符合要求；
C选项：$1440:900=(1440÷180):(900÷180)=8:5$，与$16:9$不相等，不符合要求；
D选项：$1280:1024=(1280÷256):(1024÷256)=5:4$，与$16:9$不相等，不符合要求。
综上，应选B。
【答案】B
【知识点】比的化简；比例的判断
【点评】本题结合生活中电脑分辨率调整的实际场景，考查比的相关知识，解题核心是抓住“比例不变就不会出现黑边”的条件，通过化简比对比即可得到答案，计算时注意准确找到前后项的最大公因数来化简。
【难度系数】0.8
3. 如图3-1-3，格点图中有2个三角形，若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则$AB=$
$\sqrt{5}$
，$BC=$3
，$DE=$$2\sqrt{5}$
，$EF=$6
，计算$\frac{AB}{DE}=$$\frac{1}{2}$
，$\frac{BC}{EF}=$$\frac{1}{2}$
，我们会得到$AB$，$DE$这两条线段的比与$BC$，$EF$这两条线段的比相等
（填“相等”或“不相等”），即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，那么这四条线段叫作成比例的线段
，简称比例线段。答案
3.$\sqrt{5}$ 3 $2\sqrt{5}$ 6 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ 相等 成比例的线段
解析
【分析】
解题时先区分水平线段和斜线段的长度计算方法：水平线段直接数相邻格点的间隔数即可得到长度；斜线段需借助勾股定理，先确定线段两个端点的横向、纵向距离差，再用勾股定理计算长度。得到各线段长度后分别计算两组线段的比值，对比比值大小，最后结合比例线段的概念填空即可。
【解析】
1. 计算$AB$的长度：点$A$和点$B$的横向距离差为1，纵向距离差为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 计算$BC$的长度：$BC$为水平线段，$B$到$C$共有3个格点间隔，每个间隔为1，故$BC=3$；
3. 计算$DE$的长度：点$D$和点$E$的横向距离差为2，纵向距离差为4，由勾股定理得$DE=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
4. 计算$EF$的长度：$EF$为水平线段，$E$到$F$共有6个格点间隔，每个间隔为1，故$EF=6$；
5. 计算比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
6. 对比可知$\frac{AB}{DE}$和$\frac{BC}{EF}$的比值相等；根据定义，若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段叫作成比例的线段，简称比例线段。
【答案】
$\sqrt{5}$；$3$；$2\sqrt{5}$；$6$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；相等；成比例的线段
【知识点】
勾股定理的应用；线段的比；比例线段的定义
【点评】
本题侧重基础概念和基础计算的考查，掌握格点中线段长度的计算方法，牢记比例线段的定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先区分水平线段和斜线段的长度计算方法：水平线段直接数相邻格点的间隔数即可得到长度；斜线段需借助勾股定理，先确定线段两个端点的横向、纵向距离差，再用勾股定理计算长度。得到各线段长度后分别计算两组线段的比值，对比比值大小，最后结合比例线段的概念填空即可。
【解析】
1. 计算$AB$的长度：点$A$和点$B$的横向距离差为1，纵向距离差为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
2. 计算$BC$的长度：$BC$为水平线段，$B$到$C$共有3个格点间隔，每个间隔为1，故$BC=3$；
3. 计算$DE$的长度：点$D$和点$E$的横向距离差为2，纵向距离差为4，由勾股定理得$DE=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
4. 计算$EF$的长度：$EF$为水平线段，$E$到$F$共有6个格点间隔，每个间隔为1，故$EF=6$；
5. 计算比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
6. 对比可知$\frac{AB}{DE}$和$\frac{BC}{EF}$的比值相等；根据定义，若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段叫作成比例的线段，简称比例线段。
【答案】
$\sqrt{5}$；$3$；$2\sqrt{5}$；$6$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$；相等；成比例的线段
【知识点】
勾股定理的应用；线段的比；比例线段的定义
【点评】
本题侧重基础概念和基础计算的考查，掌握格点中线段长度的计算方法，牢记比例线段的定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 若两个相似多边形的最长边长分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为
2或8
。答案
4.2或8
解析
【分析】
首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。由已知两个相似多边形的最长边分别为10和20，可得两个多边形的相似比为1:2或2:1。题中仅说明“其中一个多边形的最短边长为4”，未明确该最短边属于最长边为10的多边形还是最长边为20的多边形，因此需要分两种情况讨论，分别列比例式求解即可。
【解析】
设另一个多边形的最短边长为$x$。
因为相似多边形对应边成比例，两个相似多边形的最长边之比为$10:20=1:2$，分两种情况计算：
1. 若最短边长为4的多边形是最长边为10的多边形：
$\frac{10}{20}=\frac{4}{x}$
解得$x=8$
2. 若最短边长为4的多边形是最长边为20的多边形：
$\frac{20}{10}=\frac{4}{x}$
解得$x=2$
因此另一个多边形的最短边长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
相似多边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题中未明确最短边所属的多边形，仅计算一种情况导致漏解，遇到未明确对应关系的相似类问题时，要注意分类讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.7
首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。由已知两个相似多边形的最长边分别为10和20，可得两个多边形的相似比为1:2或2:1。题中仅说明“其中一个多边形的最短边长为4”，未明确该最短边属于最长边为10的多边形还是最长边为20的多边形，因此需要分两种情况讨论，分别列比例式求解即可。
【解析】
设另一个多边形的最短边长为$x$。
因为相似多边形对应边成比例，两个相似多边形的最长边之比为$10:20=1:2$，分两种情况计算：
1. 若最短边长为4的多边形是最长边为10的多边形：
$\frac{10}{20}=\frac{4}{x}$
解得$x=8$
2. 若最短边长为4的多边形是最长边为20的多边形：
$\frac{20}{10}=\frac{4}{x}$
解得$x=2$
因此另一个多边形的最短边长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
相似多边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题中未明确最短边所属的多边形，仅计算一种情况导致漏解，遇到未明确对应关系的相似类问题时，要注意分类讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.7
5. 如图 3-1-4, 四边形 $ABCD ∽$ 四边形 $A'B'C'D'$,则 AB 的长为
$\frac{33}{2}$
。答案
5.$\frac{33}{2}$
解析
【分析】
本题考查相似多边形的应用，解题思路如下：首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先确定两个相似四边形的对应边：边AD与边A'D'是对应边，边AB与边A'B'是对应边，先通过已知的对应边AD、A'D'的长度求出相似比，再根据相似比结合A'B'的长度列比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCD ∽$ 四边形$A'B'C'D'$
∴ 相似多边形对应边成比例，可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$
由图可知：$AD=9$，$A'D'=6$，$A'B'=11$，代入比例式得：
$\frac{9}{6}=\frac{AB}{11}$
化简得$\frac{3}{2}=\frac{AB}{11}$，解得$AB=\frac{3}{2}×11=\frac{33}{2}$
【答案】
$\frac{33}{2}$
【知识点】
相似多边形性质，比例运算
【点评】
本题是基础题，核心考查相似多边形对应边成比例的性质，解题的关键是准确找到对应边，代入数值列比例式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查相似多边形的应用，解题思路如下：首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先确定两个相似四边形的对应边：边AD与边A'D'是对应边，边AB与边A'B'是对应边，先通过已知的对应边AD、A'D'的长度求出相似比，再根据相似比结合A'B'的长度列比例式，即可求出AB的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCD ∽$ 四边形$A'B'C'D'$
∴ 相似多边形对应边成比例，可得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$
由图可知：$AD=9$，$A'D'=6$，$A'B'=11$，代入比例式得：
$\frac{9}{6}=\frac{AB}{11}$
化简得$\frac{3}{2}=\frac{AB}{11}$，解得$AB=\frac{3}{2}×11=\frac{33}{2}$
【答案】
$\frac{33}{2}$
【知识点】
相似多边形性质，比例运算
【点评】
本题是基础题，核心考查相似多边形对应边成比例的性质，解题的关键是准确找到对应边，代入数值列比例式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个四边形叫作相似四边形。相似四边形对应边的比叫作相似比。某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确。（直接在横线上填写“真”或“假”）
① 四条边成比例的两个四边形相似；（
② 三个角分别相等的两个四边形相似；（
③两个大小不同的正方形相似。（
① 四条边成比例的两个四边形相似；（
假
命题）② 三个角分别相等的两个四边形相似；（
假
命题）③两个大小不同的正方形相似。（
真
命题）答案
6.假 假 真
解析
【分析】
解题时首先要明确相似四边形的判定必须同时满足两个核心条件：①四个角分别对应相等；②四条边对应成比例，两个条件缺一不可。判断命题真假时，若能举出反例说明命题不满足其中一个条件，即可判定为假命题：
1. 对命题①，仅提到边成比例，未说明角的关系，可举角不相等的反例验证；
2. 对命题②，仅提到角相等，未说明边的关系，可举边不成比例的反例验证；
3. 对命题③，结合正方形的性质，判断是否同时满足两个相似条件即可。
【解析】
相似四边形需同时满足：四个角分别对应相等，四条边对应成比例，两个条件缺一不可。
① 四条边成比例的两个四边形，内角不一定对应相等：例如内角为60°的菱形和边长与它成比例的正方形，边成比例但角不对应相等，不相似，故该命题为假命题；
② 三个角分别相等的两个四边形，由四边形内角和为360°可推出第四个角也对应相等，即四个角都相等，但边不一定成比例：例如边长为1的正方形和长为2、宽为1的矩形，四个角都是90°，但对应边不成比例，不相似，故该命题为假命题；
③ 正方形的四个角都是90°，因此任意两个正方形的对应角都相等；正方形四条边长度相等，因此两个正方形的对应边一定成比例，满足相似四边形的全部条件，故该命题为真命题。
【答案】
假；假；真
【知识点】
相似多边形的判定；四边形内角和；正方形的性质
【点评】
本题重点考查对相似多边形判定规则的理解，要注意相似多边形的角对应相等、边对应成比例两个条件必须同时成立，判断命题真假时可通过举反例的方式快速推导。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确相似四边形的判定必须同时满足两个核心条件：①四个角分别对应相等；②四条边对应成比例，两个条件缺一不可。判断命题真假时，若能举出反例说明命题不满足其中一个条件，即可判定为假命题：
1. 对命题①，仅提到边成比例，未说明角的关系，可举角不相等的反例验证；
2. 对命题②，仅提到角相等，未说明边的关系，可举边不成比例的反例验证；
3. 对命题③，结合正方形的性质，判断是否同时满足两个相似条件即可。
【解析】
相似四边形需同时满足：四个角分别对应相等，四条边对应成比例，两个条件缺一不可。
① 四条边成比例的两个四边形，内角不一定对应相等：例如内角为60°的菱形和边长与它成比例的正方形，边成比例但角不对应相等，不相似，故该命题为假命题；
② 三个角分别相等的两个四边形，由四边形内角和为360°可推出第四个角也对应相等，即四个角都相等，但边不一定成比例：例如边长为1的正方形和长为2、宽为1的矩形，四个角都是90°，但对应边不成比例，不相似，故该命题为假命题；
③ 正方形的四个角都是90°，因此任意两个正方形的对应角都相等；正方形四条边长度相等，因此两个正方形的对应边一定成比例，满足相似四边形的全部条件，故该命题为真命题。
【答案】
假；假；真
【知识点】
相似多边形的判定；四边形内角和；正方形的性质
【点评】
本题重点考查对相似多边形判定规则的理解，要注意相似多边形的角对应相等、边对应成比例两个条件必须同时成立，判断命题真假时可通过举反例的方式快速推导。
【难度系数】
0.8
